Le plan est muni d`un repère orthonormal (O,I,J)

3ème Problème de synthèse n°10
Tracer un triangle équilatéral ABF. Soit C le symétrique de A par rapport à F et D le
symétrique de B par rapport à F.
1. Démontrer que ABCD est un rectangle.
2. La droite perpendiculaire à (AC) qui passe par F coupe (DC) en E.
a) Démontrer que AEC est un triangle équilatéral.
b) Calculer la mesure des angles du triangle BFC
c) Démontrer que D est le milieu de [EC]
d) Démontrer que ABDE est un parallélogramme.
3. a) On donne AB = a. Calculer les longueurs FE et BE en fonction de a.
b) Calculer l’aire du triangle AEC en fonction de a.
c) Calculer les aires des quadrilatères ABCD et ABDE en fonction de a.
4. Tracer le cercle circonscrit au rectangle ABCD ; il coupe [AE] en G. Montrer que G
est le milieu de [AE].
5. Soit H le point diamétralement opposé à G sur le cercle circonscrit au rectangle
ABCD. Citer sans justification :
a) la nature du polygone ABHCDG,
b) les axes de symétrie de la figure ABHCDG,
c) les axes de symétrie de ACE,
d) la rotation qui transforme A en D et C en B, en précisant son centre, son angle
et son sens.

3ème Problème de synthèse n°10
1 On sait que C et D sont symétriques respectivement de A et B par rapport à F donc AF = FC
et BF = FD.
On sait que ABF est un triangle équilatéral donc AF = FB ( = AB) donc AC = BD.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et sont de même longueur alors
c’est un rectangle.
Donc ABCD est un rectangle.
2 a) On sait que (EF) est perpendiculaire à (AC) et que F est le milieu de [AC].
Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c’est la médiatrice
de ce segment.
Donc (EF) est la médiatrice de [AC].
Si un point est sur la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce
segment.
Donc EC = EA, donc le triangle AEC est isocèle en E.
Le triangle ABF étant équilatéral, ses angles mesurent chacun 60°.
Les droites (AD) et (BC) sont parallèles (ABCD est un rectangle) donc les angles alternes-
internes BAC et ACE ont la même mesure.
Donc ACE = 60 ° et le triangle isocèle AEC, qui a un angle de 60°, est équilatéral.
b) BF = FC ( ABCD est un rectangle) donc le triangle BFC est isocèle en F.

3ème Problème de synthèse n°10
FBC = ABC – ABD = 90 – 60 = 30°. Donc FBC = FCB = 30°
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
Donc BFC = 180 – 2 x 30 = 120°.
c) La droite (AD) est perpendiculaire à (CE) (angle droit du rectangle ABCD).
Donc (AD) est la hauteur issue de A du triangle AEC.
Comme le triangle AEC est équilatéral, la hauteur est aussi médiane, donc D est le milieu de
[CE].
d ) On sait que (AB) est parallèle à (CD) (côtés opposés du rectangle ABCD) et que AB = CD
= DE.
Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c’est un
parallélogramme.
Donc ABDE est un parallélogramme.
3 a) Si AB = a alors AF = FC = FB = FD = DC = DE = a
CE = 2a
On sait que FEC est un triangle rectangle en F.
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme
des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Donc EC² = EF² + FC²
EF² = 4a² - a²
EF² = 3a²
EF = a
On sait que le triangle ABC est rectangle en B (angle droite du rectangle ABCD).
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme
des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Donc AC² = AB² + BC²
BC² = 4a² - a²
BC² = 3a²
On sait que le triangle BEC est rectangle en C (angle droite du rectangle ABCD).
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme
des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Donc BE² = BC² + EC²
BE² = 3a² + 4 a²
BE² = 7a²
BE = a
b) Aire de AEC = =
3 2
2
a a´
= a²
c) Aire de ABCD = AB x BC = a x a = a²
Aire de ABDE = AB x AD (côté multiplié par la hauteur correspondant au côté)
= a x a = a²
4 On sait que le cercle tracé a comme centre F et comme diamètre [AC] et que G est sur le
cercle.
Si dans un cercle, un triangle a pour sommets les deux extrémités d’un diamètre et un point du
cercle alors ce triangle est rectangle en ce point.

3ème Problème de synthèse n°10
Donc le triangle AGC est rectangle en G donc (CG) est la hauteur issue de C du triangle AEC.
Comme le triangle AEC est équilatéral alors la hauteur est aussi médiane, donc G est le milieu
de [AE].
5 a) ABHCDG est un hexagone régulier.
b) Les axes de symétrie de ABHCDG sont (AC), (BD), (HG) et les médiatrices des segments
[AB], [AG] et [GD].
c) Les axes de symétrie de ACE sont (AD), (EF) et (CG).
d) Il s’agit de la rotation de centre F, d’angle 120° dans le sens des aiguilles d’une montre.