Licence Math-Info Exercices d`Arithmétique

Licence Math-Info
Exercices d'Arithmétique
TD LMI2
Pascal Lefèvre / Maxime Bailleul
2
Exercices Arithmétique.
1 Révisions : Théorie élémentaire des ensembles
Exercice 1.1
a) Ecrire la négation de la phrase suivante: La nuit, tous les chats sont gris."
b)(on peut toujours rêver !") Un enseignant dit à ses étudiants: "Chaque étudiant qui fera
tous ses exercices de TD aura 20." Les étudiants n'ayant pas fait leurs exercices reçoivent un 20.
Est-ce illogique ?
c) Dans un restaurant pour mathématiciens, un client choisit le menu avec fromage ou dessert".
A la n du repas on lui sert un plateau de fromages et une tarte. Est-ce illogique?
Exercice 1.2
Démontrons que dans une boîte de crayons de couleurs, tous les crayons sont de
n ≥ 1 et Pn
la même couleur. Soit
la propriété Dans toute boîte contenant
n crayons de couleurs,
tous les crayons sont de la même couleur.
n = 1, P1
Pour
Supposons que
est trivialement vraie.
Pn
est vraie, où
n≥1
et considérons une boîte contenant
n+1
crayons de
couleurs. Retirons un crayon de cette boîte, nous avons maintenant une boîte contenant
de couleurs. Comme
Pn
n crayons
est vraie, tous ces crayons sont de la même couleur. On remet le crayon
mis à l'écart pour en reprendre un autre. À nouveau, nous avons encore une boîte contenant
crayons de couleurs et d'après
Pn ,
n
vraie, tous ces crayons sont de la même couleur. Ainsi, tous les
crayons considérés sont de la même couleur.
Pn+1 est vraie
Où est le problème ?
Donc
Exercice 1.3
et, par récurrence,
Pn
est vraie pour tout
n ≥ 1.
Un facteur fait sa tournée. A part délivrer des lettres, il aime les jeux mathéma-
tiques. Le mathématicien chez qui il arrive lui pose cette devinette :
- J'ai trois lles.
Le produit de leurs âges est
36
et leur somme est égale au numéro de la
maison d'à côté, quels sont les âges de mes 3 lles ?
Le facteur regarde la maison voisine et dit:
- Mais, je ne peux pas vous répondre !
Le mathématicien est gêné, recalcule et s'écrie:
- Ah oui... j'ai oublié de vous dire : mon ainée est blonde !
Quels sont les âges des 3 lles ?
Exercice 1.4
Un groupe de
N ≥2
personnes se réunit. Montrer qu'au moins deux personnes
ont serré le même nombre de mains. On pourra séparer les deux cas suivants : soit tout le monde
a serré au moins une main, soit il existe quelqu'un qui n'a serré aucune main.
Exercice 1.5
Soit
(P )
Que veut-elle dire? Ecrire sa négation.
Exercice 1.6
Soient
I
(∃n ∈ N)(∀p ∈ N), p ≤ n.
Laquelle des propositions (P ) ou
la proposition suivante:
un intervalle de
R et f : I → R une fonction dénie sur I
Exprimer à l'aide de quanticateurs les assertions suivantes :
a) la fonction
b)
c)
f
f
f
non
s'annule
n'est pas une fonction constante
ne prend jamais deux fois la même valeur
(P )
est vraie?
à valeurs réelles.
3
Exercices Arithmétique.
f
d) la fonction
e)
f)
f
f
présente un minimum
prend des valeurs arbitrairement grandes
ne peut s'annuler qu'une seule fois.
Exercice 1.7
dénie sur
Soient
I
un intervalle de
R
non vide et
f :I →R
une fonction à valeurs réelles
I.
Exprimer les négations des assertions suivantes :
∀x ∈ I, f (x) 6= 0
b) ∀y ∈ R, ∃x ∈ I, f (x) = y
c) ∃M ∈ R, ∀x ∈ I, |f (x)| 6 M
d) ∀x, y ∈ I, x 6 y ⇒ f (x) 6 f (y)
e) ∀x, y ∈ I, f (x) = f (y) ⇒ x = y
f ) ∀x ∈ I, f (x) > 0 ⇒ x 6 0.
a)
Exercice 1.8
f1 , f2 , f3 trois fonctions de R dans R.
