Construction du corps Q des rationnels. Nombres

LEÇON N˚ 15 :
Construction du corps Qdes rationnels.
Nombres décimaux, développement
décimal d’un nombre rationnel.
Pré-requis :
–Relations d’équivalence, ensembles quotient, PGCD, théorème de Gauss;
–Un produit fini d’ensembles dénombrables est dénombrable;
–Ensemble Net anneau Z(en particulier que Zest bien ordonné);
–Système de numération en base 10 (existence et unicité de l’écriture d’un entier en base 10 connue comme
conséquence fondamentale de l’existence d’une division euclidienne dans N).
Si a, b ∈Z, on sait que l’équation ax =bn’admet dans Zqu’une solution lorsque a|b. On souhaiterait
donc étendre cet ensemble de solutions aux cas où ane diviserait pas b. Le but de cette leçon va donc être
la construction d’un corps commutatif contenant Zet dans lequel l’équation ax =badmette une solution.
15.1 Construction de Q
Définition 1 : Soient (a, b),(c, d)∈Z×Z∗. On définit la relation Rpar
(a, b)R(c, d)⇔ad =bc.
Proposition 1 : Rest une relation d’équivalence.
démonstration :
Réfléxivité : ab =ba, donc (a, b)R(a, b).
Symétrie : (a, b)R(c, d)⇔ad =bc ⇔bc =ad ⇔cb =da ⇔(c, d)R(a, b).
Transitivité : On suppose (a, b)R(c, d)et (c, d)R(e, f), c’est-à-dire ad =bc (♭)et cf =de (♯).
Si c= 0, alors a=e= 0 (car Zest intègre, et b, d 6= 0), donc af = 0 = be ⇔(a, b)R(e, f).
Supposons alors c6= 0. Le produit de (♭) et (♯) donne af cd =bc ed ⇔af =be car Zintègre et
c, d 6= 0 ⇒cd 6= 0. D’où (a, b)R(e, f).
Rvérifie les trois points de la définition d’une relation d’équivalence. 
Définition 2 : Soit (a, b)∈Z×Z∗. La classe d’équivalence de (a, b)est appelée nombre rationnel. On la
note a
bou a/b, et a(resp. b) est appelé numérateur (resp. dénominateur). Enfin, l’ensemble des classes
d’équivalence pour la relation Rest appelé ensemble des nombres rationnel, et sera noté Q.

2Construction du corps Qdes rationnels et nombres décimaux
Remarque 1 :Pour tout c∈Z∗,(a, b)R(ca, cb), c’est-à-dire a
b=ca cb .
Proposition 2 : Pour tout r∈Q, il existe un unique couple (a, b)∈Z×N∗tel que
r=a
bet a∧b= 1.
Dans ce cas, r=a/b est appelée fraction irréductible.
démonstration :
Existence : Soit r∈Q. Il existe (a, b)∈Z×Z∗tel que r=a/b. On peut se ramener à b∈N∗en
posant a=−aet b=−bpuisque (a, b)R(−a, −b)d’après la remarque. Soit alors d=|a| ∧ b.
Alors il existe a′, b′tels que a=da′et b=db′avec a′∧b′= 1, d’où
r=a
b=da′ db′
rq 1
=a′
b′,
avec (a′, b′)∈Z×N∗.
Unicité : Soit r=a/b =c/d, avec a∧b=c∧d= 1. Or a/b =c/d ⇔ad =bc, et d’après
le théorème de Gauss, on a d’une part que d|bc et c∧d= 1 ⇒d|b, et d’autre part b|ad et
a|wedgeb = 1 ⇒b|d. Au final, b=dcar ils sont tous les deux éléments de N∗, et il en découle
que a=c. Les deux fractions sont les mêmes.
L’unicité justifie alors la définition de fraction irréductible.
15.2 Structure de corps de Q
On munit Z×Z∗de deux lois de composition internes définies pour tous éléments (a, b)et (c, d)de Z×Z∗
par
(a, b) + (c, d) = (ad +bc, bd),
(a, b)·(c, d) = (ac, bd).
Remarque 2 :b, d 6= 0 par hypothèse, et Zintègre impliquent que bd 6= 0.
Proposition 3 : Ces deux lois sont compatibles avec R.
démonstration :Soient (a, b)R(c, d)⇔ad =bc et (a′, b′)R(c′, d′)⇔a′d′=b′c′(notons ces
deux égalités (♭)). Alors on a que
(ab′+a′b)dd′=adb′d′+bda′d′(♭) =bcb′d′+bdb′c′=bb′(cd′+c′d)
⇔(ab′+a′b, bb′)R(cd′+c′d, dd′)
⇔(a, b) + (a′, b′)R(c, d) + (c′, d′)

