RAN LOGIQUE ET RAISONNEMENT COURS I Eléments de Logique Définition : Une assertion mathématique est une phrase qui est toujours soit vraie, soit fausse (mais qui ne peut être les deux à la fois, ou ni vraie ni fausse). Exemple : 2+2=5 ; il pleut ; le triangle ABC est équilatéral ; 2x+3=0... (dans les deux derniers exemples, la validité de l’assertion dépend du triangle ABC/du nombre x considéré !) On peut construire, à partir d’assertions simples, de plus compliquées en les combinant par des connecteurs logiques : 1. le connecteur ET L’assertion « P et Q » est vraie si les assertions P et Q sont toutes les deux vraies. Exemple : si P est l’assertion « Cette carte est un as », et si Q est l’assertion « Cette carte est un cœur », alors l’assertion « P et Q » est vraie si la carte est l’as de cœur, et fausse pour toute autre carte. 2. le connecteur OU L’assertion « P ou Q » est vraie si l’une des assertions P ou Q, ou bien les deux, est vraie. Exemple : si P est l’assertion « Cette carte est un as », et si Q est l’assertion « Cette carte est un cœur », alors l’assertion « P ou Q » est vraie pour n’importe quel as et n’importe quel cœur (y compris l’as de cœur). 3. la négation (NON) L’assertion « non P » est vraie si l’assertion P est fausse, et elle est fausse si P est vraie. Exemple : la négation de « n est un entier pair » est « n est un entier impair », est la négation de « x > 5 » est « x ≤ 5 ». 4. l’implication (⇒) L’assertion « P ⇒ Q » (P implique Q) signifie que l’assertion Q est vraie chaque fois que P est vraie. Exemple : si P est l’assertion « x > 5 » et Q est l’assertion « x est positif », on a bien l’implication P ⇒ Q (puisqu’un nombre plus grand que 5 est toujours aussi plus grand que 0). Attention : dans cet exemple, l’implication réciproque « Q ⇒ P » est revanche fausse ; en effet, il existe des nombres x positifs (tels que Q est vraie) mais qui ne sont pas plus grands que 5 (donc P est faux), comme par exemple x=2. On dit que x=2 est un contre-exemple, qui montre que Q ⇒ P est faux. 5. l’équivalence (⇔) L’assertion « P ⇔ Q » (P est équivalent à Q) signifie que les implications « P ⇒ Q » et « Q ⇒ P » sont toutes les deux vraies. Exemple : si P est l’assertion « le triangle ABC est rectangle en A » et Q est l’assertion « AB²+AC²=BC² », alors le théorème de Pythagore dit que l’équivalence « P ⇔ Q » est vraie. Une équivalence contient donc deux informations : d’une part P implique Q (ici, si le triangle ABC est rectangle en A, alors on a AB²+AC²=BC²), et d’autre part Q implique P (ici, si les trois points A, B et C vérifient AB²+AC²=BC², alors ils forment un triangle rectangle en A). Terminologie : Pour exprimer que P implique Q (P⇒Q), on dit parfois que « P est une condition suffisante pour Q » (car il suffit que P soit vrai pour que Q le soit aussi), ou encore que « Q est une condition nécessaire pour P » (car P ne peut pas être vrai sans que Q ne le soit). De même, le fait que P est équivalent à Q (P⇔Q) peut aussi s’exprimer par le fait que « P est une condition nécessaire et suffisante pour Q », ou encore que « P est vrai si et seulement si Q est vrai ». REMISE A NIVEAU DE MATHEMATIQUES - COURS II Méthodes de raisonnement Nous résumons ici quelques-unes des méthodes les plus fréquemment utilisées en mathématiques. 1. Raisonnement direct C’est l’approche la plus courante, où l’on montre que les hypothèses données conduisent à la conclusion. Exemple : Montrer que le carré d'un nombre pair est toujours pair. Si n est un nombre pair, c’est un multiple de 2 : il existe donc un entier k tel que n=2k. Mais alors n²= (2k)²= 4k², qui est bien pair lui aussi (puisque c’est un multiple de 4, donc de 2). 2. Disjonction de cas (ou cas-par-cas) On distingue plusieurs situations, en donnant un argument adapté à chacune d’entre elles. Exemple : Montrer que, pour tout entier n, n.(n+1) est pair. Si n est pair, alors c’est un multiple de 2 et donc n.(n+1) aussi. Si n est impair, alors (n+1) est pair, et donc le produit avec n est pair lui aussi. 3. Raisonnement par contraposée La contraposée d’une implication P⇒Q est l’implication (non Q)⇒(non P), et ce sont deux assertions équivalentes. Par exemple, la contraposée de l’implication « S’il pleut, alors je reste chez moi » est « si je sors, c’est qu’il ne pleut pas » - ce sont bien deux formulations différentes de la même information. Exemple : Montrer que si le carré d'un nombre n est pair, alors n est pair. La contraposée de cette implication est : « Si un nombre n n’est pas pair (donc est impair), alors son carré est impair »… ce qui se montre comme ceci : si n est impair, il existe un entier k tel que n=2k+1 (c’est la définition d’un nombre impair). Alors, son carré vaut n²=(2k+1)²=4k²+4k+1=2.(2k²+2k)+1, qui est donc bien impair. 4. Raisonnement par l’absurde Pour montrer qu’une assertion P est vraie, on suppose que P est faux et on aboutit à une contradiction. Exemple : Montrer qu’il n’existe pas de plus petit nombre réel strictement positif. Supposons qu’un tel nombre existe : soit x>0 le plus petit des nombres positifs. Si l’on divise par 2, on obtient un nouveau nombre x/2, qui est toujours positif mais qui est plus petit que x. Cela contredit le fait que x est le plus petit. 5. Contre-exemple Pour montrer qu’une implication P⇒Q est fausse, il suffit de trouver un cas où l’hypothèse P est vérifiée, et pas la conclusion Q : c’est ce qu’on appelle un contre-exemple. Exemple : Pour montrer que l’implication « Si x<1, alors x²<1 » est fausse, il suffit de trouver un réel x<1 qui contredit cette assertion. Par exemple, x=-2 vérifie bien x<1, mais son carré vaut x²=4. 6. Raisonnement par récurrence Pour montrer qu’une assertion est vraie, par exemple, pour tout entier positif n, il suffit de montrer, d’une part, qu’elle est vraie pour la première valeur n=1 (initialisation), et d’autre part que, si elle est vérifiée pour la valeur n=k, alors cela entraine qu’elle l’est aussi pour la valeur suivante n=k+1 (hérédité). Cela s’apparente à une réaction en chaîne, comme pour faire chuter une chaîne de dominos : il faut d’une part faire tomber le premier domino, et d’autre part ne pas avoir de brisure dans la chaîne, c’est-à-dire que la chute de chaque domino entraine la chute du suivant. Exemple : Montrer que, pour tout entier positif n, on a 1+2+…+n=n.(n+1)/2. • On commence par vérifier la formule pour n=1 (initialisation) : 1=1(1+1)/2=1. • On suppose ensuite que la formule est vraie pour n=k, et on essaye de la démontrer pour n=k+1 (hérédité) : on a 1+2+…+k+(k+1) = k.(k+1)/2 + (k+1) puisque la formule est vraie pour n=k, et par ailleurs on a k.(k+1)/2 + (k+1) = ½(k²+k)+ ½(2k+2)=(k+1)(k+2)/2. On obtient donc bien 1+2+…+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2. • En conclusion, on a donc montré que, quel que soit l’entier n, on a 1+2+…+n=n.(n+1)/2. REMISE A NIVEAU DE MATHEMATIQUES - COURS