Equations aux différences finies et déterminants d`intégrales de

Equations aux diff´erences finies et
d´eterminants d’int´egrales de fonctions multiformes
Fran¸cois Loeser Claude Sabbah
Unit´e Associ´ee au C.N.R.S. D 0169
Centre de Math´ematiques
´
Ecole Polytechnique
F-91128 Palaiseau Cedex
R´esum´e Nous donnons une formule calculant le d´eterminant d’une matrice
dont les ´el´ements sont des int´egrales de formes diff´erentielles alg´ebriques mul-
tipli´ees par un produit de polynˆomes ´elev´es `a des puissances complexes. Cette
formule fait intervenir le polynˆome caract´eristique de monodromies associ´ees
`a la famille de polynˆomes consid´er´ee.
Abstract We give a formula which computes the determinant of a matrix
whose entries are integrals of algebraic differential forms multiplied by a prod-
uct of complex powers of polynomials. In this formula enters the characteristic
polynomial of some monodromies associated with this family of polynomials.
Classification A.M.S. 32C38, 39A10, 33A40
Mots-cl´es Equations aux diff´erences finies, transformation de Mellin, mono-
dromie, cycles ´evanescents

Sommaire
Introduction 2
1 Syst`emes d’´equations aux diff´erences finies et transformation de Mellin
alg´ebrique 3
1.1 Syst`emes lin´eaires d’EDF et groupe hyperg´eom´etrique . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Transformation de Mellin alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Lecomplexed’Aomoto............................. 11
2 D´eterminant du complexe d’Aomoto associ´e `a un polynˆome 14
2.1 Caract´eristique d’Euler des cycles ´evanescents . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Fonction zˆeta “logarithmique” des monodromies en 0 et ∞......... 15
2.3 Leth´eor`eme................................... 17
2.4 Premi`ere d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Deuxi`eme d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 D´eterminant du complexe d’Aomoto dans le cas g´en´eral 23
3.1 Fonction zˆeta associ´ee `a plusieurs polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Restriction du complexe d’Aomoto et de son d´eterminant . . . . . . . . . . 26
3.3 Leth´eor`eme................................... 27
4 D´eterminant d’int´egrales de fonctions multiformes 31
4.1 Solutions des syst`emes d’EDF de rang 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 D´eterminant d’int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
R´ef´erences 38
1

Introduction
Dans un article d´ej`a ancien [2], Aomoto s’est int´eress´e aux int´egrales du type suivant :
I(s1, . . . , sp) = Zγfs1
1· · · fsp pω
o`u f1, . . . , fpsont des polynˆomes sur Cn,ωest une n-forme alg´ebrique sur Cnet γest
un n-cycle `a coefficients dans un syst`eme local dont la monodromie est telle que la fonc-
tion Isoit uniforme. La remarque essentielle ´etait que ces int´egrales sont solution d’un
syst`eme lin´eaire holonome d’´equations aux diff´erences finies (EDF) par rapport aux vari-
ables s. Ce syst`eme s’obtient alg´ebriquement (par une g´en´eralisation d’un r´esultat de
Bernstein lorsque p= 1) comme la cohomologie du complexe (appel´e dans la suite com-
plexe d’Aomoto)
· · · −→ C(s1, . . . , sp)⊗CΩids −→ C(s1, . . . , sp)⊗CΩi+1 −→ · · ·
o`u dsest C(s)-lin´eaire et
ds(1 ⊗ω) = 1 ⊗dω +
p
X
i=1
si⊗dfi
fi
∧ω
et l’action des op´erateurs de translation τi(i= 1, . . . , p) sur la cohomologie provient de
celle sur C(s1, . . . , sp). De plus, Aomoto a donn´e des exemples pour lesquels ce complexe
n’a qu’un seul groupe de cohomologie, exemples qui seront rappel´es au §1.3.
Plus r´ecemment, Varchenko [19] a calcul´e le d´eterminant d’une matrice dont les ´el´ements
sont de telles int´egrales, lorsque f1, . . . , fpsont des formes lin´eaires affines correspondant `a
un arrangement d’hyperplans r´eels ou complexes. Nous nous proposons ici de donner une
formule g´en´erale pour un tel d´eterminant, sans condition sur les polynˆomes fi. Poursuivant
l’id´ee d’Aomoto, nous remarquons que le d´eterminant `a calculer est solution d’un syst`eme
d’EDF de rang 1, `a savoir le d´eterminant de la cohomologie du complexe d’Aomoto. Par
ailleurs, les solutions d’un syst`eme d’EDF de rang 1 qui satisfont une certaine propri´et´e
de croissance `a l’infini (v´erifi´ee par le d´eterminant d’int´egrales) peuvent s’´ecrire sous la
forme
h(s1, . . . , sp)·ϕ(exp 2iπs1,...,exp 2iπsp)·cs1
1· · · csp p·Y
LY
α
Γ(L(s)−α)γL,α
avec c1, . . . , cp∈C∗,het ϕsont des fractions rationnelles de leurs arguments, Lparcourt
un ensemble fini de formes lin´eaires `a coefficients dans Zpremiers entre eux, αun ensemble
fini de nombres complexes et γL,α ∈Z.
Nous nous proposons ici de calculer les constantes ciet les exposants γL,α en fonction
de la topologie de l’application f= (f1, . . . , fp) : Cn→Cp. Il est remarquable que ce
d´eterminant ne d´epende que de diff´erentes monodromies locales autour des hypersurfaces
fi= 0 et fi=∞et pas de monodromies globales. Dans la situation ´etudi´ee par Varchenko,
cela signifie que les γL,α ont une expression combinatoire en terme de l’arrangement.
Signalons enfin que les articles [1] et [18] consid`erent des questions analogues en utilisant
seulement [8] et pas comme ici la th´eorie de Bernstein.
2

