Parité et périodicité de la fonctions sinus Parité et périodicité de la
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! FORMULES ET THÉORÈMES Parité et périodicité de la fonctions sinus sin est impaire et 2π-périodique, donc pour tout réel x et tout entier relatif k : sin(−x) = − sin(x) sin(x + 2kπ) = sin(x) Parité et périodicité de la fonctions cosinus cos est paire et 2π-périodique, donc pour tout réel x et tout entier relatif k : cos(−x) = cos(x) cos(x + 2kπ) = cos(x) Relation entre le carré du cosinus et le carré du sinus Pour tout réel x : 2 2 cos (x) + sin (x) = 1 Dérivées des fonctions cos et sin Les fonctions cos et sin sont dérivables sur R. ′ cos = − sin ′ sin = cos Limite à connaître La limite suivante traduit le calcul de la dérivée de sin en 0. Cosinus d'une somme sin(x) x↦0 x =1 lim Soient x et y deux réels. cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) Cosinus de 2x En prenant le cas particulier où x = y on obtient le résultat suivant pour tout réel x : 2 2 2 2 cos(2x) = cos (x) − sin (x) = 1 − 2 sin (x) = 2 cos (x) − 1 ! A SAVOIR REFAIRE Résolution d'une inéquation trigonométrique à l'aide du cercle trigonométrique Résous l'inéquation 1 cos(x) < 2 à l'aide du cercle trigonométrique. RECHERCHER LES SOLUTIONS DE L'ÉQUATION 1 cos(x) = 2 cos étant 2π-périodique, on peut restreindre l’étude à [−π; π] dans un premier temps. 1 sur l’axe des abscisses et en se projetant sur le En pointant l’abscisse 2 cercle trigonométrique, on constate que les solutions sur [−π; π] sont : π π x = 3 et x = − 3 cos étant 2π-périodique, on peut désormais résoudre l’équation dans R en « ajoutant 2π » aux résultats obtenus. Ainsi, l’équation se vérifie dans R pour tout x de la forme : π π x = 3 + 2kπ ou x = − 3 + 2kπ, avec k un entier relatif. 1 ETUDIER À L'AIDE DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE LE COMPORTEMENT DU COSINUS ENTRE DEUX SOLUTIONS CONSÉCUTIVES Encore une fois, cos étant 2π-périodique, on peut commencer par lire le cercle trigonométrique en prenant le cas simple où k = 0 . 2 π π Si on regarde les x tels que − 3 < x < 3 on voit en se projetant sur l’axe des abscisses que 1 cos(x) > 2 π π Si on regarde les x tels que x < − 3 ou x > 3 on voit en se projetant sur l’axe des abscisses que 1 cos(x) < 2 cos étant 2π-périodique, on peut généraliser ces résultats en « ajoutant 2kπ » aux résultats obtenus. CONCLURE 3 Ainsi, l’équation est vérifiée si et seulement si il existe un entier π π + 2kπ < x < − + 2(k + 1)π 3 3 k tels que : Résolution d'une inéquation trigonométrique à l'aide des représentations graphiques de Résous l'inéquation sin et cos 1 cos(x) < 2 à l'aide de la représentation graphique de cos. RECHERCHER LES SOLUTIONS DE L'ÉQUATION 1 cos(x) = 2 cos étant 2π-périodique, on peut restreindre l’étude à [−π; π] dans un premier temps. 1 2 et en se projetant sur la courbe représentative de cos, on constate que les solutions sur [−π; π] sont : π π x = 3 et x = − 3 En pointant l'ordonnée cos étant 2π-périodique, on peut désormais résoudre l’équation dans R en « ajoutant 2π » aux résultats obtenus. 1 Ainsi, l’équation se vérifie dans R pour tout x de la forme : π π x = 3 + 2kπ ou x = − 3 + 2kπ, avec k un entier relatif. ETUDIER À L'AIDE DE LA REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE cos LE COMPORTEMENT DE cos ENTRE DEUX SOLUTIONS CONSÉCUTIVES Encore une fois, cos étant 2π-périodique, on peut commencer par lire la représentation graphique de cos en prenant le cas simple où k = 0 . π π Si on regarde les x tels que x ∈ [− 3 ; 3 ] 2 on voit en se projetant sur la courbe représentative de 1 cos(x) > 2 cos que π π Si on regarde les x