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x O
B
B
D’ D
vue de
dessus
3IMRT, Particule chargée dans les champs électrique et magnétique
III - Le cyclotron (Corrigé)
Un cyclotron est constitué par deux demi-boites cylindriques D
et D' à l'intérieur desquelles on établit un champ magnétique de
vecteur représentatif
B
. Dans l'espace compris entre les deux
demi-boites, on établit une tension UDD’ allternative de valeur
maximale U. Des ions positifs de charge q, de masse msont
injectés en O avec une vitesse négligeable.
1. La tension UDD’ est positive.
a) Établir les expressions littérales en fonction de q, U et m,
de l'énergie cinétique ECet de la vitesse vde ces ions à leur
première arrivée en D'.
On applique le théorème de l’énergie cinétique à un ion de masse m et de charge q soumis à la
tension ou différence de potentiel UDD’ = VD- VD’ pendant son déplacement de D à D’
dans le référentiel terrestre supposé galiléen (Le poids de l’ion est négligeable par rapport à la force
électrique exercée sur l’ion)
EC(D’) –EC(D) = WDD’ (
électrique
F) soit : EC–0 = q(VD- VD’ ) donc : EC= qU
EC= ½ mv2donc : v =
C
2E
m
et v =
2qU
m
Calculer ECen joule puis en électron-volts ainsi que la vitesse v.
EC= 3,2 x10 -19 x105= 3,2 x10 -14 J = 3,2 x10 -14 / 1,60 x 10-19 = 2 x105eV ( = 200 keV)
v =
19 5
27
2 3,2 10 10
3,3 10 = 1,4 x106m.s-1
Données :q = 3,2. 10 -19 C, m = 3,3.10 -27 kg, U = 10 5V.
b) Ces ions penètrent alors dans D'. Quel est ensuite leur mouvement ?
Exprimer en fonction de B, q, U et mle rayon R1de leur trajectoire.
Calculer R1si B= 1 T.
mouvement circulaire uniforme dans un plan perpendiculaire au champ magnétique
B
R1=
mv
qB
avec v =
2qU
m
soit : R1=
m
qB
.
2qU
m
; R1=
2mU
q
1
B= 
-27
-19
5
2 3,3 10 10
3,2 10 = 4,5 x10-2m
2. Les ions ressortent de D'. On inverse alors la tension UDD’ en lui gardant la même valeur U. Établir les expressions :
a) de leur vitesse v2à l'entrée de D et leur énergie cinétique;
L’ion effectue un 2
ème passage entre les dees donc acquiert l’énergie EC2 = 2qU
soit : ½ mv2
2= 2qU ; v2=
4qU
m
=
2 2qU
mdonc : v2=
2
.v
b) du rayon R2de leur trajectoire dans D
R2=
2
mv
qB
=
mv
2
qB
soit : R2=
1
2
.R
au 2ème passage entre les dees
c) du rayon de la trajectoire des ions en fonction de n, nombre de passages entre D et D' et de R1.
à chaque passage entre les dees, l’ion accumule l’énergie qU donc après le nème passage, l’ion
possède l’énergie ECn avec la vitesse vntelles que
ECn = ½ mvn
2= nqU donc vn=
2nqU
m=
2qU
m
nsoit : vn=
n
. v
alors : Rn=
n
mv
qB
=
mv
n
qB
soit Rn=
n
.R1
3. Le cyclotron ayant un rayon de 49,5 cm, calculer le nombre de tours décrit par ces ions el leur énergie cinétique à leur
sortie (en eV).
n
=
n
1
R
R
donc : n =
2
n
1
R
R=
2
49,5
4,5 =121 passages soit : 121 / 2 = 60,5 tours
ECn = nqU soit : Ecn = nEC= 121 x200 keV = 24200 keV = 24,2 MeV
=
4,5 cm