Annexe 1 page 1 QUELQUES NOTIONS MATHEMATIQUES A. Les mesures algébriques 1. De la droite à l’axe normé x' O x u fig. A1.1 : l'axe (Ox) Nous considérons une droite (x’x) sur laquelle nous choisissons une origine, notée O, un sens, de x’ vers x et une unité u. La droite devient ainsi l’axe normé ( Ox ) – voir figure A1.1. Remarque : en Physique, l’unité légale de distance est le mètre (m). Cependant tous les multiples (dam, hm, km…) et sous-multiples1 (dm, cm, mm, …, µm, …, nm…) peuvent aussi être utilisés. 2. Vecteur unitaire x' O x i fig. A1.2 : l'axe (Ox) Nous pouvons définir le vecteur unitaire i attaché à l’axe normé ( Ox ). Sa direction est celle de la droite (x’x), son sens celui de l’axe ( Ox ) et sa norme i vaut 1. (Voir figure A1.2) L’axe normé ( Ox ) peut alors être défini par la donnée de l’origine O et du vecteur unitaire i . 3. Mesure algébrique x' O M x x i fig. A1.3 : mesure algébrique Considérons un point M appartenant à l’axe normé ( Ox ). (Voir figure A1.3.) Le vecteur OM est colinéaire au vecteur i (ils sont portés par la même droite), nous pouvons donc écrire : OM = x i Dans cette égalité, x est un nombre réel qui peut être positif, négatif ou nul. Par définition, la mesure algébrique de OM, notée OM , est égale à x : OM = x 1 Voir l’annexe 3 sur les unités. Annexe 1 page 2 Lorsque M appartient à la demi-droite ]Ox), OM est positive. Lorsque M appartient à la demidroite (x’O[, OM est négative. Lorsque M est en O, OM est nulle. B. Les valeurs absolues Considérons un nombre réel x, sa valeur absolue notée x est définie ainsi : Lorsque x est positif, alors x égale x : x 0 x Lorsque x est nul, alors x égale 0 : x 0 x Lorsque x est négatif, alors x égale moins x : x 0 x x 0 x Deux remarques : La valeur absolue est toujours positive. La distance OM est égale à la valeur absolue de la mesure algébrique de OM : d(O,M) = OM C. Les unités d’angle 1. Introduction R R O 2 R fig. A1.4 le périmètre du cercle s O fig. A1.5 un arc de cercle Pour introduire ces unités, nous considérons le cercle de centre O et de rayon R. La circonférence de ce cercle a pour longueur 2 R. (Voir figure A1.4.) Un angle au centre de valeur délimite un arc de cercle dont la longueur est proportionnelle au rayon : si le rayon double, l’arc aussi ; si le rayon triple, l’arc aussi, etc. (Voir figure A1.5.) La longueur de cet arc est aussi proportionnelle à l’angle : si l’angle double, l’arc aussi ; si l’angle triple, l’arc aussi, etc. Ces deux propriétés se traduisent par la relation : longueur de l’arc = constante x rayon x angle s = cste . R . Vous pouvez vérifier que les deux propriétés ci-dessus sont bien respectées par cette relation. 2. Le radian Par définition, lorsque l’angle est exprimé en radian, la constante vaut 1 : s=R Annexe 1 page 3 Remarque : s et R sont toutes deux des longueurs qui s’expriment de ce fait légalement en mètres. Donc l’homogénéité de la relation impose que le radian est une unité sans dimension. Exemples : R s= R O O = 2 rad s = 2 R fig. A1.6 le cercle entier R fig. A1.7 un demi-cercle Lorsque s = 2 R (le cercle entier), alors l’angle au centre vaut = 2 rad. (Voir figure A1.6.) Lorsque s = R (le demi-cercle), alors l’angle au centre vaut = rad. (Voir figure A1.7.) 