3. Corps des fractions - UTC

3. Corps des fractions
1Objectif
2Construction du corps des fractions
3Propri´et´e universelle de (Frac(A), j)

1. Objectif
Soit un anneau (A, +,0,∗, e)commutatif.
On souhaite construire un inverse pour tout ´el´ement non nul de A. Il s’agit
donc de construire une extension (K, j)de Aavec Kun corps, i.e.
j:A→Kun morphisme d’anneau injectif :
Aj//K
Condition n´ecessaire : Adoit ˆetre int`egre
Aj//K=⇒Aanneau int`egre
D´emonstration : ∀x, x0∈A,
x∗x0= 0 =⇒j(x)∗j(x0) = 0 =⇒j(x) = 0 ou j(x0) = 0
=⇒x= 0 ou x0= 0par injectivit´e de j
∀x, x0∈A, x∗x0= 0 =⇒j(x)∗j(x0) = 0 =⇒j(x) = 0 ou j(x0) = 0

2. Construction du corps des fractions
Soit un anneau (A, +,0,∗, e)commutatif int`egre.
•D´efinissons une relation sur A×A\ {0}par
(a, b)R(a0, b0)d´ef ⇐⇒ a∗b0=b∗a0
Exercice : Rest une relation d’´equivalence sur A×A\ {0}.
O`u interviennent la commutativit´e et l’int´egrit´e A?
•On consid`ere l’ensemble quotient :
Frac(A)d´ef =A×A\ {0}/R
La classe de (a, b)∈A×A\ {0}sera not´ee a
b∈Frac(A), ainsi :
a
b=a0 b0⇐⇒ a∗b0=b∗a0

Construction du corps des fractions (2)
•D´efinissons sur Frac(A)deux op´erations :
+: Frac(A)×Frac(A)−→ Frac(A)
a
b,a0 b07−→ a b+a0 b0
d´ef
=a∗b0+a0∗b
b∗b0
∗: Frac(A)×Frac(A)−→ Frac(A)
a
b,a0 b07−→ a b∗a0 b0
d´ef
=a∗a0
b∗b0
Exercices :
1Montrer que ces d´efinitions sont licites, i.e.
a
b=c det a0 b0=c0 d0=⇒
a∗b0+a0∗b
b∗b0=c∗d0+c0∗d d∗d0
et a∗a0
b∗b0=c∗c0 d∗d0
20d´ef =0
1(resp. 1d´ef
=1
1) est neutre pour +(resp. ∗).

Construction du corps des fractions (3)
Th´eor`eme
Soit (A, +,0,∗, e)un anneau commutatif int`egre.
(Frac(A),+,0,∗,1) est un corps commutatif appel´e corps des fractions de
A, et
j:A−→ Frac(A)
a7−→ j(a)d´ef =a
1
notation
=a
est un morphisme d’anneau injectif.
D´emonstration : en exercice, et en particulier :
∀a
b∈Frac(A),a b6= 0 =⇒a b−1
=b
a
Exemple : d´ef = Frac( )