1 Syst`emes d’´equations aux diff´erences finies et transformation de Mellin
alg´ebrique
1.1 Syst`emes lin´eaires d’EDF et groupe hyperg´eom´etrique
1.1.1 Soit C[s] = C[s1, . . . , sp] l’anneau des polynˆomes `a pvariables et C(s) le corps
des fractions rationnelles correspondant. Un syst`eme rationnel holonome d’EDF est un
C(s)-espace vectoriel de dimension finie muni d’automorphismes C-lin´eaires τ1, . . . , τpqui
commutent entre eux et qui satisfont les relations
τi·sj=sj·τisi i6=j
τi·si= (si+ 1) ·τi∀i= 1, . . . , p
Soit M(s) un tel syst`eme (de dimension r) et choisissons une C(s)-base mde M(s).
Notons Ai(s) la matrice r×rde τidans cette base. C’est une matrice `a ´el´ements dans
C(s). Les relations [τi, τj] = 0 impliquent que les matrices Aisatisfont aux relations
Ai(s+1j)·Aj(s) = Aj(s+1i)·Ai(s)
pour tous i, j = 1, . . . , p, o`u 1id´esigne le i`eme vecteur de la base naturelle de Cp. Le fait
que τisoit inversible signifie que Aiest inversible et la matrice de τ−1
idans la base mest
´egale `a
Ai(s−1i)−1.
Par ailleurs, apr`es un changement de base de matrice B(s)∈GL(r, C(s)) la matrice
de τiest A0
i(s) avec
A0
i(s) = B(s+1i)·Ai(s)·B(s)−1.
1.1.2 Si M(s) et M0(s) sont deux syst`emes holonomes d’EDF, il en est de mˆeme de
M(s)⊗C(s)M0(s), HomC(s)(M(s),M0(s)), ainsi que de
det M(s)d´ef =
r
^M(s)
o`u r= dimC(s)M(s). L’ensemble des classes d’isomorphisme de syst`emes de dimension 1
forme un groupe, que nous appellerons groupe hyperg´eom´etrique.
Exemple. Si p= 1, posons s=s1,τ=τ1. Une classe d’isomorphisme de syst`emes
rationnels holonomes d’EDF est la donn´eee de ϕ∈C(s)∗modulo l’action des changements
de base, qui sont de la forme
ψ(s) = h(s+ 1)
h(s)·ϕ(s)
avec h∈C(s)∗. Le groupe hyperg´eom´etrique est donc ´egal `a C(s)∗/∼, o`u ∼est la
relation d’´equivalence d´efinie par les changements de base ci-dessus. Un ´el´ement du groupe
3

hyperg´eom´etrique s’´ecrit ainsi de mani`ere unique sous la forme
c·Y
α∈C/Z
(s−α)γα
avec γα∈Z,γα= 0 sauf pour un nombre fini de α∈C/Zet de plus c∈C∗. Une
autre mani`ere d’exprimer ceci est que les ´el´ements du groupe hyperg´eom´etrique sont en
correspondance bijective avec les ´equations satisfaites par les fonctions
cs·Y
α∈C/Z
Γ(s−α)γα.
1.1.3 La structure du groupe hyperg´eom´etrique pour p > 1 est donn´ee par la proposi-
tion 1.1.4. Le groupe hyperg´eom´etrique est obtenu comme suit : soit HG(p)⊂(C(s)∗)n
l’ensemble des (ϕ1, . . . , ϕp) qui v´erifient la condition d’int´egrabilit´e
ϕi(s+1j)
ϕi(s)=ϕj(s+1i) ϕj(s)
pour tous i, j = 1, . . . , p, avec la structure de groupe induite par la multiplication terme
`a terme ; soit ∼la relation d’´equivalence
(ϕ1, . . . , ϕp)∼(ψ1, . . . , ψp)
si et seulement si il existe h∈C(s)∗tel que, pour tout i= 1, . . . , p on ait
ψi(s) = h(s+1i)
h(s)·ϕi(s).
Alors le groupe hyperg´eom´etrique HG(p) est le quotient HG(p)/∼.
Soit Lun sous-ensemble de formes lin´eaires non identiquement nulles sur Qp`a coef-
ficients dans Zpremiers entre eux tel que pour toute telle forme L, on ait soit L∈ L
soit −L∈ L. On peut par exemple choisir Lcomme suit : L(s) = Pλisiest dans Lsi et
seulement si λ1>0 si λ16= 0, λ2>0 si λ1= 0 et λ26= 0, etc. Soit Z[L×C/Z]l’ensemble
des applications L × C/Z→Z`a support fini, muni de sa structure naturelle de groupe.
Proposition 1.1.4 Soit σ:C/Z→Cune section de la projection C→C/Z. Alors
l’application
(C∗)p×Z[L×C/Z]−→ HG(p)
qui associe `a [(c1, . . . , cp); γ]la classe d’isomorphisme du syst`eme satisfait par
cs1
1· · · csp pY
L∈L Y
α∈C/Z
Γ(L(s)−σ(α))γL,α
ne d´epend pas de la section σchoisie et est un isomorphisme de groupes.
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