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Fonctions affines et linéaires.
I.Fonctions linéaires.
1. Forme algébrique.
La forme algébrique d’une fonction linéaire est :
où a est un nombre fixé.
f : x ax
f ( x)  ax
Exemple :
 f : x 3x est une fonction linéaire ( a = 3 ).
 g : x 2 x  1 n’est pas une fonction linéaire.
 h : x x²  4 n’est pas une fonction linéaire.
2. Tableau de valeurs.
Le tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de
proportionnalité ; pour calculer l’image d’un nombre on le
multiplie toujours par le même nombre : le coefficient a
Exemple :
On considère la fonction linéaire suivante : f : x
Remplissons son tableau de valeurs :
x
f(x)
-1
-3
-2
-6
-4
-12
0
0
1
3
2
6
3
9
3x
4
12
On remarque que pour « passer » d’une ligne à l’autre on multiplie
toujours par le même nombre : le coefficient a.
5
15
3.
Représentation graphique.
La représentation graphique d’une fonction linéaire f : x ax
est une droite passant par l’origine.
Le nombre a s’appelle le coefficient directeur de la droite car
c’est lui qui donne la direction de la droite.
Exemple :
On considère la fonction linéaire suivante : f : x 3x
et utilisons le tableau des valeurs au dessus pour représenter
la fonction f.
II. Fonctions affines.
1. Forme algébrique.
La forme algébrique d’une fonction affine est :
où a et b sont des nombres fixés.
f : x ax  b
f ( x)  ax  b
Exemple :
 f : x 2 x  4 est une fonction affine avec : a=2 et b= -4.
 g:x
3  5 x est une fonction affine avec : a=5 et b= -3.
Remarque :
Une fonction linéaire est une fonction affine particulière où b=0.
2. Proportionnalité des accroissements.
Propriété :
Soit f une fonction affine définie par une expression de la forme f(x) = ax + b (où a et b sont des nombres
relatifs). Si on note yA et yB les images respectives par f de deux nombres différents xA et xB , alors :
Error! = Error! = a .
yA = f(xA) = axA + b
y = ax + b
B
yB = f(xB) = axB + b
yB - yA
a
A
1
xB - xA
xA
xB
Les accroissements en ordonnées
sont
proportionnels
aux
accroissements en abscisses.
Le coefficient de proportionnalité
des
accroissements
est
le
coefficient directeur de la droite :
le nombre a.
Application : (détermination de l’équation d’une droite)
1/
Déterminer l’expression d’une fonction affine f sachant que f(1) = 2 et que f(3) = – 4.
La fonction f étant affine, son expression est de la forme f(x) = ................, et on cherche à déterminer la
valeur des nombres ...... et ...... .
On sait que : ...... = Error! = Error! = Error! = ...... .
Donc l’expression de f est de la forme f(x) = ................, et il reste à déterminer la valeur du nombre ......
.
L’image du nombre ...... par f est ......, on doit donc avoir .................... = ...... .
On en déduit que ...... = ..................... = ...... .
Finalement, l’expression cherchée pour f est : f(x) = ................. .
2/
Déterminer l’équation de la droite (D) passant par les points A(– 2 ; 3) et B(2 ; – 5).
L’équation de la droite (D) est de la forme : .............................. .
Le coefficient directeur vaut : ...... = Error! = Error! = ...... .L’équation est de la forme : ..............
Pour déterminer ensuite l’ordonnée à l’origine, on traduit l’appartenance d’un des deux points à la
droite :
......(...... ; ......)  (D) donc ........................ = ....... .
On en déduit que : ...... = ..................... = ...... .
Finalement l’équation cherchée pour la droite (D) est : .............................. .