Introduction `a la fonctorialité de Langlands

Introduction `a la fonctorialit´e de
Langlands
J.-P. Labesse
Institut Math´ematique de Luminy
UMR 6206
1 Introduction
La fonctorialit´e de Langlands, appel´ee aussi th´eorie ou encore philosophie
de Langlands, est un ensemble de conjectures formul´ees pour la premi`ere fois
dans une lettre manuscrite `a Andr´e Weil en 1967. Cette lettre, dont on peut
trouver le fac-simil´e sur le web :
http ://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/functoriality.html
jette les bases d’une th´eorie qui n’a cess´e de s’enrichir et se pr´eciser depuis.
Langlands y propose un ensemble de conjectures qui g´en´eralise plusieurs
conjectures plus anciennes sur les fonctions Ld’Artin et de Hasse-Weil. Il
conjecture l’existence de nouvelles fonctions Lattach´ees aux repr´esentations
automorphes, g´en´eralisant les fonctions Lde Hecke pour les formes modu-
laires, poss`edant un prolongement m´eromorphe et une ´equation fonctionnelle
et il conjecture que les fonctions Lcit´ees plus haut sont toutes attach´ees `a des
repr´esentations automorphes. De plus Langlands pr´edit l’existence de “fonc-
torialit´es” c’est-`a-dire de correspondances entre repr´esentations automorphes
pour des groupes diff´erents.
Depuis 1967 de nombreux cas de fonctorialit´e ont ´et´e ´etablis ; mais beau-
coup reste `a faire ! Nous tenterons de donner une id´ee de la probl´ematique et
de quelques r´esultats.
La philosophie de Langlands utilise syst´ematiquement le langage des
ad`eles. Nous allons les introduire maintenant en nous limitant aux corps
de nombres. L’adaptation de ce qui suit au cas des corps de fonctions est
laiss´e au lecteur.
1

2 Ad`eles, groupe de Weil et corps de classe 2
2 Ad`eles, groupe de Weil et corps de classe
Les ad`eles ont ´et´es introduits par Chevalley pour reformuler la th´eorie du
corps de classe. Ceci `a permis `a Weil de construire le groupe qui porte son
nom. On en trouvera par exemple un expos´e dans les notes d’Artin-Tate ; il
convient aussi de lire la th`ese de Tate, ainsi d’ailleurs que le reste du livre de
Cassels et Fr¨ohlich et on ne saurait trop recommander la lecture du tr`es bel
expos´e de Tate `a Corvallis.
De fait on obtient ainsi une formulation de la th´eorie du corps de calsse
beaucoup plus agr´eable, rappel´ee ci-dessous, qui se r´ev`ele mˆeme incontour-
nable pour sa g´en´eralisation par Langlands ; on peut dire que la th´eorie du
corps de classe dans le langage ad`elique est la th´eorie de Langlands pour
GL(1).
2.1 Ad`eles et id`eles
Soit Fun corps de nombres c’est-`a-dire une extension finie de Q.
Consid´erons tout d’abord le cas F=Q. On introduit l’anneau compact
Z= lim
←−
Z/nZ
compl´etion profinie de l’anneau des entiers et pour tout nombre premier p
Zp= lim
←−
Z/pmZ
l’anneau des entiers p-adiques. Le th´eor`eme chinois fournit l’´egalit´e :
Z=Y
p
Zp.
L’anneau des ad`eles finis Afde Qest obtenu en inversant les entiers dans Z
Af=Q⊗ZZ= lim
←−
n
Q/nZ
et l’anneau des ad`eles est le produit
A=R×Af.
C’est un anneau commutatif localement compact ; c’est le “produit restreint”
des compl´etions Qplorsque pest un nombre premier et Q∞=R, relativement

