1
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018
DEVOIR SURVEILLÉ nř1 du samedi 23 septembre
Durée : 4 heures de 8h à 12h. Les calculatrices sont interdites.
Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
1
Pour démarrer
Exercice 1 (Nombres complexes et Brevet de trigonométrie) Les trois questions sont indépendantes.
√
√
1
2 ( 6 − i 2)
1. On pose Z =
.
1−i
(a) Donner l’écriture algébrique de Z.
(b) Donner une écriture exponentielle de Z.
π
π
et sin 12
.
(c) Déduire des deux questions précédentes les valeurs exactes de cos 12
2. Calculer les intégrales suivantes :
∫ π2
cos2 x dx
∫
et
0
π
2
sin(x) cos(2x) dx.
0
3. Déterminer des réels a, b, A, B tels que :
∀x ∈ R, cos3 (x) = A cos(ax) + B cos(bx).
On pourra développer (eix + e−ix )3 .
Exercice 2 (Questions en vrac) Les questions sont indépendantes
1. Calculer les sommes suivantes (n ∈ N) :
n
∑
2i
(a)
32i−1
i=0
(b) 301 + 304 + 307 + · · · + 739 + 742
)
n (
∑
n
(c)
3k
k+1
k=0
2. Démontrer par récurrence que n! > 2 .
n
3. Combien existent-ils de nombres à 10 chiffres dont tous les chiffres sont pairs.
4. La classe de MPSI constituée de 36 élèves désire inscrire une équipe de 10 joueurs pour le tournoi
de volley du lycée. Combien d’équipes différentes peut-elle former ?
5. Soit x un élément d’un ensemble E. Déterminer P ({x}) puis P (P ({x})).
6. Soit P et Q deux assertions. Déterminer en justifiant, une assertion A telle que l’assertion
(P ou Q) soit équivalente à l’assertion (non P =⇒ A).
∑
i
7. Calculer
.
j+1
16i6j6n
Exercice 3 (Négations en vrac) Pour chaque assertion, écrire sa négation puis préciser si l’assertion est vraie.
1. ∀n ∈ N, ∃m ∈ N, m2 > 2017n.
2. ∃y ∈ R, ∃x ∈ [0, +∞[, −x < y < x.
3. ∀x ∈ R, (x2 > 9 ⇒ x > 3).
Exercice 4 (Une identité binomiale) Soit n ∈ N∗ .
1. Simplifier la somme
n (
∑
k=1
( )
(
))
2n
2n
k−1
(−1)
− (−1)
.
k
k−1
k
2. En déduire la valeur de la somme
n
∑
k=0
(−1)k
(
)
2n + 1
.
k
2
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018
2
Pour finir
Exercice 5 (Inégalité arithmético-géométrique)
Soit n ∈ N∗ et x un réel positif ou nul. On
√
1
n
n
appelle
racine n-ième de x, noté x ou x l’unique réel positif ou nul r tel que rn = x. Par exemple,
√
3
8 = 2 car 23 = 8.
L’objectif de l’exercice est de démontrer la proposition suivante :
Proposition 1 Soit n ∈ N∗ et x1 , x2 , . . . , xn des réels strictement positifs. Alors on a
v
u n
n
u∏
1∑
n
t
xk 6
xk .
n
k=1
k=1
v
u n
n
u∏
1∑
n
xk est appelé moyenne
Le réel
xk est la moyenne arithmétique de x1 , . . . , xn , et le réel t
n
k=1
k=1
géométrique de x1 , . . . , xn .
1. Le prix de mon café augmente de 20% cette année, de 5% l’année prochaine et de 25% l’année
suivante. Quelle variation moyenne aura-t-il subi sur ces trois années (on ne demande pas de faire
l’application numérique) ?
2. Démontrer l’inégalité pour n = 2.
3. Cas général : on note m la moyenne arithmétique de x1 , . . . , xn .
)
∑n (
Simplifier la somme k=1 xmk − 1 , puis conclure (on pourra utiliser librement l’inégalité classique suivante : pour tout x > 0, on a ln(x) 6 x − 1 où ln désigne la fonction logarithme
népérien).
Fin de l’énoncé