3. Le degré, la minute, la seconde2 Par définition, le degré est tel que : 360° = 2 rad. On a donc aussi en divisant par 2 : 180° = rad puis en divisant par 180 1° = /180 rad et en divisant par la relation rad = 180° 1 rad = 180/ ° Par définition de la seconde et de la minute d’angle : 1 minute = 60 secondes soit 1’ = 60’’ 1 degré = 60 minutes = 3600 secondes soit 1° = 60’ = 3600’’ D. Les fonctions trigonométriques Ces fonctions se définissent d’abord usuellement dans un triangle rectangle. Nous choisissons un triangle ABC rectangle en A et nous posons ABC = . Ces définitions se généralisent ensuite à l’aide du cercle trigonométrique, cercle de centre O et de rayon unité. 2 Il s’agit de minutes et de secondes d’angle, ne pas confondre avec les minutes (min) et secondes (s) de temps. Annexe 1 page 4 C y K O M H x B A fig. A1.8 le triangle ABC fig. A1.9 le cercle trigonométrique 1. La fonction cosinus a) Définition du cosinus Par définition, dans le triangle rectangle ABC (voir figure A1.8) : côté adjacent à hypoténuse cos AB BC Cette définition introduit des valeurs du cosinus positives et inférieures à un. Positives car les deux longueurs AB et BC le sont par nature ; inférieures à un car l’hypoténuse est toujours plus grande que les côtés de l’angle droit. Sur le cercle trigonométrique, pour définir cos nous traçons la perpendiculaire à l’axe (Ox) passant par M (voir figure A1.9): côté adjacent à hypoténuse OH OH R Nous considérons ensuite tous les angles (Ox, OM ) possibles. La définition est alors généralisée cos et devient algébrique : cos OH Avec cette généralisation, les valeurs du cosinus sont telles que : -1 < cos < +1 b) Représentation graphique de la fonction cosinus L’étude de la fonction x y = cos(x) montre qu’elle est définie sur l’ensemble des réels, continue et dérivable. Elle est périodique de période 2 rad (ou 360°) : cos(x + 2π) = cos(x). De plus c’est une fonction paire : cos(-x) = cos(x). Annexe 1 page 5 Voici sa représentation graphique sur l’intervalle [- rad ; + rad] : c) Quelques valeurs particulières x (rad) 0 x (°) 0 cos(x) 1 /6 /4 30 3 /3 45 2 0,866 2 60 2 0,707 1/2 = 0,5 /2 90 0 2. La fonction sinus a) Définition du sinus Par définition, dans le triangle rectangle ABC (voir figure A1.8) : sin côté opposé à hypoténuse AC BC Cette définition introduit des valeurs du sinus positives et inférieures à un. Positives car les deux longueurs AC et BC sont par nature positives ; inférieures à un car l’hypoténuse est toujours plus grande que les côtés de l’angle droit. Sur le cercle trigonométrique, pour définir sin nous traçons la perpendiculaire à l’axe (Oy) passant par M (voir figure A1.9) : OK OK R Nous considérons ensuite tous les angles (Ox, OM ) possibles. La définition est alors généralisée sin côté opposé à hypoténuse et devient algébrique : sin OK Avec cette généralisation, les valeurs du sinus sont telles que : -1 < sin < +1 b) Représentation graphique de la fonction sinus L’étude de la fonction x et dérivable. y = sin(x) montre qu’elle est définie sur l’ensemble des réels, continue, Annexe 1 page 6 Elle est périodique de période 2 rad (ou 360°). De plus c’est une fonction impaire : sin(-x) = - sin(x). Voici sa représentation graphique sur l’intervalle [- rad ; + rad] : c) Quelques valeurs particulières x (rad) 0 x (°) 0 30 sin(x) 0 1/2 = 0,5 /6 /4 /3 45 2 /2 60 2 0,707 3 90 2 0,866 1 3. La fonction tangente a) Définition de la tangente Par définition, dans le triangle rectangle ABC (voir figure A1.8) : côté opposé à côté adjacent à tan AC AB Cette définition introduit des valeurs positives de la tangente, car les deux longueurs AC et AB sont par nature positives. Remarque : sin cos tan t y C c B K O fig. A1.10 tangente et cotangente M T H A x Annexe 1 