ESATIC
Géométrie affine
A NNÉE ACADÉMIQUE 2018-2019
SRIT 2
F ICHE DE T D
NO
1
Exercice 1. Soit u ∈ Q. Vérifiez que les deux sous-ensembles F et G de Q4 respectivement définis par les équations
x+y+z−t = 0
x + y + 2z + t = 1
et
x−y+z+t = u
x − y + 2z + 3t = 2u
sont des sous-espaces affines de Q4 , dont on donnera pour chacun un point, l’espace
directeur et la dimension. Pour quelle valeur de u s’intersectent-ils ? Donner alors un
point, l’espace directeur et la dimension de l’intersection.
Exercice 2. Soient F1 et F2 deux sous-espaces affines d’un espace affine E. À quelle
condition F1 ∪ F2 est-il un sous-espace affine ?
Exercice 3. Soit F le sous-espace affine de C4 passant par (1; 0; i; −1) et dont l’espace
directeur est engendré par (1; 1; i; −i) et (0; 1 + i; 1; −1) ; donnez un système d’équations
cartèsiennes de F.
Exercice 4. On donne un nombre réel α 6= 1. Trouver les applications affines telles que,
−−−−→
−−−→
si M 0 désigne l’image de M et M 00 celle de M 0 , on ait M 0 M 00 = αM M 0 .
Exercice 5 (Théorème de Gergonne). Soit un triangle ABC, un point M tel que (M A),
(M B), (M C) coupent (BC), (CA), (AB) en A, B, C, x, y, z le système de coordonnées
barycentriques de M tel que x + y + z = 1. Montrer que
A0 M
B0M
C 0M
+
+
= 1.
A0 A
B0B
C 0C
Exercice 6. Soit un triangle ABC non rectangle et non équilatéral, D l’orthocentre, O le
centre du cercle circonscrit, G le centre de gravité, Ω le centre du cercle des neuf points,
R le rayon du cercle circonscrit, a, b, c les longueurs des côtés.
1. Montrer que Ω est isobarycentre de A, B, C, D.
2. Montrer que la droite d’Euler de ABC est l’ensemble des M tels que
(b2 − c2 )M A2 + (c2 − a2 )M B 2 + (a2 − b2 )M C 2 = 0
3. Montrer que ΩA2 + ΩB 2 + ΩC 2 + ΩD2 = 3R2 .
4. En déduire que le cercle des neuf points est l’ensemble des M tels que
M A2 + M B 2 + M C 2 + M D2 = 4R2 .
Exercice 7. Soient A et B deux points d’un espace affine E et f l’application de E dans
E qui à tout point M de E associe le point f (M ) défini par
−−−−−→
−−→
−−→
M f (M ) = 4AM − 2BM .
1
−−−−−−−→ −−→
1. Comparer les vecteurs f (M )f (N ) et M N pour tout couple (M, N ) de points de
E.
2. En déduire que f est affine. Expliciter sa partie linéaire.
3. En déduire la nature géométrique de f . Préciser ses points fixes.
Exercice 8. Soit E un espace affine sur un corps K et soit f : E → E une application
affine.
−−−−−→
→
−
1. Démpntrer que l’ensemble {M f (M ); M ∈ E} est un sous-espace affine E et
déterminer sa direction.
2. Que peut-on en déduire pour l’ensemble des points fixes de f ?
Exercice 9. Soit E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + 1 = 0}. Montrer E est un sous-espace
affine R3 et déterminer son espaces directeur.
Exercice 10. Dans le plan affine R3 muni du repère (O, e1 , e2 , e3 ), on considère l’application affine f définie analytiquement par :
1
1
1
0
x
+
y
+
+1
x
=
2
3
6
1
1
1
x+ y+ +2
y0 =
2
3
6
z0 = 1 x + 1 y + 1 − 3
2
3
6
→
−
On note f l’application linéaire associée à f .
→
−
1. Montrer que f est une projection (On précisera ses caractéristiques). Est-ce que
f est une projection ?
2. Déterminer l’ensemble des vecteurs des translation t telles que l’application t ◦ f
est une projection.
Exercice 11. Dans le plan affine R2 muni du repère (O, e1 , e2 ), on considère la droite D
d’équation 2x − y + 2 = 0. Donner les expressions analytiques de la projection sur D et
de la symétrie par rapport à D touts deux de direction e1 + 3e2 .
Exercice 12. Soit f : R3 → R3 définie par
x
9x + 2y − 6z + 38
1
2x + 9y + 6z + 17
f y =
11
−6x + 6y − 7z − 29
z
1. Montrer que f est affine et déterminer sa partie linéaire ϕ. f admet elle un point
fixe ?
2. Montrer que le plan P d’équation x − y + 3z + 3 = 0 est stable par f et que la
−
restriction de f à F est une translation de vecteur →
u à déterminer.
→
3. Montrer que l’application g = t−−
u ◦ f est une symétrie par rapport à P parallèlement à une direction à déterminer.
Exercice 13. Reconnaître les applications suivantes :
2
1.
f1 : R3 → R3
(x, y, z) 7→ (−x + 2y − 2z − 2, −3y + 2z + 6, −4y + 3z + 6)
2.
f2 : R3 → R3
(x, y, z) 7→ 61 (3y − 3z + 4, −6x + 9y − 3z + 4, −6x + 3y + 3z + 4)
f3 : R2 → R2
1
3.
(x, y) 7→ √ (x + 2y − 1, −2x + y + 2).
5
f : R2 → R2
4. 4
(x, y) 7→ 15 (3x − 4y + 20, 4x + 3y − 20)
Exercice 14. Soit E un R−espace a ?ne de dimension 2 et soit E son espace directeur.
Soit O ∈ E, soit (e1 , e2 ) une base de E et soit R le repère (O, e1 , e2 ) de E.
1. Soit f l’application affine de E dans E donnée en coordonnées dans le repère R
par la formule (x, y) 7→ (2x − 3y + 5, 7x − 2y + 3). Donnez la matrice de f dans
R.
2. Soit O0 le point de E de coordonnées (2, −1) ; posons e01 = e1 −2e2 et e02 = e1 +e2 .
Vérifiez que (e01 , e02 ) est une base de E. Soit R0 le repère (O0 , e01 , e02 ) de E ; donner
la matrice de passage de R à R0 ; en déduire la matrice de f dans le repère R0 ,
puis une définition de f par une formule en coordonnées dans le repère R0 .
3. Trouvez le repère R00 = (O00 , e001 , e002 ) de E caractérisé par la propriété suivante :
si M est un point de E de coordonnées (x, y) dans R, ses coordonnées dans R00
sont (x − y + 3, 2x + y − 6).
4. Trouvez un repère R000 de E dans lequel f peut être définie par une formule sans
termes constants.
3
