Cube de résistances - Solution

Cube de résistances - Solution du problème
Le problème consistait à calculer la résistance R entre les sommets A et G d'un cube formé de
12 résistances de même valeur r = 6 Ω (voir la figure ci-dessous).
Solution
Appliquons une tension U entre les sommets A et G du cube. Etant donné la symétrie du
circuit par rapport à l'axe AG, le courant total I se subdivise en 3 parties égales dans les
branches AB, AE et AD; soit i la valeur du courant dans l'une de ces branches. Pour la même
raison, les courants dans les branches FG, CG et HG sont aussi égaux à i. Le courant i dans la
branche AB se répartit à parts égales (toujours pour une question de symétrie) dans les
branches BF et BC; il en va de même pour les courants dans les branches AE et AD.
On peut alors écrire:
ADDHHG
UUUU ++=
Soit: iri
i
i*
2
5
*r
2
*r*rU =++= (1)
Par ailleurs: iRIR 3**U
=
=
(2)
En comparant les équations (1) et (2), on obtient rR
2
5
3=, soit rR
6
5
= .
En particulier, pour r = 6 Ω , on obtient R = 5 Ω .
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A
D
B
C
H
F
E
G
r
r
r r
r r
r
r
r
r r
r
i
i
i
i
i
i
i
/2
i
/2
i
/2
i
/2
i
/2
i
/2
U
I
L
a symétrie du problème permet de déterminer facilement les courants dans les différentes
branches du cube.