Soient
Traduire graphiquement les propriétés
suivantes:
(∀j ∈ {1, 2, 3})(∃a ∈ R),
(∃j ∈ {1, 2, 3})(∀a ∈ R),
c) (∃a ∈ R)(∀j ∈ {1, 2, 3}),
d) (∀a ∈ R)(∃j ∈ {1, 2, 3}),
a)
b)
Exercice 1.9
A, B
Soient
fj (a) = 1.
fj (a) = 1.
fj (a) = 1.
fj (a) = 1.
des parties de
E.
a) Trouver une condition nécessaire et susante pour que le problème A
X ∈ P(E)"
b) idem pour
de
E
Soit
A
dans l'ensemble
Soient
, où
A ∪ X = B.
Exercice 1.10
f
∩X = B
ait une solution puis le résoudre.
A
et
B
E . On appelle fonction caractéristique de A l'application
f (x) = 0 si x ∈
/ A et f (x) = 1 si x ∈ A.
E , f et g leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les
une partie de
{0, 1},
telle que:
deux parties de
fonctions suivantes sont les fonctions caracteristiques d'ensembles que l'on déterminera:
1 − f.
b) f g .
c) f + g − f g .
a)
Exercice 1.11
Soient
Exercice 1.12
Soient
f : E → F une application. Montrer que:
a) f est injective si et seulement s'il existe g : F → E telle que g ◦ f = IdE .
b) f est surjective si et seulement s'il existe g : F → E telle que f ◦ g = IdF .
c) f est bijective si et seulement s'il existe g : F → E telle que g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF .
E, F
des ensembles et
f : E → F
et
g : F → E
deux applications telles que
bijective.
Montrer que
Exercice 1.13
f
et
g
sont bijectives.
Décrire
P(P({a}))
où
a
désigne un élément.
f ◦g◦f
soit
4
Exercices Arithmétique.
Exercice 1.14
Soient
Exercice 1.15
Soient
f une application de E dans F , A une partie de E et B
−1
1)a) Montrer que ∀A ∈ P(E), A ⊂ f
(f (A)).
−1
b) Montrer que: [pour tout A ∈ P(E), f
(f (A)) = A] ⇐⇒ f injective.
−1
2)a) Montrer que pour tout B ∈ P(F ), f (f
(B)) ⊂ B .
−1
b) Montrer que: [pour tout B ∈ P(F ), f (f
(B)) = B] ⇐⇒ f surjective.
A, B des parties d'un
que ∀X ∈ P(E), f (X) = (X ∩ A, X ∩ B).
Montrer que : f injective ⇐⇒ A ∪ B = E .
ensemble
E.
Soit
une partie de
f : P(E) −→ P(A) × P(B)
F
tel
A quelle condition est-elle surjective ?
Exercice 1.16
toute application
E un ensemble non vide. Montrer que E est inni si et seulement si
f : E → E , il existe A ⊂ E , non vide, distinct de E vériant f (A) ⊂ A.
Soit
pour
Indication: pour cela, on pourra s'intéresser d'une part à une permutation sur un ensemble
{f n (x)| n ∈ N∗ }.
ni et d'autre part à un ensemble du type
Exercice 1.17
Soit
f
(Olympiades 1977)
∗
une application de N dans
Montrer que:
N∗
telle que pour tout
n de N∗ ,
on ait :
∀n ∈ N∗ , f (n) = n.
Indication: on pourra montrer que pour tout
n, x ≥ n ⇒ f (x) ≥ n.
f (n + 1) > f (f (n)).
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Exercices Arithmétique.
2 Relations
Exercice 2.1
Prouver les armations laissées en exercice dans le cours:
déf.
de plus petit
élément, borne inf.,...; partitions,...
Exercice 2.2
l'inclusion.
A et B deux parties d'un ensemble E .
Déterminer sup({A, B}) et inf({A, B}).
Exercice 2.3
si
n
divise
Soient
Soit
x − y.
n≥1
Exercice 2.4
Soient
Exercice 2.5
Soit
x
un entier. On dit que
Auquel cas , on note
x ≡ y[n].
et
y
La relation d'ordre considérée est
(deux entiers) sont congruents modulo
n
Montrer que c'est une relation d'équivalence.