2 Ad`eles, groupe de Weil et corps de classe 3
aux sous-anneaux compacts Zpdes entiers p-adiques i.e. :
A= lim
−→
S
ASavec AS=R×Y
p∈Sf
QpY
p/∈S
Zp
o`u S={∞} ∪ Sfet Sfparcourt les ensembles finis de nombres premiers.
Le groupe ab´elien Afest son propre dual de Pontryagin ; ceci r´esulte de
l’isomorphisme
Af= lim
←−
Q/nZ= lim
←− lim −→
1
mZ/nZ.
Pour voir que Aest auto-dual il suffit d’observer que Rest auto-dual.
Soit Fun corps de nombres. L’anneau des ad`eles of Fest le produit
tensoriel
AF=F⊗QA=F⊗Z(R×Z).
C’est un produit restreint de corps locaux :
AF= lim
−→
SY
v∈S
FvY
v /∈S
Ov.
Le corps Fs’injecte dans AFavec image discr`ete et quotient compact. De
plus AF/F est le dual de Pontryagin du groupe discret F. la suite exacte
0→F→AF→AF/F →0
est auto-duale.
Le sch´ema en groupe multiplicatif Gmest d´efini par l’equation xy = 1.
Le groupe multiplicatif
A×
F=Gm(AF)
est appel´e groupe des id`eles de F. On voit que F×s’injecte dans A×
Favec
image discr`ete. Pour toute place vde Fon dispose d’une valeur absolue | |v.
Pour x= (xv)∈A×
Fon a |xv|v= 1 pour presque toute place vce qui permet
de d´efinir
|x|=Y
v
|xv|v
et x7→ log |x|d´efinit un homomorphisme surjectif
A×
F→R.
On note A1
Fson noyau. La formule du produit montre que F×est un sous-
groupe discret A1
F.

2 Ad`eles, groupe de Weil et corps de classe 4
Th´eor`eme 2.1: Le quotient A1
F/F ×est compact.
Preuve: Consid´erons le cas F=Q. Il est facile de voir que
A×=Q×.(R××Z×)
et donc l’application
Z×→A1/Q×
est surjective de noyau ±1. Pour le cas general on renvoie le lecteur `a la
litt´erature.
2.2 Corps de classe et groupe de Weil
Soit Fun corps local ou global. On pose
CF=(F×si F est local
CF=F×\A×
Fsi F est global
Soit maintenant E/F une extension galoisienne de degr´e n. La th´eorie du
corps de classe fournit un isomorphisme
CF/NE/F CE→Gal(E/F )ab
entre le quotient CF/NE/F CEo`u NE/F est la norme et le groupe de Galois
ab´elianis´e Gal(E/F )ab . La formulation cohomologique de la th´eorie du corps
de classe fournit les deux assertions suivantes :
H2(Gal(E/F ), CE) = 1 et H2(Gal(E/F ), CE)'1
nZ/Z
On appelle classe fondamentale l’´el´ement uE/F ∈H2(Gal(E/F ), CE) qui
s’envoie sur 1/n par l’isomorphisme ci-dessus. Le groupe de Weil WE/F est
par d´efinition l’extension
1→CE→WE/F →Gal(E/F )→1
associ´ee `a la classe fondamentale uE/F . Son ab´elianis´e n’est autre que CFet
on retrouve l’isomorphisme classique de la th´eorie du corps de classe. Par

2 Ad`eles, groupe de Weil et corps de classe 5
passage `a la limite projective (pour des applications de transition dont la
d´efinition est laiss´ee en exercice au lecteur) on d´efinit le groupe de Weil
absolu.
Il est facile, et utile, de d´ecrire le groupe de Weil absolu dans le cas o`u F
est local.
Pour F=Con a WC=C×
Pour F=Rle groupe WR=WC/Rpeut se repr´esenter comme le groupe
de matrices de la forme
z0
0zou 0−z z0avec z∈C×
c’est le sous groupe des matrices diagonales ou anti-diagonales dans le groupe
multiplicatif des quaternions de Hamilton.
Pour Flocal non-archim´edien de corps r´esiduel Fq, le groupe de Galois
absolu vit dans la suite exacte
1→IF→Gal(F /F )→Gal(Fq/Fq)→1
On rappelle que
Gal(Fq/Fq)'Z
avec pour g´en´erateur topologique l’automorphisme de Frobenius :
Frq:x7→ xq
Le groupe de Weil WFs’identifie avec l’image r´eciproque de Zdans le sous-
groupe du groupe de Galois absolu Gal(F /F ) et on a donc une suite exacte
1→IF→WF→FrZ
q→1
on munit WFde la topologie qui rend le groupe d’inertie IFouvert compact.
L’isomorphisme de la th´eorie du corps de classe se reformule comme suit
au moyen du groupe de Weil absolu :
Th´eor`eme 2.2: Soit Fun corps local ou global l’application
Wab
F→CF
est un isomorphisme.