page 7 Sur le cercle trigonométrique (Voir figure A1.10), pour définir tan nous traçons la perpendiculaire (At) à l’axe (Ox) passant par A et prenons l’intersection T de la droite (OM) avec (At) : côté opposé à côté adjacent à AT AT R Nous considérons ensuite tous les angles (Ox, OM ) possibles. La définition est alors généralisée tan et devient algébrique : tan AT Avec cette généralisation, les valeurs de la tangente sont telles que : tan ]- ; + [ b) Représentation graphique de la fonction tangente L’étude de la fonction x y = tan(x) montre qu’elle est définie sur l’ensemble des réels. Elle est continue et dérivable, sauf en /2 + n (n entier relatif). Elle est périodique de période rad (ou 180°). De plus c’est une fonction impaire. Voici sa représentation graphique sur l’intervalle [- rad ; + rad] privé de - /2 et + /2 : c) Quelques valeurs particulières x (rad) 0 x (°) 0 tan(x) 0 /6 /4 30 3 45 3 0,577 1 /3 60 3 1,732 4. La fonction cotangente a) Définition de la cotangente Par définition la cotangente est l’inverse de la tangente (voir figure A1.8) : cot côté adjacent à côté opposé à AB AC /2 90 + Annexe 1 page 8 Sur le cercle trigonométrique, (Voir figure A1.10.) pour définir cot nous traçons la perpendiculaire (Bc) à l’axe (Oy) passant par B et prenons l’intersection C de la droite (OM) avec (Bc) : BC R cot BC Nous considérons ensuite tous les angles (Ox, OM ) possibles. La définition est alors généralisée et devient algébrique : cot BC Avec cette généralisation, les valeurs de la tangente sont telles que : cot ]- ; + [ b) Représentation graphique de la fonction cotangente L’étude de la fonction x y = cot(x) montre qu’elle est définie sur l’ensemble des réels. Elle est continue et dérivable, sauf en /2 + n (n entier relatif). Elle est périodique de période rad (ou 180°). De plus c’est une fonction impaire. Voici sa représentation graphique sur l’intervalle ]- rad ; + rad[ privé de 0 : c) Quelques valeurs particulières x (rad) 0 x (°) 0 cot(x) + /6 30 3 1,732 /4 45 1 /3 60 3 /2 90 3 0,577 0 E. Les fonctions inverses des fonctions trigonométriques 1. La fonction arcsinus Sur l’intervalle [- /2 ; + /2], la fonction sinus est définie, continue et monotone ce qui permet de définir sa fonction inverse : x y = arcsin(x) telle que sin(y)= sin[arcsin(x)] = x Annexe 1 page 9 La fonction arcsinus est définie sur [-1 ; +1] et à valeur sur [- /2 ; + /2]. Voici sa représentation graphique avec y en radians : Sur la calculatrice on utilise la touche sin-1. Ne pas confondre y = arcsin(x) = sin-1(x) et 1/sin(x). Les notations sont totalement trompeuses car sin2(x) est lui, vraiment égal à [sin(x)]2. 2. La fonction arccosinus Sur l’intervalle [0 ; + ], la fonction cosinus est définie, continue et monotone ce qui permet de définir sa fonction inverse : x y = arccos(x) telle que cos(y) = cos[arccos(x)] = x La fonction arccosinus est définie sur [-1 ; +1] et à valeur sur [0 ; + ]. Voici sa représentation graphique avec y en radians : Même remarque sur la touche cos-1 de la calculatrice. 3. La fonction arctangente Sur l’intervalle ]- /2 ; + /2[, la fonction tangente est définie, continue et monotone ce qui permet de définir sa fonction inverse : x y = arctan(x) telle que tan(y) = tan[arctan(x)] = x La fonction arctangente est définie sur [- ; + ] et à valeur sur ]- /2 ; + /2[. Voici sa représentation graphique avec y en radians : Annexe 1 Même remarque sur la touche tan-1 de la calculatrice. On pourrait définir la fonction arccotangente … page 10