Géométrie - Formation Continue Diplomante

MATH14 Outils vectoriels avril
Service Commun de Formation Continue INP,
Isabelle Henrot-Jacques Besson-Gérard Hirsch-Philippe Leclère-François Marron
L’OUTIL VECTORIEL
Ce chapitre est destiné à vous munir d’outils de calcul vectoriel puissant intervenant
dans de nombreux domaines : géométrie mais aussi physique, électricité,
électromagnétisme, mécanique,…
Le barycentre (du grec baros :poids) va vous permettre de représenter un système de
points affectés d’une masse par un seul point. Quant aux produits scalaire et
vectoriels qui sont tous deux des opérateurs portant sur des vecteurs , ils sont très
différents : à deux vecteur le produit scalaire associe un REEL, alors que le produit
vectoriel associe un VECTEUR. Il faudra être rigoureux sur les écritures, en
particulier dans les formules qui associent ces deux opérateurs.
Dans tous ce chapitre, les points appartiennent à l’espace E et l’ensemble des
vecteurs de E se note E
1 Rappels sur les vecteurs
1.1 Définition
Un vecteur !
uAB
=est caractérisé par :
sa direction ( la droite AB
bg
)
son sens ( de A vers B)
- sa norme ( les physiciens parlent de module, les mathématiciens de norme) : la
longueur de AB
Un vecteur !
uAB
= peut avoir d’autres représentants que AB
A
B
C
D
E
F
u
u
u

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u
vu+v
u
v
AB
C
O
u
i
j
u1
u2
1.2 Propriétés
1.2.1 Somme
Elle s’obtient en mettant bout à bout des représentants des vecteurs !!
uv
et La règle
du parallélogramme illustrée par la figure traduit la commutativité de
l ‘addition : !! !!
uv vu
+=+
Relation de Chasles :
Quels que soient les points A,B,C on a : AB BC AC +=
1.2.2 Produit par un réel
Pour tout réel λ ≠0 et pour tout vecteur !
u non nul, le vecteur
λ
!
u a pour :
• direction : celle de !
u
• sens : celui de !
u si
λ
>0 , le sens contraire si
λ
<0-
• norme :
λλ
!!
uu
= ( on fera attention au fait qu’il s’agit de la valeur absolue)
−=
33
!!
uu
Deux vecteurs non nuls u
! et v ! sont colinéaires s’il existe un réel
λ
tel que vu
λ
=
!!
.
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur u
! car
00
u
=
!!
.
1.2.3 Projection
• Dans le plan :
Soit un repère Oi j ,,
!!
ch
du plan. On peut projeter un
vecteur sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées
!
u1 est le projeté de !
usur Ox
bg
parallèlement à Oy
bg
!
u2 est le projeté de !
usur Oy
bg
parallèlement à Ox
bg

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u
u
u
u
i
j
k
x
y
z
x
y
z
O
!! ! !!
uuu xi yj
=+= +
12
x est l’abscisse de ! u
y est l’ordonnée de ! u
xy
,
bg
sont les coordonnées de !
u, on écrit : !
!!
ux
yij
F
H
GI
K
J
,
ch
1) Soient
ux
yvx y
F
H
GI
K
J′
′
F
H
GI
K
J
, deux vecteurs et
λ
∈R. Alors
λλ
λ
ux
y
F
H
GI
K
J et uv
xx
yy
++′
+′
F
H
GI
K
J.
2) u
! et v ! sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
0
xx xy yx
yy
′′′
=−=
′.
3) Si Ax y
AA
,
bg
et Bx y
BB
,
bg
sont deux points du plan, alors AB xx
yy
BA
BA
−
−
F
H
GI
K
J.
• Dans l’espace
Soit un repère Oi j k ,,,
!!!
di
un repère de
l’espace :
!! ! !
!!!
uu u u
xi y j zk
xyz
=++
=++
xyz
,,
bg
sont les coordonnées de !
u, on écrit :
!
!!!
u
x
y
zijk
F
H
G
G
I
K
J
J
,,
di
• Soient u
x
y
z
v
x
y
z
F
H
G
G
I
K
J
J
′
′
′
F
H
G
G
I
K
J
J
, deux vecteurs et
λ
∈R. Alors
λλ λλ
u
x
y
z
F
H
G
G
I
K
J
J et uv
xx
yy
zz
++′ +′
+′
F
H
G
G
I
K
J
J.
• Si Ax y z
AAA
,,
bg et Bx y z
BBB
,,
bg sont deux points de l’espace alors
AB
xx
yy
zz
BA
BA
BA
−
−
−
F
H
G
G
I
K
J
J.
MATH14E01A
Dans le plan muni d’un repère
()
,,
Oi j
!! on place
()()( )
2,4, 6,0, 4, 7
ABC
−−−
1) Trouver D tel que ABCD soit un parallélogramme.
2) Trouver E tel que ABEC soit un parallélogramme.

