Chapitre. Rappel de vocabulaire: ABC est un triangle rectangle en A. [BC] est l'hypoténuse. Trigonométrie B hypoténuse [AB] est le côté adjacent à l'angle d B. [AC] est le côté opposé à l'angle d B. [AC] est le côté adjacent à l'angle d C. [AB] est le côté opposé à l'angle d C C A I.Cosinus, sinus, tangente d’un angle aigu Soit BAC un triangle rectangle en A, on définit • le cosinus de l’angle d B , noté cos d B le rapport B , noté sin d B le rapport • le sinus de l’angle d AB ; BC AC ; BC • la tangente de l’angle d B notée tan d B , le rapport remarque 1: sin d B = cos d B = AC AB longueur du côté adjacent à d B longueur de l’hypoténuse longueur du côté opposé à d B longueur de l’hypoténuse tan d B = longueur du côté opposé à d B B longueur du côté adjacent à d remarque 2: Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1. La tangente d’un angle aigu est un nombre positif. II. Deux formules fondamentales cos 2 x + sin 2 x = 1 sin x cos x sin x AC BC démonstration : = × cos BC AB sin x AC = cos AB sin x = tan x . cos tan x = démonstration : cos 2 x + sin 2 x = ( AB 2 AC 2 ) +( ) BC BC AB2 AC2 + BC2 BC2 2 AB + AC2 cos 2 x + sin 2 x = , BC2 par le théorème de Pythagore, AB2 + AC2 = BC2 donc cos 2 x + sin 2 x = 1 cos 2 x + sin 2 x = remarque 1: Application au quart de cercle de rayon 1 : Dans un repère orthonormé (O, I, J), un point M du premier quart de cercle de centre O de rayon 1 a pour coordonnées: M (cos x, sin x ) où x est une mesure de l’angle a IOM . démonstration: M a pour coordonnées (OP; OR) dans ce repère. OP OP cos x = Donc cos x = OM 1 MP OR OR = MP, donc sin x = sin x = OM 1 De plus: tan x = IN OI donc tan x = IN 1 Quelques valeurs trigonométriques à connaître: cos x = OP 1 J sin x = OR tan x = IN M N sin x R O P cos x I 1 III. Et dans les exercices Voici quelques petits trucs pour faire plus facilement les exercices 1) On cherche à connaître un angle. Enoncé de l'exercice: ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 13 cm et AC = 8 cm. ABC . Déterminer une valeur arrondie au degré de a Procédure: 1) On vérifie que cet angle est un angle de triangle rectangle: on écrit: 2) On regarde si on connaît : • l'hypoténuse et le côté adjacent de l'angle • l'hypoténuse et le côté opposé à cet angle • le côté opposé et le côté adjacent à l'angle "Le Le triangle ABC est rectangle en A". On va utiliser le cosinus de l'angle. On va utiliser le sinus de l'angle. On va utiliser la tangente de l'angle. 3) On écrit la formule qui nous intéresse: ici, on connaît le côté opposé et le côté adjacent à l'angle. On va donc utiliser la tangente de l'angle. AC On écrit: "tan a ABC = " AB 8 "tan a ABC = " 13 5) On a maintenant besoin de la calculatrice pour trouver une valeur approchée de l'angle: Sur la plupart des calculatrices récentes, on tape la procédure suivante: sur Casio fx-92 CollègeII: I0G JOWXZKa écriture à l'écran: tan-1 ( 8 ÷ 1 3 ) Sur Texas Instruments TI Collège écriture à l'écran: &` M @ F H:D tan-1( 8 ÷ 1 3 ) Attention à l'ouverture et à la fermeture des parenthèses. La calculatrice va écrire le résultat suivant: 31.60750225 C'est une valeur arrondie de l'angle. "a ABC % 32 °". On va donc noter sur la copie: Au bilan, voilà ce qui apparaît sur la copie: Le triangle ABC est rectangle en A. AC donc tan a ABC = AB tan a ABC = 8 13 donc a ABC % 32 ° 2) On cherche une longueur. Enoncé de l'exercice: On considère un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 5 cm et a ACB = 40 °. Déterminer une valeur arrondie au dixième de BC. Procédure: 1) On vérifie que cet angle est un angle de triangle rectangle: on écrit: 2) On regarde si on connaît : • l'hypoténuse et le côté adjacent de l'angle • l'hypoténuse et le côté opposé à cet angle • le côté opposé et le côté adjacent à l'angle "Le Le triangle ABC est rectangle en A". On va utiliser le cosinus de l'angle. On va utiliser le sinus de l'angle. On va utiliser la tangente de l'angle. 3) On écrit la formule qui nous intéresse: ici, on connaît l'hypoténuse et le côté opposé à l'angle. On va donc utiliser le sinus de l'angle. AB On écrit: " sin a ACB = " BC Ce qui nous intéresse, c'est de déterminer la longueur BC. Faut-il multiplier ? diviser ? Pour être sûr de ne pas se tromper, on va transformer cette écrire pour faire apparaître un produit en croix. on écrit: " sin a ACB AB = " 1 BC La division par 1 ne change pas la valeur du premier membre. Ici, on obtient donc on écrit: "BC = AB × 1 " a sin ACB 5×1 "BC = " sin 40 La calculatrice donne sur son écran: 7.778619134 On écrit: Au bilan, voilà ce qui apparaît sur la copie: "BC % 7,8 cm" Le triangle ABC est rectangle en A. sin a ACB = AB BC soit BC = BC = AB × 1 sin a ACB 5×1 cm sin 40 BC % 7,8 cm sin a ACB AB = 1 BC Il est évident que pour faire ces exercices, il faut connaître par cœur les relations: remarque 1: cos d B = longueur du côté adjacent à d B longueur de l’hypoténuse sin d B = B longueur du côté opposé à d longueur de l’hypoténuse tan d B = IV. B longueur du côté opposé à d longueur du côté adjacent à d B Quelques valeurs remarquables à connaître mesure de l'angle en degrés cosinus sinus tangente 30 45 60 3 2 1 2 1 2 ou 2 2 1 2 ou 2 2 1 2 3 2 3 1 ou 3 3 1 3