Énoncer

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2014-2015
Mathématiques
Devoir surveillé n°1
Vendredi 26 septembre de 14h à 17h
Le barème prendra significativement en compte :
• la présentation ;
• la clarté des explications ;
• le soin porté à l’argumentation des réponses ;
• la justesse du vocabulaire et des symboles employés.
Exercice 1 (Système linéaire 2 × 2 à coefficients complexes)
Résoudre le système linéaire
½
i z1
(1 + i ) z1
−
−
(1 + 2i ) z2
i z2
=
=
2+i
1−i
d’inconnue (z1 , z2 ) un couple de nombres complexes, en appliquant la méthode du pivot de Gauß.
Exercice 2 (Un calcul de somme)
1. Sommes géométriques
Soit q un nombre complexe différent de 1. Soit n un entier naturel. Énoncer et démontrer la formule
donnant la valeur de la somme
n
X
qk
S(q, n) :=
k=0
sans symbole Σ.
2. Puissances de j
On introduit le nombre complexe j défini par :
p
3
1
.
j := − + i
2
2
(a) Calculer le module de j .
(b) Écrire j sous une autre forme.
(c) Calculer j 0 , j 1 , j 2 , j 3 .
(d) En déduire la valeur de j n , pour tout n ∈ N.
3. Application
Calculer la somme
S :=
2015
X
k=0
1
jk.
Exercice 3 (Autour de l’angle moitié)
1. Conjugaison complexe
(a) Énoncer la définition du conjugué z d’un nombre complexe z.
(b) Démontrer :
z1 z2 = z1 z2 .
∀ z1 ∈ C ∀ z2 ∈ C
(c) Démontrer :
∀ z ∈ C∗
µ ¶
1
1
= .
z
z
(d) Démontrer :
µ
∀ z 1 ∈ C ∀ z 2 ∈ C∗
¶
z1
z1
= .
z2
z2
2. Formules d’Euler
Énoncer et démontrer les formules d’Euler.
3. Angle moitié
Soient a et b des nombres réels.
(a) Énoncer et démontrer le résultat sur la factorisation de e i a + e ib (cf. angle moitié).
(b) Énoncer et démontrer le résultat sur la factorisation de e i a − e ib (cf. angle moitié).
4. Application
Soit θ ∈] − π, π[. On introduit le nombre
z(θ) :=
(a) Justifier que le nombre z(θ) est bien défini.
1 − e iθ
1 + e iθ
.
(b) Démontrer que z(θ) est imaginaire pur, sans calculer sa forme algébrique.
(c) Démontrer l’identité
z(θ) = −i tan
µ ¶
θ
.
2
Exercice 4 (Couronne envoyée dans une autre couronne par une homographie)
1. Inégalité triangulaire
(a) Démontrer :
∀z ∈ C
Re(z) ≤ |z|.
(b) Énoncer l’inégalité triangulaire, puis démontrer l’inégalité de droite.
2. Application
Soit z ∈ C tel que
Établir l’inégalité
2 ≤ |z| ≤ 4.
¯
¯
1 ¯¯ 5 − z ¯¯
≤
≤ 9.
5 ¯i +z ¯
2
Exercice 5 (Un calcul de primitive)
1. Relation fonctionnelle des nombres e iθ , où θ ∈ R
Soient θ1 et θ2 des nombres réels. Compléter l’identité
e i(θ1 +θ2 ) = . . . . . . . . . . . . . . .
donnant la relation fonctionnelle des nombres e iθ , où θ ∈ R. On ne demande pas de démontration ici.
2. Formules d’addition pour cosinus
(a) Déduire de la question 1 une expression de cos(a + b) en fonction des cosinus et sinus de a et b, où
a et b sont des nombres réels.
(b) Déduire de 2.(a) une expression de cos(a − b) en fonction des cosinus et sinus de a et b, où a et b
sont des nombres réels.
3. Transformation d’un produit de cosinus
Déduire des résultats de la partie 2 une autre expression de cos(a) cos(b), où a et b sont des nombres
réels.
4. Application
Donner une primitive de la fonction
¯
¯ f
¯
¯
:
R
x
→
7→
R
cos(5x) cos(3x).
Exercice 6 (Équations trigonométriques)
1. Résoudre l’équation
(E 1 ) : cos(x) = 0
d’inconnue x ∈ R.
2. Résoudre l’équation
(E 2 ) : cos(x) =
1
2
d’inconnue x ∈ R.
3. Résoudre l’équation
(E 3 ) : cos(2x) + 1 = cos(x)
d’inconnue x ∈ R.
Exercice 7 (Système d’équations mettant en jeu des modules)
Déterminer l’ensemble des nombres complexes non nuls z tels que :
¯ ¯
¯1¯
|z| = ¯¯ ¯¯ = |1 − z|.
z
On raisonnera par analyse-synthèse.
3
Exercice 8 (Une propriété de la somme de trois nombres complexes de module 1)
Soient z1 , z2 , z3 trois nombres complexes de module 1. Démontrer l’identité
|z1 + z2 + z3 | = |z1 z2 + z1 z3 + z2 z3 |.
4