Trigonométrie - Bienvenue au Collège Les Hautes Rayes

Chapitre.
Rappel de vocabulaire:
ABC est un triangle rectangle en A.
[BC] est l'hypoténuse.
Trigonométrie
B
hypoténuse
[AB] est le côté adjacent à l'angle d
B.
[AC] est le côté opposé à l'angle d
B.
[AC] est le côté adjacent à l'angle d
C.
[AB] est le côté opposé à l'angle d
C
C
A
I.Cosinus, sinus, tangente d’un angle aigu
Soit BAC un triangle rectangle en A, on définit
• le cosinus de l’angle d
B , noté cos d
B le rapport
B , noté sin d
B le rapport
• le sinus de l’angle d
AB
;
BC
AC
;
BC
• la tangente de l’angle d
B notée tan d
B , le rapport
remarque 1:
sin d
B =
cos d
B =
AC
AB
longueur du côté adjacent à d
B
longueur de l’hypoténuse
longueur du côté opposé à d
B
longueur de l’hypoténuse
tan d
B =
longueur du côté opposé à d
B
B
longueur du côté adjacent à d
remarque 2:
Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1.
La tangente d’un angle aigu est un nombre positif.
II.
Deux formules fondamentales
cos 2 x + sin 2 x = 1
sin x
cos x
sin x AC BC
démonstration :
=
×
cos
BC AB
sin x AC
=
cos
AB
sin x
= tan x .
cos
tan x =
démonstration : cos 2 x + sin 2 x = (
AB 2
AC 2
) +(
)
BC
BC
AB2 AC2
+
BC2 BC2
2
AB + AC2
cos 2 x + sin 2 x =
,
BC2
par le théorème de Pythagore, AB2 + AC2 = BC2
donc cos 2 x + sin 2 x = 1
cos 2 x + sin 2 x =
remarque 1:
Application au quart de cercle de rayon 1 :
Dans un repère orthonormé (O, I, J), un point M du premier quart de cercle de centre O de rayon 1 a pour coordonnées:
M (cos x, sin x ) où x est une mesure de l’angle a
IOM .
démonstration:
M a pour coordonnées (OP; OR) dans ce repère.
OP
OP
cos x =
Donc cos x =
OM
1
MP
OR
OR = MP, donc sin x =
sin x =
OM
1
De plus: tan x =
IN
OI
donc tan x =
IN
1
Quelques valeurs trigonométriques à connaître:
cos x = OP
1 J
sin x = OR
tan x = IN
M
N
sin x
R
O
P
cos x
I
1
III. Et dans les exercices
Voici quelques petits trucs pour faire plus facilement les exercices
1)
On cherche à connaître un angle.
Enoncé de l'exercice:
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 13 cm
et AC = 8 cm.
ABC .
Déterminer une valeur arrondie au degré de a
Procédure:
1) On vérifie que cet angle est un angle de triangle rectangle:
on écrit:
2) On regarde si on connaît :
• l'hypoténuse et le côté adjacent de l'angle
• l'hypoténuse et le côté opposé à cet angle
• le côté opposé et le côté adjacent à l'angle
"Le
Le triangle ABC est rectangle en A".
On va utiliser le cosinus de l'angle.
On va utiliser le sinus de l'angle.
On va utiliser la tangente de l'angle.
3) On écrit la formule qui nous intéresse: ici, on connaît le côté opposé et le côté adjacent à l'angle. On va donc
utiliser la tangente de l'angle.
AC
On écrit:
"tan a
ABC =
"
AB
8
"tan a
ABC = "
13
5) On a maintenant besoin de la calculatrice pour trouver une valeur approchée de l'angle:
Sur la plupart des calculatrices récentes, on tape la procédure suivante:
sur Casio fx-92 CollègeII:
I0G JOWXZKa
écriture à l'écran:
tan-1 ( 8 ÷ 1 3 )
Sur Texas Instruments TI Collège
écriture à l'écran:
&` M @ F H:D
tan-1( 8 ÷ 1 3 )
Attention à l'ouverture et à la fermeture des parenthèses.
La calculatrice va écrire le résultat suivant: 31.60750225
C'est une valeur arrondie de l'angle.
"a
ABC % 32 °".
On va donc noter sur la copie:
Au bilan, voilà ce qui apparaît sur la copie:
Le triangle ABC est rectangle en A.
AC
donc tan a
ABC =
AB
tan a
ABC =
8
13
donc a
ABC % 32 °
2)
On cherche une longueur.
Enoncé de l'exercice:
On considère un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 5 cm et a
ACB = 40 °.
Déterminer une valeur arrondie au dixième de BC.
Procédure:
1) On vérifie que cet angle est un angle de triangle rectangle:
on écrit:
2) On regarde si on connaît :
• l'hypoténuse et le côté adjacent de l'angle
• l'hypoténuse et le côté opposé à cet angle
• le côté opposé et le côté adjacent à l'angle
"Le
Le triangle ABC est rectangle en A".
On va utiliser le cosinus de l'angle.
On va utiliser le sinus de l'angle.
On va utiliser la tangente de l'angle.
3) On écrit la formule qui nous intéresse: ici, on connaît l'hypoténuse et le côté opposé à l'angle. On va donc
utiliser le sinus de l'angle.
AB
On écrit:
" sin a
ACB =
"
BC
Ce qui nous intéresse, c'est de déterminer la longueur BC. Faut-il multiplier ? diviser ?
Pour être sûr de ne pas se tromper, on va transformer cette écrire pour faire apparaître un produit en croix.
on écrit:
"
sin a
ACB AB
=
"
1
BC
La division par 1 ne change pas la valeur du premier membre.
Ici, on obtient donc
on écrit:
"BC =
AB × 1
"
a
sin ACB
5×1
"BC =
"
sin 40
La calculatrice donne sur son écran: 7.778619134
On écrit:
Au bilan, voilà ce qui apparaît sur la copie:
"BC % 7,8 cm"
Le triangle ABC est rectangle en A.
sin a
ACB =
AB
BC
soit
BC =
BC =
AB × 1
sin a
ACB
5×1
cm
sin 40
BC % 7,8 cm
sin a
ACB AB
=
1
BC
Il est évident que pour faire ces exercices, il faut connaître par cœur les relations:
remarque 1:
cos d
B =
longueur du côté adjacent à d
B
longueur de l’hypoténuse
sin d
B =
B
longueur du côté opposé à d
longueur de l’hypoténuse
tan d
B =
IV.
B
longueur du côté opposé à d
longueur du côté adjacent à d
B
Quelques valeurs remarquables à connaître
mesure de
l'angle en degrés
cosinus
sinus
tangente
30
45
60
3
2
1
2
1
2
ou
2
2
1
2
ou
2
2
1
2
3
2
3
1
ou
3
3
1
3