Formulaire de trigonométrie - Sébastien Godillon

Formulaire de trigonométrie
2
Valeurs remarquables
cos
1
sin
Cercle trigonométrique
√
√
4/2
0/2
tan
Beaucoup de formules se retrouvent à l’aide du cercle trigonométrique.
— Ensemble de définition de la fonction tangente :
3
π/6
√
3/2
√
1/2
√
1/ 3
0
0
π/4
√
2/2
√
2/2
1
— Définitions des fonctions cosinus et sinus :
cos(θ) = Re eiθ
∀θ ∈ R,
— Théorème de Thalès :
— Formules d’Euler :
tan(θ) =
sin(θ)
.
cos(θ)
∀θ ∈ R,
∀(n, θ) ∈ Z × R,
cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1 .
— Application de Thalès-Pythagore : ∀θ ∈ Dtan , 1 + tan2 (θ) =
— Parités et symétries :


 cos(−θ) = cos(θ)
∀θ ∈ R,
cos( π2 − θ) = sin(θ)


cos(π − θ) = − cos(θ)
et



∀θ ∈ Dtan ,
∀θ ∈ R \


{k π2
et
et


 sin(−θ) = − sin(θ)
sin( π2 − θ) = cos(θ)


sin(π − θ) = sin(θ)
4
et
sin(θ) =
eiθ − e−iθ
.
2i
tan( π2
cos(nθ) + i sin(nθ) = cos(θ) + i sin(θ)
∀(α, β) ∈ R2 ,
1
tan(θ)
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
sin(α + β) = cos(α) sin(β) + sin(α) cos(β)
tan(α) + tan(β)
.
1 − tan(α) tan(β)
— Formules de duplication :
cos(2θ) = cos2 (θ) − sin2 (θ) = 2 cos2 (θ) − 1 = 1 − 2 sin2 (θ)
∀θ ∈ R,
sin(2θ) = 2 cos(θ) sin(θ)

π

 sin(θ + 2 ) = cos(θ)
sin(θ + π) = − sin(θ)

 sin(θ + 2π) = sin(θ)
∀θ ∈ Dtan , tan(θ + π) = tan(θ)
.
Relations algébriques
2
et ∀(α, β) ∈ Dtan
, α + β ∈ Dtan =⇒ tan(α + β) =
et
n
— Formules d’addition :
tan(−θ) = − tan(θ)
1
∀θ ∈ R \ {k π2 | k ∈ Z}, tan(θ + π2 ) = − tan(θ)
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017
eiθ + e−iθ
2
sin(θ) = Im eiθ .
— Factorisation par l’angle moitié : ∀(α, β) ∈ R2 ,
eiα + eiβ = 2 cos α−β
ei(α+β)/2 et eiα − eiβ = 2i sin α−β
ei(α+β)/2 .
2
2
1
.
cos2 (θ)
.
| k ∈ Z},
− θ) =
∀θ ∈ Dtan , tan(π − θ) = − tan(θ)
— Décalages et périodicités :

π

 cos(θ + 2 ) = − sin(θ)
cos(θ + π) = − cos(θ)
∀θ ∈ R,

 cos(θ + 2π) = cos(θ)
(
cos(θ) =
et
— Formule de Moivre :
— Théorème de Pythagore :
∀θ ∈ R,
π/2
√
0/2
√
4/2
Lien avec les nombres complexes
Dtan = R \ π2 + kπ | k ∈ Z
.
S
= k∈Z − π2 + kπ, π2 + kπ
∀θ ∈ Dtan ,
π/3
√
1/2
√
3/2
√
3
et ∀θ ∈ Dtan , 2θ ∈ Dtan =⇒ tan(2θ) =
.
1 sur 2
2 tan(θ)
.
1 − tan2 (θ)
Sébastien Godillon
— Formules de bissection :
r
r
1 + cos(θ)
θ 1 − cos(θ)
θ =
=
et sin
∀θ ∈ R, cos
2
2
2
2
θ
θ
sin(θ)
1 − cos(θ)
et ∀θ ∈ Dtan ,
∈ Dtan =⇒ tan
=
=
.
2
2
1 + cos(θ)
sin(θ)
— Transformation de produits en sommes (formules d’Euler) :

