Le cyclotron (Corrigé)

3IMRT, Particule chargée dans les champs électrique et magnétique
III - Le cyclotron (Corrigé)
D’ D
Un cyclotron est constitué par deux demi-boites cylindriques D
et D' à l'intérieur desquelles on établit un champ magnétique de

vecteur représentatif B . Dans l'espace compris entre les deux
demi-boites, on établit une tension UDD’allternative de valeur
maximale U. Des ions positifs de charge q, de masse m sont
injectés en O avec une vitesse négligeable.

B
1. La tension UDD’est positive.
a) Établir les expressions littérales en fonction de q, U et m,
de l'énergie cinétique EC et de la vitesse v de ces ions à leur
première arrivée en D'.
xO

B
vue de
dessus
Onappl
i
quel
et
héor
èmedel
’
éner
gi
eci
nét
i
queàuni
ondemassem etdechar
geqsoumis à la
tension ou différence de potentiel UDD’= VD- VD’pendant son déplacement de DàD’
dans le référentiel terrestre supposé galiléen (
Lepoi
dsdel
’
i
onestnégl
i
geable par rapport à la force
électrique exer
céesurl
’
i
on)

EC(
D’
)–EC(D) = WDD’( Félectrique ) soit : EC –0 = q(VD- VD’) donc : EC= qU
EC = ½ mv2 donc : v =
2EC
et v =
m
2qU
m
Calculer EC en joule puis en électron-volts ainsi que la vitesse v.
EC = 3,2 x 10 -19 x 105 = 3,2 x 10 -14 J = 3,2 x 10 -14 / 1,60 x 10-19 = 2 x 105 eV ( = 200 keV)
2 3,2 1019 105
= 1,4 x 106 m.s-1
27
3,3 10
v=
Données : q = 3,2. 10
-19
C, m = 3,3.10
-27
5
kg,
U = 10 V.
b) Ces ions penètrent alors dans D'. Quel est ensuite leur mouvement ?
Exprimer en fonction de B, q, U et m le rayon R1 de leur trajectoire.
Calculer R1 si B = 1 T.

mouvement circulaire uniforme dans un plan perpendiculaire au champ magnétique B
R1=
mv
avec v =
qB
m
1 2mU
2qU
2qU
2 3,3 10-27 105
soit : R1=
.
; R1 =
=
= 4,5 x 10-2m
m
m
B
q
3,2 10-19
qB
= 4,5 cm
2. Les ions ressortent de D'. On inverse alors la tension UDD’en lui gardant la même valeur U. Établir les expressions :
a) de leur vitesse v2 à l'entrée de D et leur énergie cinétique;
L’
i
onef
f
ect
ueun2ème passageent
r
el
esdeesdoncacqui
er
tl
’
éner
gi
eEC2 = 2qU
soit : ½ mv22 = 2qU ; v2 =
4qU
m
=
2 2qU
m
donc : v2 =
2 .v
b) du rayon R2 de leur trajectoire dans D
R2 =
mv 2
qB
=
2
mv
qB
soit : R2 =
2 .R 1 au 2ème passage entre les dees
c) du rayon de la trajectoire des ions en fonction de n, nombre de passages entre D et D' et de R1.
àchaquepassageent
r
el
esdees,l
’
i
onaccumul
el
’
éner
gi
eqUdoncaprès le nème passage, l
’
i
on
possède l
’
énergie ECn avec la vitesse vn telles que
ECn = ½ mvn2 = nqU donc vn =
alors : Rn =
mvn
qB
=
n
mv
qB
2nqU
m
soit Rn =
=
n
2qU
m
soit : vn =
n. v
n .R1
3. Le cyclotron ayant un rayon de 49,5 cm, calculer le nombre de tours décrit par ces ions el leur énergie cinétique à leur
sortie (en eV).
2
2
R  49,5 
n=
donc : n =  n  = 
= 121 passages soit : 121 / 2 = 60,5 tours
R1
R 1  4,5 
Rn
ECn = nqU soit : Ecn = nEC = 121 x 200 keV = 24200 keV = 24,2 MeV