cours complet sur la trigonométrie

[ La trigonométrie \
Table des matières
I
Le cercle trigonométrique
1
Associer un point à un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Valeurs particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
II Angles orientés
1
Mesures des angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Conversion degré-radians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
III Cosinus et sinus d’un réel
1
Définition . . . . . . . . .
2
Les premières propriétés .
3
Les valeurs particulières .
4
Angles associés . . . . . .
5
Formules . . . . . . . . . .
3
3
4
4
5
5
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IV Équations trigonométriques
V Fonctions trigonométriques
1
Représentations graphiques . . . .
a)
Fonction cosinus . . . . . .
b)
Fonction sinus . . . . . . . .
c)
Fonctions cosinus et sinus .
2
Dérivation . . . . . . . . . . . . . .
5
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6
6
6
7
7
7
La trigonométrie
I Le cercle trigonométrique
1 Associer un point à un réel
Définition
Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1, centré sur
l’origine et parcouru dans le sens positif (c’est à dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre).
Pour tout réel x repéré sur la droite ∆, tangente au cercle en I, on associe un point M sur le cercle
trigonométrique que l’on obtient par « enroulement de la droite» sur le cercle. On dit que le point M
est l’image du réel x.
J
x
M
0
I
∆
Exemples
Le périmètre du cercle trigonométrique étant égal à 2π,
• le point correspondant à π est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique,
un demi-cercle à partir de I.
π
• le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique,
2
la moitié d’un demi-cercle à partir de I.
π
• le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique,
3
le tiers d’un demi-cercle à partir de I.
π
• le point correspondant à − est obtenu en parcourant, dans le sens inverse du sens
4
trigonométrique le quart d’un demi-cercle à partir de I.
Cours
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La trigonométrie
2 Valeurs particulières
3π
4
π
2
2π
3
π
3
π
4
5π
6
π
6
0
π
−
−
5π
6
−
3π
4
−
2π
3
π
−
2
−
π
3
−
π
6
π
4
II Angles orientés
1 Mesures des angles orientés
Définition
Si M est le point image du réel x sur
le cercle trigonométrique de centre O alors le réel x est une
³−
→ −−→´
mesure en radian de l’angle orienté OI ; OM , les autres mesures sont de la forme α = x + 2kπ (k ∈ Z).
J
M
α
0
I
2 Conversion degré-radians
Propriété
Mesures en degré
0°
Mesures en radians
0
Cours
30°
π
6
45°
π
4
60°
π
3
90°
π
2
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120°
2π
3
180°
π
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La trigonométrie
Définition
³→
→
−
→
−
− →
−´
Deux vecteurs non nuls u et v détermine un angle orienté noté u ; v .
³→
− →
−´
Sur un cercle trigonométrique, on définit une mesure x en radians de l’angle angle orienté u ; v .
→
−
v
x
−
→
u
Définition
¤
¤
La mesure principale d’un angle orienté est la seule de ses mesures qui se trouve dans − π π .
III Cosinus et sinus d’un réel
1 Définition
Définition
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct, si M est le point du cercle trigonométrique
image du réel x alors :
◦ l’abscisse de M est appelée cosinus de x, elle est notée cos(x) ;
◦ l’ordonnée de M est appelée sinus de x, elle est notée sin(x).
J
sin(x)
M
x
0
Cours
cos(x)
I
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La trigonométrie
2 Les premières propriétés
Propriété
Pour tout réel x, on a :
−1 É cos(x) É 1
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
− 1 É sin(x) É 1
Pour tout entier relatif k, on a :
cos(x + 2kπ) = cos(x)
sin(x + 2kπ) = sin(x)
3 Les valeurs particulières
Propriété
Mesures en degré
0°
Mesures en radians
0
cosinus
1
sinus
0
3π
4
30°
π
6
p
3
2
1
2
2π
3
5π
6
45°
π
4
p
2
2
p
2
2
60°
π
3
1
2
p
3
2
π
2
π
3
p
3
p2
2
2
180°
0
−1
1
0
π
π
4
π
6
1
2
0
π
p
p
1
− 23 − 22 − 2
p p
3
2
2
2
1
2
− 12
5π
−
6
−
3π
4
−
Cours
90°
π
2
2π
3
−
p
− 22
p
− 23
π
−
2
−
π
3
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−
π
6
π
4
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La trigonométrie
4 Angles associés
π
2 +x
π
2 −x
cos(x)
π−x
cos(−x) = cos(x)
sin(−x) = − sin(x)
− cos(x)
cos(π − x) = − cos(x)
sin(π − x) = sin(x)
x
sin(x)
cos(π + x) = − cos(x)
sin(π + x) = − sin(x)
¡
¢
cos π2 + x = − sin(x)
¢
¡π
sin 2 + x = cos(x)
¢
¡
cos π2 − x = sin(x)
¡
¢
sin π2 − x = cos(x)
cos(x)
− sin(x)
sin(x)
− sin(x)
−x
y
=
x
π+x
5 Formules
Propriété
a et b sont deux réels quelconques.
Formules d’addition
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)
Formules de duplication
cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2 sin2 (a)
sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
IV Équations trigonométriques
a
cos(a)
cos(x) = cos(a) ⇐⇒ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ (k ∈ Z)
−a
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La trigonométrie
a
sin(a)
π−a
sin(x) = sin(a) ⇐⇒ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ (k ∈ Z)
V Fonctions trigonométriques
Définition
On appelle fonction cosinus la fonction définie sur R par x 7→ cos(x).
On appelle fonction sinus la fonction définie sur R par x 7→ sin(x).
Propriété
Pour tout réel x, on a :
cos(x + 2π) = cos(x)
et
sin(x + 2π) = sin(x).
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions périodiques de période 2π.
Pour tout réel x, on a :
cos(−x) = cos(x)
et
sin(−x) = − sin(x).
On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire.
1 Représentations graphiques
a) Fonction cosinus
1
−2π
→
−
u
π
−π
2π
−1
Propriété
La courbe représentative de la fonction cosinus s’appelle une sinusoïde.
→
−
Elle est globalement invariante par la translation de vecteur u (2π ; 0).
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La trigonométrie
b) Fonction sinus
→
−
u
1
π
−π
−2π
2π
−1
Propriété
La courbe représentative de la fonction sinus s’appelle une sinusoïde.
→
−
Elle est globalement invariante par la translation de vecteur u (2π ; 0).
c) Fonctions cosinus et sinus
1
−2π
→
−
v
π
−π
2π
−1
Propriété
On passe d’une courbe de la fonction cosinus à la courbe
de la fonction cosinus par la translation de
→
− ³π ´
vecteur v
;0 .
2
2 Dérivation
Propriété
–
–
–
–
La fonction cosinus est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction −sinus.
La fonction sinus est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction cosinus.
La fonction x 7→ cos(a x + b) est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction x 7→ −a sin(a x + b).
La fonction x 7→ sin(a x + b) est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction x 7→ a cos(a x + b).
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