Matrice et espaces vectoriel de dimension finies

Matrice et espaces vectoriel de dimension finies
MPSI
27 mai 2008

Table des mati`eres
1 Matrice 3
1.1 D´efinition ............................. 3
1.2 Matricecarr´ee........................... 3
1.3 Vecteurligne ........................... 3
1.4 Vecteurcolonne.......................... 3
1.5 Matrice carr´ee particuli`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Matrice carr´ee sym´etrique et antisym´etrique . . . . . . . . . . 4
1.7 Transposition et trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.8 Espace vectoriel des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.9 Transposition ........................... 5
1.10Produitdematrice ........................ 6
1.10.1 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.11 Transposition et trace du produit . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.12 Matrice Carr´ee inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.12.1 Matrice carr´ee et inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.13Rangd’unematrice........................ 7
1.13.1 Rang de matrice particuli`ere . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.14 Op´eration ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Matrice et espaces vectoriel de dimension finies 9
2.1 Matrice de coordonn´ee d’un vecteur dans une base . . . . . . . 9
2.2 Matrice d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Matrice de passage entre deux bases . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Coordonn´ee d’un vecteur dans deux bases . . . . . . . . . . . 10
2.5 Matrice d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.1 Cas Particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Coordonn´ee de l’image d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Unicit´e de la matrice, pour les bases fixes . . . . . . . . . . . . 11
1

2.8 Matrice et op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.9 Compos´ee d’application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.10 Matrice inversible et isomorphisme - Endomorphisme . . . . . 12
2.11 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.12 Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.13 Matrice semblable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.14 Rang d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2

Chapitre 1
Matrice
1.1 D´efinition
D´efinition 1 La matrice `a n lignes et p colonnes est d´efini par :
M= [ai,j ]
avec i variant de 1 `a n, et j variant de 1 `a p
1.2 Matrice carr´ee
D´efinition 2 Une matrice M est carr´ee si n=p. On d´efini la diagonale de
A comme le n-uplet : (a11, a22, ..., ann)
1.3 Vecteur ligne
D´efinition 3 On d´efini le vecteur ligne comme le p-uplet :
li= (xi,1, ..., xi,p)
1.4 Vecteur colonne
D´efinition 4 On d´efini le vecteur colonne comme le n-uplet :
lj= (x1,j , ..., xn,j )
3

1.5 Matrice carr´ee particuli`ere
Soit T = [xi,j ]∈Mn(K)
D´efinition 5 On dit que T est triangulaire sup´erieur si :
T=
a1,1a1,2a1,3
0a2,2a2,3
0 0 a3,3
D´efinition 6 On dit que T est triangulaire inf´erieur si :
T=
a1,10 0
a2,1a2,20
a3,1a3,2a3,3
D´efinition 7 On dit que T est une matrice scalaire si :
T=
λ0 0
0λ0
0 0 λ
Si λ=1, alors la matrice est la matrice unit´e, not´e In
1.6 Matrice carr´ee sym´etrique et antisym´e-
trique
D´efinition 8 Soit S = [xi,j ]∈Mn(K)
S est sym´etrique si xi,j =xj,i
S est antisym´etrique si xi,j =−xj,i. Ceci implique que la diagonale de S est
forc´ement nul dans ce cas
1.7 Transposition et trace
D´efinition 9 La transpos´ee de M not´e tMest d´efini par :
M=
a b c d
e f g h
i j k l
4