1 Éléments de logique 2 Vocabulaire de théorie des ensembles

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
Programme de colle n°1 de la semaine n°4 du 19/09 au 23/09
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Éléments de logique
1. Connecteurs logiques : «non»,«et», «ou», «implique», «équivaut». Tables de vérité. À retenir absolument :
• la négation de (P ⇒ Q) est (P et non Q).
• l’assertion (P ⇒ Q) est équivalente à (non Q ⇒ non P ). On dit que (non Q ⇒ non P ) est la
proposition contraposée de (P ⇒ Q).
Exemple :(⋆) montrer par contraposée que si n2 est pair alors n est pair.
• Les lois de Morgan :
non(P et Q) ⇔ (nonP ou non Q)
non(P ou Q) ⇔ (nonP et non Q).
• L’associativité des connecteurs «et», «ou»
• la distributivité du connecteur logique «ou» par rapport au connecteur logique «et» :
((P
et Q) ou R) ⇔ ((P ou R) et
(Q ou R)) .
2. Quantificateurs : ∀ et ∃. Notation ∃!. Négation et permutation des quantificateurs. On retiendra que :
• la négation de (∀x ∈ E, P (x)) est (∃x ∈ E, non P (x)) et la négation de (∃x ∈ E, P (x)) est
(∀x ∈ E, non P (x)).
• on peut permuter deux quantificateurs de même type, mais on ne peut rien dire à priori dans le cas
de quantificateurs de types différents.
Il faut savoir écrire la négation d’assertions et savoir dire si une assertion est vraie ou fausse.
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Vocabulaire de théorie des ensembles
1. Vocabulaire : éléments d’un ensemble, inclusion, sous-ensemble ou partie, notation avec «accolades».
(⋆) L’ensemble vide 1 est une partie de n’importe quel ensemble A. Utilisation de la double inclusion pour
prouver l’égalité de deux ensembles.
Attention :
• ne pas confondre les symboles ∈ et ⊂.
• Ne pas confondre ∅ et {∅}. Le premier désigne l’ensemble vide et le second désigne un ensemble
constitué d’un élément qui est l’ensemble vide.
2. Opérations sur les ensembles :
• √
Intersection, réunion, complémentaire, différence (A \ B = A ∩ B). Exemple, R \ Q est non vide car
2 est irrationnel.
On a toujours les inclusions suivantes :
(A ∩ B) ⊂ A ⊂ (A ∪ B).
• Traduction ensembliste des lois de Morgan
A∪B =A∩B
et
A ∩ B = A ∪ B.
• Associativité et Distributivité de l’intersection et de la réunion
• Les relations suivantes doivent vous paraître évidentes :
A ∪ A = E,
A ∩ A = ∅;
A ∩ ∅ = ∅,
A ∪ ∅ = A.
3. Produit cartésien
1. En effet, l’assertion (∃x ∈ ∅, x ∈
/ A) est fausse donc sa négation (∀x ∈ ∅, x ∈ A) est vraie, ce qui prouve que ∅ ⊂ A.
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Quelques résultats sur les sommes
1. Utilisation du symbole sigma
P
si (zi )i∈I est une famille finie de nombres complexes, on note i∈I zi la somme 2 des éléments de la famille
(zi )i∈I .
n
X
P
zi , et si I est vide, on convient que i∈I zi = 0.
Si I = Jm, nK, on note cette somme
i=m
2. Quelques sommes classiques :
• Sommes de puissances d’entiers 3 :
(⋆)
n
X
n(n + 1)
2
k=
k=1
et
(⋆)
n
X
k2 =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
.
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• la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale à la moyenne des termes extrêmes
multiplié par le nombre de termes.
• Sommes géométriques : on retiendra la formule suivante
S=
premier terme − suivant du dernier
.
1 − raison
En particulier, on a
(⋆)
n
X
qk =
k=0
1 − q n+1
1−q
(q 6= 1)
• La relation suivante généralise l’identité remarquable a2 − b2 = (a − b)(a + b)
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + a1 bn−2 + bn−1 ) = (a − b)
n−1
X
ak bn−1−k .
k=0
On a en particulier, par exemple
x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)
et
x5 + 1 = (x + 1)(x4 − x3 + x2 − x + 1).
Cette relation peut être utile aussi en arithmétique, puisque si a et b sont des entiers, elle montre
que a − b divise an − bn .
3. Initiation au changement d’indice, séparation des termes d’indice pair et impair
Retenir qu’un changement d’indice est juste une façon de renuméroter les termes de la somme. En particulier, le nombre de termes de la somme doit être le même.
Pour le découpage «modulo 2» :
n
X
k=0
⌊2⌋
X
⌊ n−1
2 ⌋
n
uk =
u2p +
p=0
X
u2p+1 .
p=0
4. Sommes à double indice : cela revient à additionner tous les termes d’une matrice.
• Cas d’un domaine rectangulaire du type K = Jm, nK × Jp, qK. On note alors
X
X
zk =
zi,j .
m6i6n
p6j6q
k∈K
Selon que l’on additionne par «paquets» de lignes ou de colonnes, on a :