(E, ≤) et (F, ≺) deux ensembles ordonnés isomorphes par la bijection f
(Cela signie que, ∀x, y ∈ E , on a: x ≤ y ⇔ f (x) ≺ f (y)). Soit X une partie de E admettant la
borne supérieure b pour l'ordre sur E . Montrer que f (b) est la borne supérieure dans F de f (X) .
I
l'ensemble des intervalles fermés
[a, b]
de
R
(a
≤ b),
ensemble ordonné par
inclusion.
a) Existe-t-il des éléments maximaux, minimaux?
b) Montrer que sur
I , on peut dénir sup{[a, b], [c, d]} pour toute paire d'intervalles.
[a, b] et [c, d] doivent-ils vérier pour que l'on puisse dénir sur I
c) Quelles conditions
la borne
inférieure de ces intervalles?
Exercice 2.6
Soient E et F deux ensembles donnés. A toute partie X de E , on associe l'ensemble
F(X, F ) des applications de X dans F . Soit Φ l'ensemble de ces applications: Φ = {f | f ∈
F(X, F ) et X ∈ P(E)}.
0
0
0
0
On dénit sur Φ la relation binaire suivante: f Rf ⇐⇒ X ⊂ X , où f ∈ F(X , F ) et f est la
0
restriction de f à X .
Montrer que R est une relation d'ordre partiel. Quels sont les éléments maximaux de Φ pour
cet ordre ?
Exercice 2.7
On dénit une relation binaire
4
sur
R+?
par :
x 4 y ⇔ ∃n ∈ N, y = xn
Montrer que
4
est une relation d'ordre. Cet ordre est-il total ?
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Exercices Arithmétique.
3 Ensembles nis, dénombrement.
Exercice 3.1
Soient
E = {1, . . . , n}
et
F = {1, . . . , p}
Combien y a-t-il d'applications strictement croissantes de
Exercice 3.2
X
Soit
E
un ensemble à
n
n 6 p ∈ N.
E vers F ?
avec
éléments.
p éléments de E .
Combien y a-t-il de parties Y de E disjointes de X ?
b) Combien y a-t-il de couples (X, Y ) formés de parties
a) Soit
une partie à
Exercice 3.3
n ∈ N? ,
Pour
calculer
A=
E(n/2)
P
k=0
un système dont
Exercice 3.4
que
n
P
n
p
p
p=0
A
B
et
n
2k
disjointes de
!
et
B =
E
E((n−1)/2)
P
k=0
?
n
2k + 1
!
en formant
seraient solutions.
Montrer que pour tout
n∈N
et tout
p∈Z
:
p
!
n
=n
p
!
n−1
.
p−1
En déduire
!
Exercice 3.5
= n2n−1 .
Calculer, pour tout
n, p ∈ N,
n
X
k=0
la somme
p+k
k
!
Exercice 3.6
Démontrer la formule du crible (faire une récurrence).
Exercice 3.7
Montrer que dans un ensemble inni, on peut trouver des parties de cardinal
pour tout
Exercice 3.8
E
ni
Soit
Exercice 3.9
E
⇐:
possède un élément maximal pour l'inclusion.
considérer l'ensemble des parties nies.
Soient
(a1 , · · · , aN )
Exercice 3.10
un ensemble. Montrer
⇐⇒ ∀P ⊂ P(E), P 6= ∅,
Indication: pour
d'entiers
n,
n ∈ N.
N
un entier naturel non nul et
tels que
r∈N
a1 + · · · + aN = r .
Etablir les formules suivantes :
a)
p
p+1
Cpp + Cp+1
+ . . . + Cnp = Cn+1
.
b)
p−k
Cnk · Cn−k
= Cpk · Cnp .
c)
p−1
p−2
0
Cn0 · Cnp + Cn1 · Cn−1
+ Cn2 · Cn−2
+ . . . + Cnp · Cn−p
= 2p Cnp .
d)
p−1
p−2
0
Cn0 · Cnp − Cn1 · Cn−1
+ Cn2 · Cn−2
+ . . . (−1)p Cnp · Cn−p
=0
. Déterminer le nombre de
N -uplets
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Exercices Arithmétique.
Exercice 3.11
a) Donner la forme algébrique de
(1 + i)4n .
b) En déduire les valeurs de :
2n
X
4n
(−1)
2k
k=0
Exercice 3.12
Soit
n
k
et
2n−1
X
(−1)
k
k=0
un entier naturel; calculer
n
X
4n
.