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2 BARYCENTRE
2.1 Définition et théorème
Soient A,B et C trois points de E, et
α
,
β
,
γ
trois réels tels que
αβγ
++≠
0
On appelle barycentre du système ABC ,,,,,
αβγ
bgbgbg
mr
l’unique point G vérifiant :
αβγ
GA GB GC
++=0
Démontrons l’existence et l’unicité du point G. Soient M et ′
M ∈E, d ‘après la
relation de Chasles :
αβγ α β γ
αβγ α β γ
MA MB MC MM M A MM M B MM M C
MM MA MB MC
++= ′+′+′+′+′+′
=++ ′+′+′+′
ejejej
bg
Si
αβγ
++=
0, le vecteur
αβγ
MA MB MC
++est un vecteur constant
indépendant de M puisqu’il est égal à
αβγ
′+′+′
MA MB MC
pour tout ′
M.
Si
αβγ
++≠
0,
αβγ αβγ
αβγ
MA MB MC M M MA MB MC
++=⇔
′=′+′+′
++
0bg
En fixant un point ′
M, on trouve alors un unique point M satisfaisant à l’égalité,
c’est à dire tel que
αβγ
MA MB MC
++=0
C’est le point G cherché.
Le système ABC ,,,,,
αβγ
bgbgbg
mr
est appelé système de points
pondérés, c’est à dire système de points affectés d’une masse.
2.2 Exemples
Le barycentre G de deux points AB ,, ,11
bgbg
mr
est le milieu de AB
En effet il vérifie : GA GB GA GB +=⇔=−0
Soit G le barycentre du système AB ,, ,23
bgb g
mr
− : on a l’égalité vectorielle
23023 0
30
GA GB GA GA AB
GA AB
−=⇔− +
F
HI K=
⇔− − =
Finalement AG AB
=3 ce qui permet de construire G.

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A
G
A’
BC
B’
C’
Considérons un triangle ABC et G le
barycentre du système ABC ,, ,, ,111
bgbgbg
mr
Soient ′
A le milieu de BC
′
B le milieu de CA
′
C le milieu de AB
GA GB GC GA GA A B GA A C GA GA A B A C
++=+′+′+′+′=+′+′+′ 2
ejej
or ′+′=
AB AC 0 car ′
A est le milieu de BC , donc GA GA
+′=20
Donc GA est colinéaire à GA′, GA , et ′
A sont alignés: G appartient à la médiane
AA′ du triangle et on a
GA GA AA
AG AA
AG AA
++
′=
=′
=′
20
32
2
3
ej
G se trouve aux 2
3 de la médiane AA′ à partir de A.
On montrerait de même que G appartient aux deux autres médianes : BB′et CC′.
On vient ainsi de prouver que les trois médianes du triangle sont concourantes.
Le point d’intersection est le barycentre de ABC ,, ,, ,111
bgbgbg
mr
ou isobarycentre de
ABC
,,
bg
( car les coefficients sont identiques) . On l’appelle centre de gravité du
triangle. ABC .
2.3 Généralisation
Considérons à présent un système de n points pondérés
AA A
nn
11 2 2
,,,,,,
αα α
bgbgbg
mr
" tels que
αα α
12 0+++≠"n
On appelle barycentre de ce système l’unique point G vérifiant
αα α
11 2 2 0
GA GA GA
nn
+++="
Insistons sur la nécessité de vérifier que la somme des coefficients est bien non nulle.
Considérons par exemple le système de points pondérés: AB CD ,, , , ,, ,1111
bgb gbgb g
mr
−−
La somme des coefficients de ce système vaut 1 1 1 1 0−+−=. Le vecteur
GA GB GC GD BA DC
−+−=+ est bien un vecteur constant ne dépendant que des
points ABCD
,,,
bg
et indépendant du point Gchoisi.
Il se peut qu’il soit nul mais cela ne dépend pas de G.