Quelques aspects de la théorie des systèmes dynamiques
Une référence pour la théorie uniformément hyperbolique est:
J.C.Yoccoz, Introduction to Hyperbolic Dynamics, in Real
and Complex Dynamics (Hillerod, 1993), 265-291, NATO
Adv.Sci.Inst.Ser.C Math. Phys. Sci., 464, Klüwer Acad. Publ.,
Dordrecht,1995.
Jean-Christophe Yoccoz Quelques aspects de la théorie des systèmes dynamiques hyperboliques(1)
Automorphismes linéaires hyperboliques
Definition: Un automorphisme linéaire d’un espace vectoriel de
dimension finie est hyperbolique si aucune de ses valeurs propres
(complexes) n’est de module 1.
Plus généralement,une automorphisme linéaire d’un espace de
Banach est hyperbolique si son spectre ne rencontre pas le cercle
unité.
Dans le groupe des automorphismes linéaires d’un espace de
Banach, les automorphismes hyperboliques forment une partie
ouverte.
Proposition: Un automorphisme linéaire Td’un espace de Banach E
est hyperbolique ssi il existe une décomposition continue
E=Es⊕Euen sous-espaces fermés T-invariants et des constantes
C>0, λ∈(0,1)telles qu’on ait, pour tout n>0,
kTn
|Esk6Cλn,kT−n
|Euk6Cλn.
Remarque: Quitte à remplacer la norme de Epar une norme
équivalente, on peut prendre C=1 dans les inégalités précédentes.
Jean-Christophe Yoccoz Quelques aspects de la théorie des systèmes dynamiques hyperboliques(1)
Automorphismes linéaires hyperboliques
Definition: Un automorphisme linéaire d’un espace vectoriel de
dimension finie est hyperbolique si aucune de ses valeurs propres
(complexes) n’est de module 1.
Plus généralement,une automorphisme linéaire d’un espace de
Banach est hyperbolique si son spectre ne rencontre pas le cercle
unité.
Dans le groupe des automorphismes linéaires d’un espace de
Banach, les automorphismes hyperboliques forment une partie
ouverte.
Proposition: Un automorphisme linéaire Td’un espace de Banach E
est hyperbolique ssi il existe une décomposition continue
E=Es⊕Euen sous-espaces fermés T-invariants et des constantes
C>0, λ∈(0,1)telles qu’on ait, pour tout n>0,
kTn
|Esk6Cλn,kT−n
|Euk6Cλn.
Remarque: Quitte à remplacer la norme de Epar une norme
équivalente, on peut prendre C=1 dans les inégalités précédentes.
Jean-Christophe Yoccoz Quelques aspects de la théorie des systèmes dynamiques hyperboliques(1)
Automorphismes linéaires hyperboliques
Definition: Un automorphisme linéaire d’un espace vectoriel de
dimension finie est hyperbolique si aucune de ses valeurs propres
(complexes) n’est de module 1.
Plus généralement,une automorphisme linéaire d’un espace de
Banach est hyperbolique si son spectre ne rencontre pas le cercle
unité.
Dans le groupe des automorphismes linéaires d’un espace de
Banach, les automorphismes hyperboliques forment une partie
ouverte.
Proposition: Un automorphisme linéaire Td’un espace de Banach E
est hyperbolique ssi il existe une décomposition continue
E=Es⊕Euen sous-espaces fermés T-invariants et des constantes
C>0, λ∈(0,1)telles qu’on ait, pour tout n>0,
kTn
|Esk6Cλn,kT−n
|Euk6Cλn.
Remarque: Quitte à remplacer la norme de Epar une norme
équivalente, on peut prendre C=1 dans les inégalités précédentes.
Jean-Christophe Yoccoz Quelques aspects de la théorie des systèmes dynamiques hyperboliques(1)
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