Historique & Introduction Logique Formelle … En 300 av. J.C. Historique et fondements de Logique Formelle père de la ‘Logique’ définit les concepts de la logique divise la logique en 3 parties : l’étude de la conception, du jugement et du raisonnement Aristote ISIGK – 2019/2020 2 Historique & Introduction Historique & Introduction En 1854 En 1646 - 1713 Logique mathématique avec calcul de vérité : les processus logiques peuvent être modélisés par des opérations logiques (ET, OU,NON). Migration de la logique de la philosophie vers La logique mathématique Machine puisse raisonner : Enchaîner des propositions élémentaires pour faire des déductions Boole Leibniz Leibniz Aristote Aristote 3 4 1 Historique & Introduction Historique & Introduction Vers la fin du XIX siècle Au début du XX siècle Théorie de la référence: comment relier les objets d’un système formel logique et les objets du monde réel. Extension de LM en tenant compte des notions de variables fondement de la science des systèmes formels et inventions du calcul des prédicats Boole Frege Tarski Boole Leibniz Frege Leibniz Aristote Aristote 5 6 Historique & Introduction Définitions 1950-1960 Algorithmique Lambda-Calcul et machine de Turing Naissance de premier langage de programmation Migration de la logique mathématique à la logique informatique Logique Turing, Church Tarski Boole Frege Leibniz est un mot provenant du grec logos qui signifie « science de la raison ». La logique étudie le discours, et plus particulièrement le(s) raisonnement(s). C’est une telle codification et une description d’un certain type de réalité afin de nous aider à trouver la vérité. Nous voulons par exemple savoir si une affirmation est vraie ou fausse ou si quelqu’un a raison ou tort, relativement à la logique considérée. est l’art de mener des raisonnements justes. •Une règle dite formelle si elle ne dépend pas de son contenu •La règle ne dépend que de sa forme d’où la notion de logique formelle. Aristote 7 8 2 Définitions Définitions Logique Logique Formelle ou logique mathématique, ou Nous avons une sorte d’arbre d’héritage entre ces différentes logiques métamathématique est une discipline des mathématiques introduite à la fin du XIXe siècle, qui s'est donnée comme objet l'étude des mathématiques en tant que langage. Les objets fondamentaux de la logique mathématique sont: Formules modélisant les énoncés mathématiques, Dérivations ou démonstrations formelles modélisant les raisonnements mathématiques Sémantiques ou modèles qui définissent le « sens » des formules (et parfois même des démonstrations) comme certains invariants (e.g. l'interprétation des formules du calcul des prédicats dans les structures permet de leur affecter une valeur de vérité) 9 Définitions 10 Définitions En logique : un raisonnement valide utilise des règles d’inférence valides. Une règle d’inférence permet le passage d’un certain nombre de prémisses à une conclusion . Une règle de déduction (ou d’inférence) est valide à cause de sa forme et non pas à cause du sens des prémisses Parmi les règles d’inférence valides, nous citons : Règle Modus Ponens Règle Modus Tollens Règle du Syllogisme 11 Assertion: est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer la valeur de vérité: vraie (V) ou faux (F) mais jamais les deux à la fois. C’est le principe du tiers-exclu. • Exemple: L’énoncé « 24 est un multiple de 2 » est vrai (V). L’énoncé « 19 est un multiple de 2 » est faux (F). L’énoncé « Tunis est la capitale de la Tunisie » est vrai (V). 12 3 Définitions Correspondance Prédicat : est un énoncé mathématique contenant des lettres appelées variables tel que quand on remplace chacune de ces variables par un élément donné d’un ensemble, on obtient une assertion. • Exemple: P(n) = « n est un multiple de 2 » est un prédicat car il devient une assertion quand on donne une valeur à n. • P(10) = «10 est un multiple de 2» est une assertion vraie. • P(11) = «11 est un multiple de 2» est une assertion fausse. P(x, A) = « x ∈ A » est un prédicat à deux variables. • P(1, N) est une assertion vraie, • P( √2, Q) est une assertion fausse. 13 14 4
