quelques fonctions "pathologiques" ou presque

QUELQUES FONCTIONS "PATHOLOGIQUES" OU PRESQUE !
"Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui
n’ont pas de dérivée " Lettre de Hermite à Stieljtes, 20 mai 1893.
"La logique parfois engendre des monstres. Depuis un demi-siècle on a vu surgir une foule
de fonctions bizarres qui semblent s’efforcer de ressembler aussi peu que possible aux honnêtes
fonctions qui servent à quelque chose. Plus de continuité, ou bien de la continuité, mais pas de
dérivées, etc...Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c’était en vue de quelque but
pratique ; aujourd’hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos
pères, et on n’en tirera jamais que cela. " Henri Poincaré, Science et méthode/Livre II, 1908
Définition 1. Une fonction fest dite "pathologique" si elle a déstabilisé plus d’un mathémati-
cien et qu’elle a joué un rôle essentiel dans l’histoire des mathématiques !
Question 1. Existe-t-il une fonction partout discontinue sur R, sauf en x= 0 ?
Réponse. Certainement une des premières, découverte par Dirichlet vers 1829 [1, sect III.1],
appelée la fonction caractéristique de Q, (notée généralement χQ) est
f:x→1si xest rationnel
0sinon
Graphiquement, elle ressemble à un nuage unidimensionnel de points particulièrement dense en
y= 1 et un brouillard unidimensionnel encore plus dense en y= 0.
Question 2. Existe-t-il une fonction continue "presque partout" (en tout point irrationnel) et
discontinue sur tout rationnel de l’intervalle ]0; 1[ ?
Réponse. Aussi étrange que cela puisse paraître, oui !
f:x→0si xest irrationnel
1
qsi x=p qest irréductible
Graphiquement, elle ressemble à un nuage triangulaire de points, particulièrement dense en y= 0,
symétrique par rapport l’axe x= 1/2où l’on a un sommet en (1/2; 1/2).
Question 3. Existe-t-il une fonction discontinue sur R?mais dérivable en un seul point x= 0 ?
Réponse. En "jouant" avec la pénultième fonction on obtient
f:x→x2si xest rationnel
0sinon
Graphiquement, elle ressemble à un nuage parabolique de points et un brouillard encore plus dense
et unidimensionnel en y= 0.
Question 4. Existe-t-il une fonction continue sur Rmais nulle part dérivable ?
Réponse. En 1861, Bernhard Riemann fut le premier 1à donner un exemple de fonction conti-
nue et dont l’ensemble des points non différentiables est de mesure nulle. Puis, en 1872, Karl
Weierstrass donna toute une famille de fonctions continues et nulle part dérivables. L’exemple
ci-dessous, plus élémentaire a été trouvé par John McCarthy, publié en 1953 (dans American
Mathematical Monthly, Vol. LX, No. 10, December 1953). Il est nécessaire de prolonger par
périodicité la fonction gsur tout Ren posant g(x) = g(x+ 4).
fn(x) :=
∞
X
k=1
1
2kg(22kx)où g:x→1 + xpour x∈[−2; 0]
1−xpour x∈[0; 2]
1. Erratum ! D’après la thèse de Johan Thim, Continuous Nowhere Differentiable Functions, Luleå,
2003, il y aurait d’abord le tchèque, Bernard Bolzano (vers 1830), puis le mathématicien suisse, Charles
Cellérier vers 1860, qui ont donné des exemples de fonctions continues et nulle part dérivables.
1

2 QUELQUES FONCTIONS "PATHOLOGIQUES" OU PRESQUE !
Le graphique provient de Wikipedia : http ://fr.wikipedia.org
Autre caractéristique : la longueur de la courbe entre deux points (a;f(a)) et (b;f(b)) quelconques
est infinie, en revanche l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est bornée.
Il semble même raisonnable d’imaginer que la propriété précédente pourrait caractériser ces
fonctions.
Conjecture 1. Une fonction continue fest partout non différentiable si et seulement si la
distance le long de la courbe entre (a;f(a)) et (b;f(b)) est toujours infinie, indépendament des
points aet bchoisis.
Alors qu’inversement, si l’on imagine des projections continues "raisonnables" localement, il
semblerait qu’alors l’on obtienne une courbe lisse ....
Conjecture 2. Une courbe C:= (f(t); g(t)) est différentiable si et seulement si fet gsont
continues et localement croissantes ou décroissantes.
Question 5. Existe-t-il une fonction f, infiniment dérivable sur tout R(ou C∞) dont le déve-
loppement de Taylor-Maclaurin converge, mais pas vers f?
Réponse (Cauchy, 1823).Oui, les dérivées de tous les ordres en 0 sont nulles de la fonction f
ci-dessous et pourtant la fn’est pas identiquement nulle !
f:x→e−1/x2x6= 0
0sinon
Pour le texte complet de Poincaré qui contient des réflexions remarquables sur l’enseignement
des mathématiques consulter :
http://fr.wikisource.org/wiki/Science_et_méthode/Livre_II,_§_II
Références
1. Hairer Ernst Wanner Gerhard, Analyse au fil de l’histoire, Springer Verlag.
C. Aebi, Collège Calvin, Genève, Suisse