Construction du corps Qdes rationnels et nombres décimaux 3
pour ce qui concerne l’addition. Pour la multiplication, on a
aa′dd′=ada′d′(♭) =bcb′c′=bb′cc′
⇔(aa′, bb′)R(cc′, dd′)
⇔(a, b)·(a′, b′)R(c, d)·(c′, d′),
d’où le résultat. 
Définition 3 : Ces deux lois, notés +Qet ·Qsont appelées addition et multiplication sur Q. On les notera
plus simplement +et ·lorsqu’il n’y a pas confusion.
Théorème 1 : (Q,+Q,·Q)est un corps commutatif.
démonstration :
a) Ces deux lois sont associatives et commutatives.
b) ·est distributive par rapport à +. En effet,
(a, b)·(c, d) + (c′, d′)= (a, b)·(cd′+c′d, dd′)
= (acd′+ac′d, bdd′)
(a, b)·(c, d) + (a, b)·(c′, d′) = (ac, bd) + (ac′, dd′)
= (abcd′+abdc′, bbdd′)b6=0 = (acd′+adc′, bdd′),
et ces deux quantités sont bien égales.
c) +admet 0
1comme élément neutre, et ·admet 1 1comme élément neutre. Ils sont uniques en vertu
de la proposition 3.
d) −a
best l’inverse de a bpour l’addition (en effet, (a, b) + (−a, b) = (ab −ab, b2) = (0,1)) et b aen
est l’inverse pour la multiplication (en effet, (a, b)·(b, a) = (ab, ab) = (1,1)).
Qest donc bien un corps, commutatif puisque ses lois le sont. 
Plongement de Zdans Q
Proposition 4 : L’application définie par
ϕ: (Z,+,·)−→ (Q,+Q,·Q)
a7−→ a
1
est un morphisme d’anneaux injectif.
démonstration :
a) ϕ(élément neutre de +Z) = ϕ(0) = 0
1=élément neutre de +Q. De même, ϕ(élément neutre de
·Z) = ϕ(1) = 1
1=élément neutre de ·Q
b) ϕ(a+b) = a+b
1=a·1 + b·11 ·1 = a 1+Qb 1=ϕ(a) +Qϕ(b)

4Construction du corps Qdes rationnels et nombres décimaux
c) ϕ(a·b) = a·b
1=a·b 1·1=a 1·b 1=ϕ(a)·ϕ(b).
d) ϕ(a) = ϕ(b)⇔a
1=b 1⇔a=b.
On en déduit que ϕest bien un morphisme d’anneaux injectif. 
Conséquence : On identifie Zàϕ(Z)dans Q, c’est-à-dire qu’on notera simplement l’élément a/1de Q
sous la forme a. Revenons alors au problème en introduction :
ax =b⇔a
1·x=b 1⇔x=a 1−1·b 1=1 a·b 1=b a∈Q,
et le corps ainsi créé correspond bien à ce qu’on attendait de lui.
15.3 Qbien ordonné
Définition 4 : On définit Q+={a/b, ab >0}et Q−={a/b, ab 60}. Si r∈Q+(resp. Q−), on dit que
rest positif (resp. négatif).
Proposition 5 :
(i) Q+et Q−sont stables par addition;
(ii) Si r1, r2∈Q+(ou Q−), alors r1r2∈Q+, et si r1∈Q+, r2∈Q−, alors r1r2∈Q−;
(iii) Q=Q+∪Q−et Q+∩Q−={0}.
démonstration :
(i) r1+r2=a1
b1+a2 b2=a1b2+a2b1 b1b2, qui est du signe de a1b1b2
2+a2b2 1b2, positif par hypothèse si
r1, r2∈Q+et négatif si r1, r2∈Q−.
(ii) On montre juste le premier cas. r1·r2=a1
b1·a2 b2=a1a2 b1b2, qui est du signe de a1a2b1b2, c’est-à-dire
positif, par hypothèse.
(iii) Q+⊂Qet Q−⊂Q, donc Q+∪Q−⊂Q. Réciproquement, soit r=a/b est un élément de Q. Si
a>b, alors r∈Q+et sinon, r∈Q−. D’où Q⊂Q+∪Q−. Enfin, r∈Q+∩Q−⇒ab >0et
ab 60⇒ab = 0 ⇒a= 0.
La dernière implication est justifiée par le fait que b6= 0 (d’après la définition d’un nombre rationnel)
et que Zest intègre. 
Proposition 6 : La relation définie pour tout (x, y)∈Q2par x>y⇔x−y∈Q+est une relation
d’ordre totale sur Q. Elle est compatible avec +et ·pour r∈Q+.
démonstration :Cette relation est clairement réflexive et transitive. Elle est totale car Q+∪Q−=Q.
En effet, si r2−r1∈Q+, alors r2>r1, sinon on a r1−r2∈Q+, donc r1>r2.
Proposition 7 : Qest dénombrable.

Construction du corps Qdes rationnels et nombres décimaux 5
démonstration :Soit r∈Q, r =a/b avec (a, b)∈Z×N∗et a∧b= 1. L’application
ϕ:Q−→ Z×N∗
r7−→ (a, b)
est injective. Net Zsont dénombrables, donc Z×N∗aussi, et donc Qaussi.
01234
0
1
2
3
4
× × × × ×
Définition 5 : Soit r∈Q. On définit la valeur absolue de r, notée |r|, par
|r|=rsi r∈Q+,
−rsi r∈Q−.
Proposition 8 : La valeur absolue vérifie les propriétés suivantes (r, p ∈Q) :
(i) |r|= 0 ⇔r= 0 et |r|>0;
(ii) |p+r|6|p|+|r|;
(iii) |pr|=|p| |r|.
démonstration :Séparer les cas : distinguer rpositif ou négatif pour (i); p, r ∈Q+,p, r ∈Q−et
p∈Q+, r ∈Q−pour (ii) et (iii). 
Prolongement
Nous savons désormais résoudre les équations du type ax =b, avec (a, b)∈Z2. Mais qu’en est-il des
équations du type x2=a,a∈Z? Les solutions sont-elles toutes contenues dans le corps que nous venons
de construire?
Etudions par exemple de plus près l’équation x2= 2, et montrons que sa solution n’est pas un nombre
rationnel. Supposons le contraire, de sorte qu’elle s’écrive sous la forme x=a/b, avec (a, b)∈Z×N∗et
a∧b= 1, et où xest tel que x2= 2. Alors
a2
b2= 2 ⇒a2= 2b2⇒2|a2⇒2|a.
as’écrit donc sous la forme a= 2a′. Mais alors on a aussi
4a′2= 2b2⇒2a′2=b2⇒2|b2⇒2|b,