Log-Mat_Rattrapage-et-corrige_2014-15

Université Mouloud MAMMERI de Tizi-Ouzou
Faculté de génie électrique et informatique
Département d’informatique
Année universitaire : 2014/2015
L2 – Informatique
module : Logique Mathématique
Examen de Rattrapage
Le : 12/04/2015 – Durée 1h 30mn
Exercice 1 : (4 pts)
On considère les syllogismes suivants :
a. Pierre est avocat ou professeur,
Or Pierre n’est pas avocat,
Donc Pierre est professeur.
b. Pierre est avocat ou professeur,
Or Pierre n’est pas professeur,
Donc Pierre est avocat.
c. Pierre est avocat ou professeur,
Or Pierre est avocat,
Donc Pierre n’est pas professeur.
d. Pierre est avocat ou professeur,
Or Pierre est professeur,
Donc Pierre n’est pas avocat.
1) À l’aide des variables propositionnelles p et q représentant respectivement les propositions «Pierre est
avocat » et «Pierre est professeur », représenter chacun des syllogismes a, b, c et d par des formules de la
logique propositionnelle (à noter que la disjonction est, ici, inclusive).
2) Lesquels, parmi les syllogismes a, b, c et d, sont corrects et lesquels sont incorrects ? Justifier.
Exercice 2 : (4 pts)
Soit la fonction logique f telle f(x,y,z) = (x  y)  z.
1) Construire la table de vérité de f.
2) Donner la forme normale disjonctive de f.
3) Donner la forme normale conjonctive de f.
4) Montrer que f engendre toutes les fonctions logiques.
Exercice 3 : (8 pts)
Soient les deux formules :
(a) ≡ ((A  B)  A)  ((A  B)  B)
et (b) ≡ (((A  B)  B)  B)  (A  B)
1) À l’aide de la méthode axiomatique, et en utilisant le théorème de déduction (utilisation d’hypothèses),
montrer que les deux formules (a) et (b) sont des théorèmes.
2) Montrer, maintenant, que (a) et (b) sont des théorèmes ; et cela par des démonstrations pures (sans
utiliser d’hypothèses).
Exercice 4 : (4 pts)
À l’aide de la résolution propositionnelle, montrer que la formule F est une tautologie :
F = ((A  (B  C))  (C  (B  A)))  (B  A).
Bon courage !
UMMTO / L2 informatique / Logique Mathématique / Rattrapage 2015 / S.Khemliche , H.Djemai , M.S.Habet
Bref corrigé : (Rattrapage Log-Mat – L2 informatique – 2014/2015)
Ex. 1 :
1) Soit I = p  q. Les syllogismes donnés peuvent être formalisés comme suit :
a = (I  p)  q
b = (I  q)  p
c = (I  p)  q
d = (I  q)  p
2) Les syllogismes a et b corrects, alors que c et d sont incorrects ; en effet :
p
q
p
q
pq
I  p
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
I  q
Ip
Iq
a
b
c
d
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
Ex. 2 :
La fonction logique f est définie par : f(x,y,z) = (x  y)  z.
1) Table de vérité :
f
x
y
z
xy
z
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
2) F.N.D :
(  x   y   z)  (  x   y  z)  (  x  y   z)  (x   y   z)  (x  y   z)
3) F.NC :
(x   y   z)  (  x  y   z)  (  x   y   z)
4) f engendre toutes les fonctions logiques ssi {f} est un système complet de connecteurs. C’est le cas, en
effet :  x = f(x,x,x) ;
x  y = f(  x,  y, T) avec T = true = f(  x,  x,x)
c'est-à-dire : x  y = f(f(x,x,x), f(y,y,y), f(f(x,x,x), f(x,x,x),x))
Là, on a montré que la négation et la conjonction s’expriment en fonction de f seulement.
Comme le système {  ,  } est complet, il s’en suit que {f} est complet.
Ex. 3 :
1) En utilisant des hypothèses :
⊢ (a) :
1. (A  B)  A hyp.
2. A  B hyp.
3. A MP + 1. + 2.
4. B MP + 2. + 3.
On a donc : (A  B)  A, A  B ⊢ B ; en appliquant deux fois le théorème de déduction (T.D), on
obtient que (a) est un théorème. CQFD
⊢ (b) :
1. ((A  B)  B)  B hyp.
2. A hyp.
3. (A  B)  (A  B) théorème 1) exo 11 série 2
4. A  ((A  B)  B) Permutation + 3.
5. (A  B)  B MP + 2. + 4.
6. B MP + 1. + 5.
On a donc : ((A  B)  B)  B, A ⊢ B ; en appliquant deux fois le T.D, on obtient que (b) est un
théorème. CQFD
2) Sans utiliser des hypothèses :
⊢ (a) :
1. ((A  B)  A)  A théorème h) exo 12 série 2
2. (A  B)  (A  B) théorème 1) exo 11 série 2
3. A  ((A  B)  B) Permutation + 2.
4. ((A  B)  A)  ((A  B)  B) Transitivité + 1. + 3.
CQFD
⊢ (b) :
1. B  (A  B) Ax1
2. ((A  B)  B)  (B  (A  B)) Introduction + 1.
3. (((A  B)  B)  (B  (A  B)))  ((((A  B)  B)  B)  (((A  B)  B)  (A  B)))
Ax2
4. (((A  B)  B)  B)  (((A  B)  B)  (A  B)) MP + 2. + 3.
5. ((A  B)  B)  ((((A  B)  B)  B)  (A  B)) Permutation + 4.
6. (A  B)  (A  B) théorème 1) exo 11 série 2
7. A  ((A  B)  B) Permutation + 6.
8. A  ((((A  B)  B)  B)  (A  B)) Transitivité + 5. + 7.
9. (A  ((((A  B)  B)  B)  (A  B)))  ((A  (((A  B)  B)  B))  (A  (A  B)))
Ax2
10. (A  (((A  B)  B)  B))  (A  (A  B)) MP + 8. + 9.
11. (A  (A  B))  (A  B) théorème f1 exo 14 série 2
12. (A  (((A  B)  B)  B))  (A  B) Transitivité + 10. + 11.
13. ((A  (((A  B)  B)  B))  (A  B))  (((A  B)  B)  B))  (A  B))
théorème f2 exo 14 série 2
14. ((A  B)  B)  B))  (A  B) MP + 12. + 13.
CQFD
Ex. 4 :
F = ((A  (B  C))  (C  (B  A)))  (B  A).
F est une tautologie ssi F est une contradiction.
F = ((A  (B  C))  (C  (B  A)))   (B  A)
= (A  B  C)  (C  B)  (C  A)  B  A
Résolution :
C1 = A  B  C
C2 = C  B
C3 = C  A
C4 = B
C5 = A
C6 = B  C Res(C1,C5)
C7 = C Res(C4,C6)
C8 = A Res(C3,C7)
C9 = □ Res(C5,C8)
CQFD.
--------------------- Fin du corrigé du Rattrapage de Logique Mathématique ----------------------------------------- L2 informatique – U.M.M.T.O – 2014/2015 ---------------------