6 Trigonométrie 6.1 Cercle trigonométrique 6.1.1 Enroulement de la droite numérique autour du cercle Définition : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, muni d’un sens de parcours appelé sens direct et correspondant au sens inverse des aiguilles de la montre (sens antihoraire). On note C le cercle trigonométrique de centre O et (O ; I,J) un repère ‘ soit un angle droit orthonormé direct (c’est-à-dire tel que l’angle IOJ et tel qu’une rotation d’un quart de tour autour de O amène le point I sur le point J : sens direct). Si K est le point de coordonnées (1 ; 1), on munit la droite (IK) du repère (I ; K) et on enroule la droite (IK) autour du cercle C ; ainsi à tout point d’abscisse x sur la droite (IK) correspond un point M sur le cercle C : M est appelé le point image du nombre réel x. J x M K C O 1 rad I Propriété : • Si x et x′ sont deux nombres tels que x′ − x = 2kπ, où k est un nombre entier relatif, alors x et x′ ont le même point image. • Si M est le point image du nombre réel x, alors M est aussi le point image de tous les nombres réels de la forme x′ = x + 2kπ, où k ∈ Z. Preuve : Le périmètre du cercle trigonométrique est égal à 2π, donc ajouter, ou retrancher, 2π à un nombre est équivalent à faire un tour dans le sens direct, ou dans le sens horaire, suivant le signe de k. 6.1.2 Le radian Définition : Sur le cercle trigonométrique C, le radian est la mesure d’un angle au centre qui intercepte sur le cercle C un arc de longueur égale au rayon (c’est-à-dire 1). Le symbole du radian est rad. Conversion d’unité : 180° = π rad. ’ = x rad. Exemple : Sur le cercle trigonométrique ci-dessus M est le point image du réel x, alors IOM π ‘ = rad, c’est-à-dire un angle droit. IOJ 2 ‘′ = π rad, c’est-à-dire un angle plat. Si I ′ est le symétrique de I par rapport à O, alors IOI π π • 45° = 45 × = rad. 180 4 π π = rad. • 30° = 30 × 180 6 π π • 60° = 60 × = rad. 180° 3 6.1.3 Sinus et Cosinus d’un nombre réel Définition : Soit x un nombre réel et M le point image de x sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M ; le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M , donc le point a pour coordonnées : M (cos x ; sin x). 26 Maths 1s 6. Trigonométrie prog 2010 π π π a pour image le point J(0 ; 1), donc cos = 0 et sin = 1. 2 2 2 • I ′ (−1 ; 0), symétrique de I par rapport à O, permet d’écrire cos πÅ= −1 ã et sin π =Å0. ã 3π 3π • J ′ (0 ; −1), symétrique de J par rapport à O, permet d’écrire cos = 0 et sin = −1. 2 2 Exemple : • Le nombre réel Propriétés : Pour tout nombre réel x et tout nombre entier relatif k : • −1 6 cos x 6 1, −1 6 sin x 6 1 • cos(x + 2kπ) = cos x et cos2 x + sin2 x = 1 et sin(x + 2kπ) = sin x Angles remarquables : x 0 cos x 1 sin x 0 π 6 √ 3 2 1 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 π 3 1 2 √ 3 2 π 2 π 0 −1 1 0 6.2 Angles orientés Définition : Soient M et N les images respectives des réels x et x′ sur le cercle trigonométrique de centre O. On appelle angle orienté, l’angle de mesures x′ − x + 2kπ, où k est un nombre entier relatif. On note cet angle : Ä−−→ −−→ä OM ; ON = x′ − x + 2kπ, où k ∈ Z N J M x′ x O I Ä−−→ −−→ä ou encore OM ; ON = x′ − x. Propriété : O étant le centre du cercle trigonométrique C, − → → u et − v étant deux vecteurs non nuls tels que : −→ → −−→ − → u = OA et − v = OB soit M l’intersection de la demi-droite [OA) avec le cercle C et N l’intersection de [OB) avec C, alors : Ä−−→ −−→ä → → (− u ;− v ) = OM ; ON N J A B M O I → → Définition : On appelle mesure principale de l’angle orienté (− u ;− v ) la mesure en radian appartenant à l’intervalle ] − π ; π]. Propriété : La mesure principale d’un angle est unique. Preuve : Pour tout réel x, il n’existe qu’une seule valeur entière k telle que −π < x + 2kπ 6 π. Propriété des angles orientés : → → → → •− u et − v sont colinéaires et de même sens si, et seulement si, (− u ;− v ) = 0; − → − → − → → • u et v sont colinéaires et de sens contraire si, et seulement si, ( u ; − v ) = π. math4bac – 27 – v1.618 Maths 1s 6. Trigonométrie prog 2010 → → → Relation de Chasles : Pour tous vecteurs − u, − v et − w non nuls : → → → → → − (− u ;− v ) + (− v ;− w ) = (− u ;→ w) − − → −→ π Exemple : ABC est un triangle équilatéral tel que (AB ; AC) = , H est le milieu 3 de [BC]. ä Ä Ä ä Ä− ä −−→ −−→ − → −−→ −−→ −→ π π AB ; AH = AH ; AC = et AH ; BC = ; 6 2 Ä− Ä−−→ −→ä 2π − → −−→ä π BA ; BC = − et CB ; AC = . 3 3 A B C H 6.3 Angles associés Propriétés : Pour tout nombre réel x : (1) cos(−x) = cos x et (2) cos(π − x) = − cos x sin(−x) = − sin x et sin(π − x) = sin x (3) cos(x + π) = − cos x et sin(x + π) = − sin x π π − x = sin x et sin − x = cos x (4) cos 2 2 π π (5) cos x + = − sin x et sin x + = cos x 2 2 J (1) x O J (2) −x O O I J (5) x −x O x I J (4) π x −x I J (3) x I O x I 6.4 Équations trigonométriques Théorème : L’équation trigonométrique cos x = cos a a pour solutions : x = a + 2kπ et x = −a + 2kπ où k ∈ Z. Preuve : cos(−a) = cos a et cos(a + 2kπ) = cos a, où k ∈ Z. math4bac – 28 – v1.618 Maths 1s 6. Trigonométrie π a pour solutions : 3 Exemples : • L’équation cos x = cos x= prog 2010 π + 2kπ 3 et x=− π + 2kπ, où k ∈ Z 3 • L’équation cos 2x = 1 a pour solutions 2x = 0 + 2kπ, où k ∈ Z ; en effet on remarque que cos 0 = 1 ; alors les solutions sont x = kπ, où k ∈ Z. Théorème : L’équation trigonométrique sin x = sin a a pour solutions : x = a + 2kπ et x = π − a + 2kπ où k ∈ Z. Preuve : sin(π − a) = sin a et sin(a + 2kπ) = sin a, où k ∈ Z. Exemples : • L’équation sin x = sin x= π a pour solutions : 4 π + 2kπ 4 et x=π− π 3π + 2kπ = + 2kπ, où k ∈ Z 4 4 π π • L’équation sin 3x = 1 a pour solutions 3x = +2kπ = π − +2kπ, 2 2 π où k ∈ Z ; en effet on remarque que sin = 1 ; 2 2π π alors les solutions sont x = + k , où k ∈ Z. 6 3 Les mesures principales de ces solutions sont représentées sur le cercle trigonométrique ci-contre : π − ; 2 π 6 et J π 6 5π 6 O I 5π 6 ces mesures correspondent respectivement à k = −1, k = 0 et k = 1. − π 2 Cas particulier : équation du type πsin x= cos a (ou cos x = sin a). En utilisant l’égalité cos a = sin − a on peut transformer l’équation en 2 π sin x = sin − a , de solutions : 2 π π π x = − a + 2kπ et x = π − − a + 2kπ = + a + 2kπ, où k ∈ Z 2 2 2 π − a on transforme l’équation en De même pour cos x = sin a, en utilisant l’égalité sin a = cos 2 π cos x = cos − a , de solutions : 2 π π π x = − a + 2kπ et x = − − a + 2kπ = a − + 2kπ, où k ∈ Z 2 2 2 6.5 Formule d’addition Théorème : Pour tous réels a et b : cos(a + b) = sin(a + b) = math4bac cos a cos b − sin a sin b sin a cos b + cos a sin b – 29 – v1.618 Maths 1s 6. Trigonométrie prog 2010 − → −−→ Preuve : Soit M le point du cercle C tel que (OI ; OM) = a ; π −−→ −−→ −−→ − − → N sur C tel que (OM ; ON ) = b et P sur C tel que (OM ; OP ) = . 2 −−→ Alors (O ; M,P ) est un repère orthonormé direct dans lequel on peut écrire ON = −−→ − − → cos b OM + sin b OP . −−→ − → −→ Or dans (O ; I,J) on a : OM = cos a OI + sin a OJ − → − → − → −→ − − → et OP = cos(a + π2 ) OI + sin(a + π2 ) OJ = − sin a OI + cos a OJ, ce qui permet d’écrire : −−→ − → −→ − → −→ ON = cos b(cos a OI + sin a OJ) + sin b(− sin a OI + cos a OJ) − → −→ = (cos a cos b − sin a sin b) OI + (sin a cos b + cos a sin b) OJ − → −−→ − → −−→ −−→ −−→ −−→ − → −→ or (OI,ON) = (OI,OM) + (OM ,ON) = a + b, donc ON = cos(a + b) OI + sin(a + b) OJ, N J P M b a O I ce qui prouve que cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b et sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Théorème : Pour tous réels a et b : cos(a − b) = sin(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin a cos b − cos a sin b Preuve : On sait que pour tout réel b : cos(−b) = cos b et sin(−b) = − sin b ; en utilisant le premier théorème et en remplaçant b par son opposé, on obtient ces deux dernières relations. 5π π et cos . Exemple : Calcul des valeurs exactes de sin 12 12 π π π En remarquant que = − on peut écrire : 12 3 4 √ √ √ √ √ π π π π π 3 2 1 2 2( 3 − 1) sin = sin cos − cos sin = × − × = 12 3 4 3 4 2 2 2 2 4 3π 2π π π 5π = + = + on obtient : De même en remarquant que 12 12 12 4 6 √ √ √ √ √ 5π π π π π 2 3 2 1 2( 3 − 1) cos = cos cos − sin sin = × − × = 12 4 6 4 6 2 2 2 2 4 π 5π on peut remarquer que et sont des angles complémentaires, 12 2 Ç √ √ å 5π 2( 3 − 1) π = cos = . ce qui confirme bien l’égalité observée ci-dessus : sin 12 12 4 Théorème : Pour tous réels a (formules de duplication) : cos 2a = sin 2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a 2 sin a cos a Preuve : On utilise les formule d’addition ci-dessus avec b = a : cos 2a = cos a cos a − sin a sin a = cos2 a − sin2 a et sin 2a = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a puis la relation cos2 a + sin2 a = 1 qui donne : sin2 a = 1 − cos2 a, et cos2 a = 1 − sin2 a cos 2a = cos2 a − (1 − cos2 a) = 2 cos2 a − 1 et cos 2a = 1 − sin2 a − sin2 a = 1 − 2 sin2 a . π π et cos . 8 8 √ 2 π π π π On sait que 2 × = et cos = sin = , 8 4 4 4 2 Exemple : Calcul des valeurs exactes de sin √ 2 √ 1 + cos 2a 2+ 2 2 2 2 2 π or cos 2a = 2 cos a − 1, donc cos a = , puis cos = = ; 2 8 2 p4 √ 2+ 2 π π π π ; de plus comme 0 < < , alors cos > 0, ce qui permet d’écrire : cos = 8 2 8 8 2√ 2 √ 1− 2− 2 1 − cos 2a 2 2 π 2 2 , puis sin = = ; on sait aussi que cos 2a = 1 − 2 sin a, donc sin a = 2 8 p 2√ 4 π π π 2− 2 π . de plus comme 0 < < , alors sin > 0, ce qui permet d’écrire : sin = 8 2 8 8 2 1+ math4bac – 30 – v1.618