Notes du cours de “Calcul Formel”

Notes du cours de “Calcul Formel”
et
“L’art du Calcul” (M12 - ED) 2012-2013.
G. H. E. DUCHAMP∗
22-09-2012 02:39
Table des mati` eres
0 Pr´ eambule 2
1 Introduction 3
2 Syst` emes de Calcul Formel et structures de donn´ ees 4
2.1 R´ evision num´ eration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Les syst` emes de Calcul Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Pr´ esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.2 Exemples de sessions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.3 Histoire succinte des Syst` emes de Calcul Formel . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Introduction ` a Maple: T.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Quelques structures de donn´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1 Arbres binaires complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.2 Arbres binaires incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.3 Arbre 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.4 Arit´ e variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.5 Expressions arithm´ etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.6 Mots noncommutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.7 Mots commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.8 Autres s´ eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Les constructeurs set, multiset & list 15
3.1 D´ efinitions g´ en´ erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 List . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Multiset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.1 OGF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
∗Pri` ere de signaler les erreurs ` a ADRIAN TANASA ou ` a moi-mˆ eme.
1

3.4.2 EGF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.3 La formule exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 S´ eries rationnelles (rep´ esentations lin´ eaires et aspect automatique) . . . . . . . 16
3.5.1 Produit de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Syst` emes et Calcul 18
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Description de la structure d’automate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.1 Graphe pond´ er´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.2 Structure et comportement des automates . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.3 Premiers automates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.4 Composition des automates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 S´ eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3.1 Exemple: Comportement d’un automate . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3.2 Op´ erations sur les s´ eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3.3 Lien avec les grammaires et les structures de donn´ ees . . . . . . . . . . 23
4.3.4 ´ Enum´ eration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3.5 Rudiments de Calcul Modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Annexes 23
5.1 Fonctions g´ en´ eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 Une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Application au calcul de complexit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.4 Plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6 TD et TP (A. Tanasa) 24
7 TD 31
0 Pr´ eambule
Ce cours est commun aux ´ etudiants originaires des fili` eres Math´ ematique, Informatique et
fili` eres d’Ing´ enieurs . Il est conc¸u de fac¸on ` a permettre aux ´ etudiants des trois sensibilit´ es de
pouvoir s’entraˆ ıner tant au niveau de la programmation (TP - TD - libre service) qu’au niveau
conceptuel: outils de calcul (analytiques et alg´ ebriques) de l’informatique th´ eorique &/ou uti-
lis´ es en informatique moderne (s´ ecurit´ e, simulation en finance, algorithmique rapide). Les T.D.
se font en maple et Mupad, mais le contenu de l’enseignement est ind´ ependant du langage.
Le poly correspond ` a un programme maximal. Seule une partie de celui-ci sera trait´ ee cette
ann´ ee. Les exercices qui sont l` a pour aider ` a la compr´ ehension du cours.
II se peut que vous ne compreniez pas certains ´ enonc´ es, dans ce cas choisissez que les questions
que vous ˆ etes capables d’aborder ... et contactez-nous rapidement pour le d´ ecodage (question
par oral, email ou wiki).
Ceci vaudra aussi lorsque vous vous exercerez sur annales.
Les parties en petits caract` eres sont des suppl´ ements et ne sont pas obligatoires.
2

1 Introduction
Le Calcul Symbolique est l’art de manipuler (scientifiquement) les symboles
(exacts: 4/7, π2/6,√10 ou bien litt´
eraux x,y,z,t,u,v) selon certaines r` egles dites “de calcul”
(ou bien de d´ erivation1). En fait, cette activit´ e est tr` es ancienne et remonte ` a la num´ eration
puisque celle-ci consiste ` a symboliser des quantit´ es par des symboles et que les quatre op´ erations
arithm´ etiques ne sont autres que le calcul symbolique attach´ e` a des probl` emes concrets (ajout
ou retrait de quantit´ es, calcul de longueur, de surface, de volume, mesure d’une grandeur) et
donnent lieu aux alogorithmes de l’arithm´ etique ´ el´ ementaire.
De mˆ eme que la math´ ematique (quand elle n’est pas autog` ene) d´ eveloppe des mod` eles pour les
sciences de la nature (´ equations de la physique, lois ..), de mˆ eme l’Informatique Th´ eorique a
d´ evelopp´ e des mod` eles et des concepts pour les ordinateurs (machines de Turing, calculabilit´ e,
automates, s´ eries g´ en´ eratrices, complexit´ e, grammaires..).
Le Calcul Formel2est n´ e d` es que l’on a essay´ e de traiter automatiquement certains calculs trop
compliqu´ es ou fastidieux pour ˆ etre ´ elabor´ es ` a la main3. Il se d´ emarque du Calcul Num´ erique en
ceci qu’il est un calcul exact (c’est ` a dire sans perte d’information due aux erreurs d’arrondi).
Par exemple, si l’on veut faire m´ ecaniquement les quatre op´ erations avec les fractions et √2, il
faut utiliser la structure de donn´ ee a+b√2; a,b ∈Q, il n’y a pas l`
a d’arrondi. Le probl` eme
principal du Calcul Formel est l’explosion des donn´ ees en cours de calcul (c’est le prix ` a payer
pour l’exactitude). Ansi toute l’arithm´ etique et ses applications4n´ ecessite le calcul exact, en
effet une erreur d’un digit mˆ eme sur un nombre de 250 chiffres peut transformer un nombre
pair en nombre impair! Ceci est g´ enant pour les tests de parit´ e, par exemple dans les modems:
le bit de parit´ e, une forme tr` es rudimentaire de code d´ etecteur d’erreurs.
Le Calcul Symbolique peut ici ˆ etre vu comme la science qui va traiter ` a la fois des structures de
donn´ es du Calcul Formel et du comportement de ceux-ci (cf infra, la m´ ethode Symbolique en
complexit´ e).
Pour r´ esumer, le voisinage scientifique du Calcul Symbolique se compose ainsi:
– le calcul scientifique exact
– le calcul formel (et, concr` etement, les syst` emes de Calcul Formel)
– l’informatique th´ eorique
– les syst` emes formels
– la combinatoire
les sciences voisines sont l’informatique, les math´ ematiques, la physique et, depuis peu, la
chimie et la biologie.
1. On parle de r` egle de d´ erivation en logique formelle ou en r´ e´ ecriture et d’arbre de d´ erivation dans les th´ eories
des grammaires et des syst` emes formels
2. Computer Algebra en anglais.
3. En anglais: hand and paper computation.
4. comme le codage, d´ ecodage, cryptage, la s´ ecurit´ e des transmissions par exemple..
3