2k + 1
(Cnp )2 .
p=0
Plus généralement, établir la formule de Vandermonde:
min(k,n)
X
k−l l
k
Cn = Cm+n
.
Cm
l=0
Exercice 3.13
Soient
E
et
F
deux ensembles de cardinal
Déterminer le nombre de surjections
démarche suivante.
∗
Montrer que pour
d'un ensemble à
n
n≥k ≥1
on a
f |E → F
k
X
Cki Sni = k n ,
i=1
éléments sur un ensemble à
i
n
et
k
(on suppose
où
Sni
respectivement.
n ≥ k ).
On pourra suivre la
désigne le nombre de surjections
éléments.
∗ Montrer que les égalités précédentes peuvent être décrites par une égalité AX = Y , où A est
une matrice d'ordre n × n et X et Y sont deux vecteurs.
∗ Montrer que A est inversible et que les coecients (bij ) de A−1 sont bij = (−1)i+j Cij . Expli−1
quer comment on pouvait trouver A
?
k
X
∗ Montrer que Snk =
(−1)k+i Cki in
i=1
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Exercices Arithmétique.
4 Ensembles dénombrables
Exercice 4.1
On considère l'application
f (2n) = n
f :N→Z
et
dénie pour tout entier
n∈N
par :
f (2n + 1) = −(n + 1)
Montrer que l'application est bijective (Z est donc dénombrable).
Exercice 4.2
Montrer que l'ensemble des polynômes à coecients entiers est dénombrable.
(Indication : Montrer tout d'abord que l'ensemble de ces polynômes de degré inférieur ou égal à
d+1
d un entier xé s'injecte dans Z
).
Exercice 4.3
[0, 1] n'est pas dénombrable. Pour cela, on commencera par construire
[0, 1] dans {0, 1}N (l'ensemble des suites à valeurs dans {0, 1}): penser
N
à la décomposition triadique. Puis justier qu'il n'y a pas d'application surjective de N sur {0, 1}
Montrer que
une application surjective de
(diagonale de Cantor"). Conclure.
Preuve alternative:
supposer que
[0, 1] = {an |n ∈ N}. En coupant [0, 1] en trois, un des
a0 , on choisit un de ces intervalles: I0 (on a donc
de même a1 ∈
/ I1 ⊂ I0 . Et ainsi de suite... Conclure.
intervalles (deux le plus souvent) ne contient pas
a0 ∈
/ I0 ).
On coupe
I0
en trois et on a
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Exercices Arithmétique.
5 Arithmétique élémentaire.
√
Exercice 5.1
Pour
Exercice 5.2
Montrer que
Exercice 5.3
Montrer que pour chaque entier naturel
Exercice 5.4
Trouver tous les entiers positifs
a
Exercice 5.5
Quel est le chire des unités de
2008200810
Exercice 5.6
Trouver deux nombres sachant que leur somme est
x ∈ N,
PPCM par leur PGCD est
Exercice 5.7
montrer que
x∈Q
x
si et seulement si
est un carré dans
N.
ln(2)
∈
/ Q.
ln(3)
n, 49
tels que
divise
a10 + 1
23n+3 − 7n − 8.
est divisible par
10.
? '
581
et que le quotient de leur
240.
Montrer que :
1. Si un entier est de la forme
6k + 5,
alors il est nécessairement de la forme
3k − 1,
alors que
la réciproque est fausse.
5k + 1 est aussi de cette forme.
3. Le carré d'un entier est de la forme 3k ou 3k + 1, mais jamais de la forme 3k + 2.
4. Le carré d'un entier est de la forme 4k ou 4k + 1, mais jamais de la forme 4k + 2
forme 4k + 3.
5. Le cube de tout entier est de la forme 9k , 9k + 1 ou 9k + 8.
2. Le carré d'un entier de la forme
ni de la
6. Si un entier est à la fois un carré et un cube, alors c'est une puissance sixième, et il est de
la forme
7k
ou
7k + 1.
Exercice 5.8
Montrer que
Soient a et b premiers entre eux.
a ∧ (a + b) = b ∧ (a + b) = 1 puis (a + b) ∧ ab = 1.
Exercice 5.9
et
Déterminer le pgcd des couples d'entiers suivants :
b = 972. a = 1104
Exercice 5.10
et
et
b = 312. a = 1225
b = 1260.
On souhaite trouver tous les couples
(x, y) ∈ Z2
vériant l'équation
325x + 299y = 39.
