Base des nombres II

Les nombres en différentes bases
II - Comment passer de la base 10 à une autre base.
Dans le texte intitulé Base des nombres I vous avez vu une technique qui nous permet
de passer d’un nombre à la base n à un nombre à base 10. Ici on vous présente une technique
pour aller dans le sens contraire.
Supposons que vous voulez vendre 2 039 ordinateurs au berger qui ne compte qu’à la
base 3. Il refuse d’acheter vos ordinateurs à moins que vous puissiez lui dire quel est le
nombre 2 039 à la base 3 car il ne comprend pas ce que signifient les symboles 3 et 9. Pour
comprendre ce qui suit vous devrez d’abord comprendre le principe de distributivité (Voir
le concept intitulé Distributivité). Vous procédez donc comme suit:
• On divise d’abord 2 039 par 3 pour obtenir 679 avec un reste de 2. On écrit donc
2 039 = 3 · 679 + 2.
• Ensuite on divise 679 par 3 pour obtenir 226 avec un reste de 1. On écrit
679 = 3 · 226 + 1
• On poursuit ce genre de calcul: 226 divisé par 3 nous donne 75 avec un reste de 3. Et
donc:
226 = 3 · 75 + 1
• On poursuit jusqu’à ce que le quotient soit 0:
2 039 = 3 · 679 + 2
(1)
679 = 3 · 226 + 1
(2)
226 = 3 · 75 + 1
(3)
75 = 3 · 25 + 0
(4)
25 = 3 · 8 + 1
(5)
8 = 3·2+2
(6)
2 = 3·0+2
(7)
• Tentez de voir par vous-mêmes ce qui se passe dans la chaı̂ne d’équation qui suit (et
surtout n’ayez pas peur . . . , prenez le taureau par les cornes, ou encore si vous ne
comprenez pas, demandez à quelqu’un non loin de vous!):
1
2 039 = 3 · 679 + 2
= 3 · (3 · 226 + 1) + 2
= 32 · 226 + 3 · 1 + 2
= 32 · (3 · 75 + 1) + 3 · 1 + 2
= 33 · 75 + 32 · 1 + 3 · 1 + 1
= 33 · (3 · 25 + 0) + 32 · 1 + 3 · 1 + 1
= 34 · 25 + 33 · 0 + 32 · 1 + 3 · 1 + 1
= 34 · (3 · 8 + 1) + 33 · 0 + 32 · 1 + 3 · 1 + 1
= 35 · 8 + 34 · 1 + 33 · 0 + 32 · 1 + 3 · 1 + 1
= 35 · (3 · 2 + 2) + 34 · 1 + 33 · 0 + 32 · 1 + 3 · 1 + 1
= 36 · 2 + 35 · 2 + 34 · 1 + 33 · 0 + 32 · 1 + 3 · 1 + 1
= 36 · (3 · 0 + 2) + 35 · 2 + 34 · 1 + 33 · 0 + 32 · 1 + 3 · 1 + 1
= 36 · 2 + 35 · 2 + 34 · 1 + 33 · 0 + 32 · 1 + 3 · 1 + 1
= (103 )6 · 2 + (103 )5 · 2 + (103 )4 · 1 + (103 )3 · 0 + (103 )2 · 1 + (103 ) · 1 + 1
= 10000003 · 2 + 1000003 · 2 + 100003 · 1 + 10003 · 0 + 1003 · 1 + 103 · 1 + 1
= 20000003 + 2000003 + 100003 + 0 + 1003 + 103 + 1
= 22101113
• Donc 2 039 = 22101113.
c Club Pythagore, 2007
2