tels que x ∈ [−π; 3 ] ou x ∈ [ 3 ; π] on voit en se projetant sur la courbe représentative de 1 cos(x) < 2 cos que cos étant 2π-périodique, on peut généraliser ces résultats en « ajoutant 2kπ » aux résultats obtenus. CONCLUSION 3 Ainsi, l'équation est vérifiée si et seulement si il existe un entier k tel que : π π x ∈ [− 3 + 2kπ; 3 + 2kπ] Étude d'une fonction trigonométrique Étudie la fonction définie par f(x) cos(x) = 2 + cos(x) et dresse son tableau de variation. CHERCHER LE DOMAINE DE DÉFINITION DE 1 f Pour x réel, comme cos(x) ≥ −1 , on déduit que cos(x) + 2 le dénominateur de la fonction n'est jamais nul. f est donc bien définie sur R. ≥ 1 et donc que ETUDIER LA PARITÉ ET LA PÉRIODICITÉ DE f cos est paire donc f aussi. En effet, pour tout réel x : cos(−x) cos(x) f(−x) = 2 + cos(−x) = 2 + cos(x) = f(x) 2 cos est 2π périodique donc f aussi. En effet, pour tout réel x : cos(x + 2kπ) cos(x) f(x + 2kπ) = 2 + cos(x + 2kπ) = 2 + cos(x) = f(x) La périodicité de f va nous permettre de restreindre l'étude au domaine [−π; π]. Mais commençons par calculer la dérivée pour avoir les variations de CALCULER LA DÉRIVÉE DE f! f Il faut toujours commencer par s'assurer que f est dérivable. x ↦ cos(x) + 2 ne s’annule pas et est par définition dérivable sur R, tout comme x ↦ cos(x). f est donc dérivable sur R. 3 Calculons maintenant la dérivée. Pour tout réel x, en utilisant la formule de dérivation d'un quotient de fonctions : − sin(x)(cos(x) + 2) − cos(x) × (− sin(x)) sin(x) ′ f (x) = = −2 2 2 (cos(x) + 2) (cos(x) + 2) ÉTUDIER LES VARIATIONS DE f f étant 2π-périodique, on se limite à l'étudier sur l'intervalle [0; 2π]. 2 (cos(x) + 2) > 0 pour tout x ∈ [0; 2π]. ′ ′ Donc f est du signe opposé à 4 sin pour tout réel x. On obtient donc le tableau de signe et le tableau de variation suivant : Calcul de limite faisant intervenir des fonctions trigonométriques 2 lim sin(x) + x ? Que vaut x→+∞ ESSAYER D'AVOIR UNE INTUITION... ET D'ÊTRE MALIN ! Astuce n°1 : quand tu dois calculer des limites il faut toujours essayer d'avoir une intuition. Ici, on voit bien que quand que 2 x sera très grand, x sera très très grand, alors sin(x) restera compris entre -1 et 1. Donc la somme des deux sera forcément très très grande aussi. 1 lim sin(x) + x Donc il y a de bonnes chances que x→+∞ 2 = +∞ Astuce n°2 : quand tu dois calculer des limites avec des cos et des sin, essaie toujours d'encadrer ces fonctions par −1 et 1 . Cela peut très souvent te débloquer ! Ici, comme notre intuition nous dit de démontrer que la limite est +∞, on va surtout essayer de minorer f par une autre fonction qui tend vers +∞. On pourra alors utiliser le théorème de comparaison de limites ! MINORER L'EXPRESSION EN UTILISANT LES PROPRIÉTÉS DE sin Dans ce cas précis, on peut minorer l'expression 2 2 sin(x) + x à l'aide du fait que pour tout réel x : −1 ≤ sin(x) En effet, cela permet de dire que pour tout réel x, on a : 2 −1 + x ≤ sin(x) + x 2 CALCULER LA LIMITE QUI VA TE PERMETTRE DE COMPARER 3 Il s'agit ici d’un polynôme de degré 2, dont on connaît la limite en +∞ : lim −1 + x2 = lim x2 = +∞ x→+∞ x→+∞ CONCLURE 4 Comme 2 sin(x) + x est minorée par une fonction qui tent vers +∞ en +∞, par comparaison on en déduit que : lim sin(x) + x2 = +∞ x→+∞ 1 RAPPELS SUR LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS Définition Fonctions sinus et cosinus et cercle trigonométrique On considère le plan muni du repère orthonormé (O; i ; j ). La fonction cosinus est la fonction qui à tout réel x associe l'abscisse du point repéré par ! l'angle x sur le cercle trigonométrique : on note cos(x). La fonction sinus est la fonction qui à tout réel x