(E)
1)
et
a = 325
b
Quel est le pgcd de
325
et
299
? Simplier l'équation
sont premiers entre eux.
2)
3)
4)
5)
Trouver une relation de Bézout entre
a
En déduire une solution particulière de
Trouver toutes les solutions de
(E).
Interprétation géométrique du résultat.
Exercice 5.11
Montrer que
11 | 2123 + 3121 .
b.
(E).
et
(E)
sous la forme
ax + by = c
où
a
10
Exercices Arithmétique.
Exercice 5.12
Montrer que pour tout
n∈N
:
3
6 | 5n + n
7 | 32n+1 + 2n+2
2n+1
c) 5 | 2
+ 32n+1
8n
d) 11 | 3
× 54 + 56n × 73
n
e) 9 | 4 − 1 − 3n
2
n
f ) 15 | 16 − 1 − 15n.
a)
b)
Exercice 5.13
Résoudre l'équation en nombres entiers :
Exercice
5.14
√
a) Pour
(1 +
√
n
2) = an + bn 2
a2n − 2b2n .
En déduire que an
n ∈ N,
315x + 273y = 63.
montrer qu'il existe un couple unique
(an , bn ) ∈ N2
tel que
b) Calculer
c)
Exercice 5.15
et
bn
sont premiers entre eux.
On souhaite trouver tous les
q∈Z
tels que
1
5q
eiπ( 6 + 8 )
soit une racine neuvième
de l'unité.
1)
2)
Montrer que cela revient à résoudre
16k − 45q = 12
où
q, k ∈ Z.
Résoudre cette équation en utilisant la méthode des exercices précédents.
Exercice 5.16
N
Critères de divisibilité.
ρ(N ) la somme des chires dans son écriture décimale.
a) Montrer que N est divisible par 3 si seulement si ρ(N ) ≡ 0[3].
b) Montrer que N est divisible par 9 si seulement si ρ(N ) ≡ 0[9].
c) Justier que: pour savoir qu'un entier est divisible par 2, il sut de savoir que le dernier
chire de son écriture décimale l'est; pour savoir qu'un entier est divisible par 4, il sut de savoir
Soit
un entier naturel. On note
que le nombre obtenu avec les deux derniers chires de son écriture décimale l'est; pour savoir
qu'un entier est divisible par
8,
il sut de savoir que le nombre obtenu avec les trois derniers
chires de son écriture décimale l'est;...
d) Montrer que
N
est divisible par
11
si seulement si la diérence entre la somme des chires
de rang pair dans son écriture décimale et la somme des chires de rang impair est divisible par
11.
e) Application: calculer
Exercice 5.17
Soit
n≥1
√ 20082008
3
1
+i
.
2
2
un entier. Déterminer le nombre de diviseurs de
ce nombre est impair si et seulement si
Exercice 5.18
n
est un carré.
(p, q) ∈ N. Montrer que 2p − 1 et 2q − 1
alors n est premier. Étudier la réciproque
Exercice 5.19
En déduire que
Nombres de Mersenne
Soient
premier,
n.
Nombres parfaits pairs.
2pq − 1.
n = 11.
divisent
pour
En déduire que si
On appelle nombre parfait tout entier
N
2n − 1
est
égal à la somme
de ses diviseurs autres que lui-même (par exemple 6 = 1 + 2 + 3).
∗
Soit n ∈ N , on note σ(n) la somme de tous les diviseurs de n.
αr
1
1) Soit n ∈ N∗ , on suppose que n = pα
1 · · · pr est sa décomposition en produits de nombres
premiers. Montrer que
σ(n) = [1 + p1 + · · · + pα1 1 ] · · · [1 + pr + · · · + pαr r ]
11
Exercices Arithmétique.
σ(n)
En déduire une expression de
en fonction des diviseurs premiers de
n
et de leur ordre de
multiplicité.
2)
3)
4)
n+1
2
sont premiers entre eux, alors σ(ab) = σ(a).σ(b).
n+1
Soit n ∈ N, montrer que si 2
− 1 est premier alors 2n (2n+1 − 1) est parfait.
n n+1
Montrer que, réciproquement, tout nombre parfait pair N s'écrit N = 2 (2
En déduire que, si
−1
a
b
et
− 1)
où
est premier.
