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Cours de Probabilités - MDI 104
P. Bianchi, L. Decreusefond, G. Fort, J. Najim
6 novembre 2012

Table des matières
1 Evénements 8
1.1 Définitions.................................... 8
1.2 Probabilités sur un espace discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Exercices..................................... 18
2 Variables aléatoires discrètes 22
2.1 Loi d’une variable discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Indépendance des v.a. discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Espérance,moments .............................. 26
2.4 Fonction génératrice d’une v.a. à valeurs entières . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Exercices..................................... 35
3 Eléments de théorie de la mesure 43
3.1 Introduction................................... 43
3.2 Tribus ...................................... 44
3.3 Mesures ..................................... 47
3.4 Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Exercices..................................... 57
4 Intégration 60
4.1 L’intégrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Propriétés .................................... 62
4.3 Exemple : cas des mesures discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Espaces produit et théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
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TABLE DES MATIÈRES 2
5 Variables et vecteurs aléatoires réels 69
5.1 Généralités ................................... 69
5.2 Variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Vecteursaléatoires ............................... 79
5.4 Changementdevariable ............................ 83
5.5 Exercices..................................... 85
6 Fonction caractéristique 101
6.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2 Fonctions caractéristiques de v.a. usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 Caractérisation de la loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4 Caractérisation de l’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.5 Calculdemoments ............................... 107
6.6 Exercices..................................... 111
7 Vecteurs gaussiens 112
7.1 Préliminaires .................................. 112
7.2 Vecteurs gaussiens : définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.3 Caractérisation de l’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.4 Stabilité par transformation affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.5 Somme de vecteurs gaussiens indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.6 La loi d’un vecteur gaussien admet-elle une densité ? . . . . . . . . . . . . . 118
7.7 Exercices..................................... 120
8 Convergences 122
8.1 Loidesgrandsnombres............................. 122
8.2 Limitécentrée.................................. 122
8.3 Exercices..................................... 124
A Ensembles 125
A.1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.2 Espaces d’états dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.3 Dénombrement ................................. 128

TABLE DES MATIÈRES 3
B Notions d’analyse utiles 130
B.1 Limite supérieure et limite inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B.2 Séries....................................... 132
B.3 Convexité .................................... 133
C Approfondissements 136
C.1 Existence de suites de v.a. indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Note
L’astérisque ∗signale une partie (paragraphe, remarque ou preuve) qui va au delà des
connaissances exigibles et qui peut être omise en première lecture.
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