Cube de résistances - Solution

Cube de résistances - Solution du problème
Le problème consistait à calculer la résistance R entre les sommets A et G d'un cube formé de
12 résistances de même valeur r = 6 Ω (voir la figure ci-dessous).
Solution
Appliquons une tension U entre les sommets A et G du cube. Etant donné la symétrie du
circuit par rapport à l'axe AG, le courant total I se subdivise en 3 parties égales dans les
branches AB, AE et AD; soit i la valeur du courant dans l'une de ces branches. Pour la même
raison, les courants dans les branches FG, CG et HG sont aussi égaux à i. Le courant i dans la
branche AB se répartit à parts égales (toujours pour une question de symétrie) dans les
branches BF et BC; il en va de même pour les courants dans les branches AE et AD.
On peut alors écrire:
U = U HG + U DH + U AD
Soit:
U = r *i + r *
Par ailleurs:
U = R * I = R * 3i
5
i
+ r *i = r *i
2
2
(1)
(2)
En comparant les équations (1) et (2), on obtient 3R =
5
r , soit
2
5
R= r.
6
En particulier, pour r = 6 Ω, on obtient R = 5 Ω.
I
A
i
i
i
r
B
i/2
i/2
r
r
r
r
i/2
U
i/2
r
F
E
i/2
D
i/2
r
C
r
r
r
r
i
r
H
i
i
G
La symétrie du problème permet de déterminer facilement les courants dans les différentes
branches du cube.
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