(Indication : on écrira
N = 2r .m
avec
r≥1
et
m
impair)
Remarque : le problème de déterminer les nombres parfaits impairs est ouvert. En fait, on ne
sait même pas s'il en existe.
Exercice 5.20
où
Soit
ϕ
m ∈ N \ {0}.
a) Calculer ϕ(pα )
si
la fonction caractéristique d'Euler :
p est premier et α ≥ 1.
b) Montrer que si n ∧ m = 1 alors ϕ(nm)
X = ϕ(n)ϕ(m).
c) Soit n ≥ 1 un entier. Montrer que
ϕ(d) = n.
ϕ(m) = #{1 ≤ k ≤ m| k ∧ m = 1}
En déduire
ϕ(m).
d|n
d)
En déduire
det[i ∧ j]1≤i,j≤n .
Exercice 5.21
Montrer qu'un entier
Exercice 5.22
Montrer que
Exercice 5.23
Formule d'inversion de Möbius:
Pour tout entier
produit de
r
f
et
ϕ(n)
=0
n
g
X
est premier si et seulement si
et
lim
µ(n) = (−1)r si n s'écrit
remarque que µ(1) = 1.
µ(n) = 0
sinon. On
µ(d).
1≤d≤n
d|n
deux fonctions dénies sur
N
à valeurs complexes.
2) Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes:
i) Pour tout
n ≥ 1,
f (n) =
on a
X
g(d).
1≤d≤n
d|n
ii) Pour tout
n ≥ 1,
on a
g(n) =
X
1≤d≤n
d|n
3) En déduire que
X
1≤d≤n
d|n
Exercice 5.24
quand
x
On admet le théorème des nombres premiers:
p| p
premier
,1 ≤ p ≤ x ∼
tend vers l'inni. En déduire
a)
pn ∼ n ln(n).
b)
dn
∼ x,
ln(n)
1<n≤x
c)
lim
X
n
µ( )f (d).
d
n
dµ( ) = ϕ(n).
d
card
où
dn
est l'écart
dn
dn
≤ 1 ≤ lim
.
ln(n)
ln(n)
ϕ(p) = p − 1.
ϕ(n)
= 1.
n
on considère la fonction dénie par
entiers premiers distints; et
1) Calculer
Soient
n ≥ 1,
lim
p≥2
pn+1 − pn .
x
ln(x)
comme
12
Exercices Arithmétique.
R+ .
d) L'ensemble des quotients de deux nombres premiers est dense dans
pourra montrer que pour tout
α > 0,
on peut trouver une suite croissante d'entiers
pas strictement croissante a priori !) telle que
Exercice 5.25
1 ≤ k ≤ p,
on a
a1 , . . . , a p
(nj )j
(mais
pnj ∼ αj .
m1 , . . . , mp
Résoudre le problème chinois généralisé: soient
entre eux deux à deux. Soient
Indication: on
des entiers premiers
x tels que,
des entiers. Trouver tous les entiers
pour tout
x ≡ ak [mk ].
{a1 b1 M1 + . . . + ak bk Mk + N M | N ∈ Z},
Mi modulo mi .
Indication : montrer que l'ensemble des solutions est
où
Mi =
Y
mj ; M =
Y
mj
bi
et
est l'inverse de
j
j6=i
Exercice 5.26
x̄
(Examen 2007). Dans tout le sujet, la notation
désigne la classe de
x
dans
l'ensemble quotient considéré.
I] Soit
p
un nombre premier impair. On se place dans
On considère
S
l'ensemble des racines du polynôme
S est inférieur à d.
2
K = a | a ∈ Z/pZ est
Z/pZ.
X d − 1̄.
On notera
d=
p−1
·
2
On rappelle qu'en raison du degré,
le cardinal de
Enn
Z/pZ.
1)a) Montrer que l'application χ : 0, . . . , d → K , qui à un entier x
p+1
·
b) En déduire que card(K) =
2
2) Montrer que K \ {0̄} ⊂ S . En déduire que K = {0̄} ∪ S .
3) Montrer que
−1
est un carré dans
II] On introduit l'ensemble
que l'ensemble
E
l'ensemble des carrés dans
E
Z/pZ
si et seulement si
associe
x̄2 ,
est bijective.
p ≡ 1[4].
des nombres premiers congrus à
1
modulo
4.
On veut montrer
est inni.
On suppose qu'il est ni et on note
1) Justier l'existence de
n = max E ,
puis on dénit
n.