!
q
q
n
n
X
X
X
X
X

zi,j  =
zi,j =
zi,j .
m6i6n
p6j6q
i=m
j=p
Q
j=p
i=m
2. De même, le produit des éléments de la famille (zi )i∈I se note
z avec la convention que ce produit vaut 1 si I est vide.
i∈I i
Pn
2 , on part de (k + 1)3 − k 3 = 3k 2 + 3k + 1, puis on somme chaque membre, la somme de gauche étant
3. Pour calculer
k
k=1
télescopique.
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• Cas d’un domaine triangulaire du type K = {(i, j) ∈ N2 |
On a alors
X
zi,j =
16i6j6n
Exemple :
X
i=
16i6j6n
n
X
i=1
n(n + 1)(n + 2)
.
6
1 6 i 6 j 6 n}.


!
j
n
n
X
X
X


zi,j =
zi,j .
j=i
j=1
i=1
• Corollaire : produit de deux sommes, on a
X
i∈I
ai ×
X
bj =
j∈J
X
ai bj .
(i,j)∈I×J
Application au produit de deux polynômes
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Coefficients binomiaux, binôme de Newton
La notation factorielle : n! = 1 × 2 × · · · × n si n ∈ N∗ et 0! = 1.
4.1
Dénombrement d’une collection d’objets ordonnés et désordonnés
1. Notion de p-liste
Une liste est ordonnée. Ainsi les deux listes (1, 2) et (2, 1) sont différentes. Il faut savoir les dénombrer
à l’aide d’un arbre ou de la «technique des cases».
Une situation modèle : on tire successivement p boules dans une urne qui en contient n. S’il y a remise,
n!
le nombre de tirages possibles est np , s’il n’y a pas remise, il y a n × (n − 1) × . . . (n − (p − 1)) = (n−p)!
tirages possibles.
Cas d’une permutation.
2. Nombres de parties à p d’un ensemble à n éléments.
Lorsque l’ordre des éléments ne compte pas, on peut modéliser la collection
d’objet par un ensemble. Le
nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments noté np vaut
n!
n
=
.
p
p!(n − p)!
Exemple : s’il y a 15 chevaux partants, le nombre
de tiercés possibles dans l’ordre est : est 15 × 14 × 13.
15!
Le nombre de tiercés dans le désordre est 15
=
3!12! .
3
Remarque : le nombre
épreuves de Bernoulli.
4.2
n
p
est aussi le nombre de branches conduisant à p succès lors de la répétition de n
Coefficients binomiaux
On étend la définition des coefficients binomiaux à des entiers quelconques :
n
n!
n
si 0 6 k 6 n et
= 0 sinon .
=
(n − k)!k!
k
k
Voici trois propriétés fondamentales qui caractérisent les coefficients binomiaux :
• pour tout n ∈ N, on a n0 = 1.
n
.
• Symétrie : nk = n−k
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• Relation du triangle de Pascal : (⋆)
n−1
n−1
n
+
=
.
k−1
k
k
Cela permet de les calculer à la main.
Savoir dire instantanément que
4.3
n
0
= 1,
n
1
= n,
n
n−1
Formule du binôme de Newton
= n,
n
n
= 1 grâce à l’interprétation ensembliste.
(⋆) Formule du binôme : soit n ∈ N et (a, b) ∈ C2 , on a
(a + b)n =
n n n 0
n
n
n 1 n−1
n 0 n X n k n−k
.
a b +
an−1 b +
an−2 b2 + · · · +
a b
+
a b =
a b
n
n−1
n−2
1
0
k
k=0
Attention la somme démarre à k = 0.
Il faut savoir développer rapidement des expressions du type (1 + x)5 et (1 − x)5 en lisant les coefficients
dans le triangle de Pascal sur la ligne 5. Mais il faut aussi savoir faire le contraire et reconnaître des sommes
qui sont le développement d’expressions du type (a + b)n . Par exemple
n X
n
k=0
De même,
k
(−1) =
k
k=0
n X
n
k=0
n X
n
k
=
k
(−1)k 1n−k = (1 − 1)n = 0.
n X
n k n−k
1 1
= (1 + 1)n = 2n .
k
k=0
Cette dernière égalité montre que la somme des coefficients diagonaux de la ligne d’indice n (du triangle de
Pascal) vaut 2n .
La semaine prochaine: Nombres complexes