1
1
 cos(α) cos(β) = 2 cos(α − β) + 2 cos(α + β)
2
1
∀(α, β) ∈ R ,
sin(α) sin(β) = 2 cos(α − β) − 21 cos(α + β) .

cos(α) sin(β) = 12 sin(α + β) − 21 sin(α − β)
8
— Domaines de départ et d’arrivée des fonctions trigonométriques réciproques :

arccos : [−1, 1] → [0, π]





x 7→ θ tel que cos(θ) = x



arcsin : [−1, 1] → − π2 , π2
.

y 7→ θ tel que sin(θ) = y




arctan :
R → − π2 , π2



t 7→ θ tel que tan(θ) = t
— Transformation de sommes en produits (factorisation par l’angle moitié) :

α−β
α+β

cos(α)
+
cos(β)
=
2
cos
cos



2 2 α−β
2
sin(α) + sin(β) = 2 cos
sin α+β
∀(α, β) ∈ R ,
.

2
2


α+β
α−β
π
π
 cos(α) + sin(β) = 2 cos
2 − 4 cos
2 + 4
5
6
— Réciprocités :

∀θ ∈ [0, π], arccos(cos(θ)) = θ et ∀x ∈ [−1, 1], cos(arccos(x)) = x

∀θ ∈ − π2 , π2 , arcsin(sin(θ)) = θ et ∀y ∈ [−1, 1], sin(arcsin(y)) = y .

∀θ ∈ − π2 , π2 , arctan(tan(θ)) = θ et ∀t ∈ R, tan(arctan(t)) = t
Inégalités de comparaison
h πi
∀θ ∈ 0,
,
2
— Résolution d’équations trigonométriques d’inconnue θ ∈ R :
(
∀x ∈ [−1, 1], cos(θ) = x ⇐⇒ θ ≡ arccos(x) ou − arccos(x) [2π]
∀y ∈ [−1, 1], sin(θ) = y ⇐⇒ θ ≡ arcsin(y) ou π − arcsin(y) [2π]
sin(θ) 6 θ 6 tan(θ) .
Changement de variable de l’arc moitié
— Expressions en fonction de t = tan
θ
2
:
et ∀t ∈ R,
2
1−t
2t
∀θ ∈] − π, π[, cos(θ) =
, sin(θ) =
1 + t2
1 + t2
i π πh
2t
et ∀θ ∈ − ,
, tan(θ) =
.
2 2
1 − t2
7
tan(θ) = t ⇐⇒ θ ≡ arctan(t) ou arctan(t) + π
⇐⇒ θ ≡ arctan(t) [π]
[2π]
.
— Quelques relations :

 ∀x ∈ [−1, 1], arccos(−x) = π − arccos(x)
∀y ∈ [−1, 1], arcsin(−y) = − arcsin(y)

∀t ∈ R, arctan(−t) = − arctan(t)
Géométrie du triangle
Soit un triangle d’angles α, β, γ et de côtés opposés a, b, c respectivement.
(
— Loi des cosinus (théorème d’Al-Kashi) :
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ).
— Loi des sinus :
sin(β)
sin(γ)
sin(α)
=
=
.
a
b
c
— Somme des angles (5e postulat d’Euclide) :
α + β + γ = π.
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017
Fonctions trigonométriques réciproques
√
∀x ∈ [−1, 1], sin (arccos(x)) = p1 − x2
∀y ∈ [−1, 1], cos (arcsin(y)) = 1 − y 2
∀x ∈ [−1, 1], arccos(x) + arcsin(x) =
π
2
π
1
2 si t > 0 .
et ∀t ∈ R , arctan(t) + arctan
=
π
− 2 si t < 0
t
?
2 sur 2
Sébastien Godillon