2) Montrer qu'il existe un nombre premier impair
3) Montrer que
N = (n!)2 + 1.
p
divisant
N.
p ∈ E.
4) Conclure.
Exercice 5.27
Résoudre le système suivant :
Exercice 5.28
(mod 15)
(mod 28)
On se propose de montrer qu'il existe une innité de nombres premiers con-
grus à 3 modulo 4.
{p
x≡2
x≡8
premier tel que
Par l'absurde on suppose qu'il y en a un nombre ni et on pose
p ≡ 3 (mod 4)}.
Posons
N =4
Q
A =
p∈A p − 1.
1) Montrer que A est non vide.
2) Montrer que
N ≡ 3 (mod 4)
et
N 6∈ A.
3) Montrer que les facteurs premiers de N sont congrus à 1 ou 3 modulo 4.
peuvent pas tous être congrus à 1 modulo 4.
4) Conclure.
Justier qu'ils ne
13
Exercices Arithmétique.
Exercice 5.29
On se propose de montrer qu'il existe une innité de nombres premiers congrus à
5 modulo 6. Par l'absurde, on suppose qu'il y en a un nombre ni et on pose
A = {p
premiers
,p≡
5[6]}.
A est non vide.
A = {p1 , .., pr } avec r ≥ 1.
1) Montrer que
On note donc
q
N = (6p1 ..pr ) − 1.
N ≡ 5[6].
2a) Montrer que
2b) Soit
Posons
un nombre premier divisant
N,
montrer que
q
est congru à 1 ou 5 modulo 6.
N
2c) Montrer qu'il existe au moins un diviseur premier de
congru à 5 modulo 6.
3) Conclure.
Exercice 5.30
Soit
m
Soit
p
un nombre premier. On a vu que
xp−1 = 1̄
pour tout
x ∈ Z/pZ,
non nul.
un entier.
p−1
xm .
1) Montrer que, si
X
2) Calculer
m
ne divise pas
alors il existe
a ∈ Z/pZ
tel que
am ∈
/ {0̄, 1̄}.
x∈Z/pZ
Exercice 5.31
Pour
n ∈ N,
1) On suppose dans cette question
1a) Montrer que
(Fn − 1)2
n
Fn = 22 + 1.
que 0 ≤ n < m.
on pose
m−n
= Fm − 1.
1b) En déduire l'existence d'un entier relatif
v
tel que
Fm + v × Fn = 2.
1c) Montrer que Pgcd(Fm ,Fn )=1.
2) Retrouver à l'aide de la question
Exercice 5.32
Soit
n≥1
1)
l'existence d'une innité de nombres premiers.
un entier.
On dénit le polynôme cyclotomique
Φd (X) =
Y
X −e
2ikπ
d
.
1≤k≤d
k∧d=1
Montrer que
Xn − 1 =
Y
Φd .
d|n
Exercice 5.33
Nombres de Carmichaël.
on a pour tout entier
a: n
divise
an − a.
Le (petit) théorème de Fermat arme que si
On appelle nombre de Carmichaël un entier
n premier,
n ayant la
même propriété. On qualie cet entier de menteur de Fermat si de plus cet entier n'est pas un
nombre premier: ainsi
561
est un menteur de Fermat. On peut le vérier avec le critère suivant
que l'on se propose de démontrer.
I] On va démontrer le
n
théorème de Korselt: n
est un nombre de Carmichaël si et seulement si
est sans facteur carré et pour tout diviseur premier de
1) Soit
n
n, p − 1
n − 1.
premier p
divise
est un nombre de Carmichaël. On considère un nombre
n
2
a)i) Justier que (p + 1) ≡ 1[p ].
2
ii) En déduire que p ne divise pas n. Indication: remarquer que (p
b)i) Soit
qui divise
n.
+ 1)n ≡ p + 1[n].
a ≥ 2.
an−1 ≡ 1[p] pour tout entier 1 ≤ a ≤ p − 1.
ii) Montrer que p − 1 divise n − 1. Indication: faire la division euclidienne.
2) Réciproquement: On suppose que n = p1 . . . pr , où les pi sont tous distincts
n
i) Montrer que pour tout a ∈ Z, a ≡ a [pi ].
i) Justier que
et
r ≥ 2.
ii) Conclure.
II] Montrer que les menteurs de Fermat ont au moins trois facteurs premiers distincts.