associe l'ordonnée du point repéré par l'angle x sur le cercle trigonométrique : on note sin(x). Exemple Soit M le point du cercle trigonométrique tel que π (i ; OM ) = 3. Les coordonnées de M se notent alors : π π M (cos (3) , sin (3)) Remarque Par abus de langage, on peut dire que « les cosinus se lisent sur l'axe des abscisses et les sinus sur l'axe des ordonnées ». Rappel Valeurs remarquables Le tableau suivant donne des valeurs particulières des fonctions sin et cos à connaître : ! x (radians) 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π cos(x) 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 −1 sin(x) 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 0 Par ailleurs, pour tout réel x : cos(x + π) = − cos(x) sin(x + π) = − sin(x) Propriété Relation entre le carré de sinus et de cosinus ! Pour tout nombre réel x, on a la relation suivante : 2 2 sin (x) + cos (x) = 1 Remarque Cette propriété se vérifie en appliquant le théorème de Pythagore au triangle formé par un point du cercle trigonométrique et les axes du repère. Formule Cosinus d'une somme ! Soient x et y des réels. cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) cos(x − y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) Formule Sinus d'une somme ! Soient x et y des réels. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) sin(x − y) = sin(x) cos(y) − cos(x) sin(y) Formule Sinus et cosinus de 2x Soit x un réel. En prenant le cas particulier où ! x = y, on obtient les formules suivantes : 2 2 2 2 cos(2x) = cos (x) − sin (x) = 1 − 2 sin (x) = 2 cos (x) − 1 sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) 2 ÉTUDE DE LA FONCTION SINUS Propriété Parité et périodicité de la fonction sinus Soit x un réel. La fonction ! impaire : sin(−x) sin est : = − sin(x) 2π-périodique : sin(x + 2π) = sin(x) Exemple π π √3 sin (− 3) = − sin (3) = − 2 7π π π √3 sin 3 = sin (3 + 2π) = sin (3) = 2 Remarque Lorsqu'une fonction est impaire, sa représentation graphique présente une symétrie par rapport à l'origine. Cela permet d'en faciliter l'étude. Propriété Dérivée de la fonction sinus ! La fonction ′ sin est continue et dérivable sur R. sin = cos Propriété Tableau de variation de la fonction sinus ! La fonction sin étant 2π-périodique, il suffit de l'étudier sur l'intervalle [0; 2π] pour connaître son comportement sur R. Propriété Tangente en 0 ! En appliquant la définition du nombre dérivé à sin en 0, on reconnaît la limite suivante : sin(x) ′ lim = x→0 x = sin (0) = cos(0) = 1 Propriété Dérivée de sin(ax + b) Soient a et b des réels. ! La fonction définie sur sur R par sin(ax + b) est continue et dérivable R. En appliquant le théorème des dérivées de fonctions composées, on obtient pour tout réel x : ′ sin (ax + b) = a cos(ax + b) La trigonométrie 3 ÉTUDE DE LA FONCTION COSINUS Propriété Parité et périodicité de la fonction cosinus Soit x un réel. La fonction ! paire : cos(−x) cos est : = cos(x) 2π-périodique : cos(x + 2π) = cos(x) Remarque Lorsqu'une fonction est paire, sa représentation graphique présente une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Propriété Dérivée de la fonction cosinus ! La fonction ′ cos est continue et dérivable sur R. cos = − sin Propriété Tableau de variation de la fonction cosinus ! La fonction cos étant 2π-périodique, il suffit de l'étudier sur l'intervalle [0; 2π] pour connaître son comportement sur R. Propriété Dérivée de cos(ax + b) Soient a et b des réels. ! La fonction définie sur sur R par cos(ax + b) est continue et dérivable R. En appliquant le théorème des dérivées de fonctions composées, on obtient pour tout réel x : ′ cos (ax + b) = −a sin(ax + b)