2 Syst` emes de Calcul Formel et structures de donn´ ees
2.1 R´ evision num´ eration
Il est bon, avant d’attaquer, de maˆ ıtriser la num´ eration en base quelconque. Voici quelques
exercices.
2.1.1 Quelques exercices
Objectifs: Il faut que les ´ etudiants soient maˆ ıtres (papier crayon et programmation) des conver-
sions entre bases (avec virgule) et du passage (fraction ↔d´ eveloppement p´ eriodique). La
commande maple pour v´ erifier les conversions est ` a chercher dans convert, celle pour les
d´ eveloppement illimit´ es dans evalf (attention ` a la variable d’environnement Digits).
1) Mettre les nombres binaires suivants sous forme d´ ecimale
a) (101101)2b)(101101101)2c) (101 ···101
|{z }
3nchiffres
)2(pour le (c), on montrera que la r´ eponse
d´ epend de la conversion d’un nombre plus simple)
2) Mettre les fractions suivantes sous forme d´ ecimale
a) (0,615)8b) (12,321)5c) (0,7777777777
|{z }
10 chiffres
)8
3) Calculer
a) an= (0,5···5
|{z}
nchiffres
)8b) bn= (12,1212 ···12
|{z }
2nchiffres
)8c) cn= (12,2112 ···2112 ···
|{z }
nchiffres
)8
d) f1= (0,(54321)∞)8
e) le d´ eveloppement d´ ecimal illimit´ e de
i) 23/7ii) 7/22 iii) 1/99999
4) Conversions Fraction ↔D´ eveloppements illimit´ es en base b(les r´ esultats seront toujours
donn´ es en base dix sauf pour les points c,e).
a) 12,(345)∞;b= 10 b) 12,(345)∞;b= 8
c) BA/CA;b= 16 d) 22/132; b= 10 e) BA,(CA)∞;b= 16
2.2 Les syst` emes de Calcul Formel
2.2.1 Pr´ esentation
Un syst` eme de CF est compos´ e de
– un noyau
– des biblioth` eques
Les objets manipul´ es sont:
1. Toutes les structures de donn´ ees classiques:
arbres, listes, permutations, graphes, ensembles, intervalles, tables, tableaux, mots, parti-
tions, compositions,partitions, endofonctions.
2. Les quantit´ es du calcul scientifique:
nombres, radicaux, polynˆ omes, fractions rationnelles, matrices, vecteurs, tenseurs, fonc-
tions, s´ eries.
4

3. Les op´ erateurs pour ces structures:
(a) Pour les structures de donn´ ees: Manipulation d’arbres (sous arbres, etc...), retirer ou
ajouter un ´ el´ ement dans une liste ou un ensemble, un sommet ou une arˆ ete dans un
graphe, concat´ ener ou simplifier des mots (fusion, r´ eunion, contraction etc...).
(b) Pour les quantit´ es du calcul scientifique: d´ erivation, int´ egration et sommation sym-
boliques. ´ equations diff´ erentielles, d´ eveloppements limit´ es ou en s´ erie.
4. R´ esolution des ´ equations pos´ ees dans le cadre pr´ ec´ edent.
Bien entendu, un syst` eme de calcul formel comprend aussi des interfaces graphiques, texte
etc....
On peut repr´ esenter toutes sortes de formules et on est tr` es vite confront´ e aux probl` emes
d’´ egalit´ e (i.e. reconnaˆ ıtre les doubles repr´ esentations). Par exemple on a
√2 + √3 + √5 = r10 + 2 √10 + 2 √3q7 + 2 √10 (1)
comment le syst` eme peut-il s’en appercevoir? Plus difficile, comment le syst` eme peut-il don-
ner la premier membre ` a partir du second? (probl` emes A=B,A→B, voir les fonctions
convert(??,parfrac), rationalize, normal, collect) (֒→forme normale,
canonique, simplification automatique).
: Remarquer que:
>A:= p7 + 2√10;
A:= p7 + 2√10
> simplify(A);
√2 + √5
Mais
>B:= q10 + 2 √10 + 2 √3p7 + 2 √10: simlify(B);
p10 + 2 √2√5 + 2 √3√5 + 2 √3√2
Vaut-il mieux repr´ esenter une fraction sous la forme p
qou par son d´
eveloppement d´ ecimal (qui
est compl` etement repr´ esentable en machine parce que p´ eriodique ` a partir d’un certain rang)?
Comment passer d’une repr´ esentation ` a l’autre?
Combinatoire. —
C’est l’art de manipuler ls structures de donn´ ees discr` etes.
Exercice 2.1 i) Bijections N2→Net ´ ecriture explicite du couple de rang n.
ii) Arbre de Wilf
iii) Fractions continues.
2.2.2 Exemples de sessions
Interpr´ eteur (cf [3] p17). —
>c:= [1,2,3,u,v];
5