turbomachines - energies hydraulique et eolienne

Deuxième année
Département Énergie & Fluides
Module EFS8AB
- TURBOMACHINES ENERGIES HYDRAULIQUE ET EOLIENNE
Mathieu Jenny
Année universitaire 2016 - 2017
Table des matières
Cours de turbomachines de Mathieu Jenny, ENSMN.
Introduction
1 Effets des forces d’inertie - Problématique de l’équilibrage
1.1
3
5
Cinétique des masses et inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.1
Distribution de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.2
Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.3
Résultante et moment cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.4
Tenseur d’inertie d’un solide indéformable : généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.5
Tenseur d’inertie : théorème de Huyghens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.6
Tenseurs d’inertie de solides homogènes de forme simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2
Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d’efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3
Problème de l’équilibrage d’un rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Pompes
2.1
17
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1
Résultats du cours de mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2
Pompes volumétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3
Configuration d’une turbopompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2
Triangle des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3
Principe de quantité de mouvement angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4
Notions de charge relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5
Caractéristique d’une pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.1
Caractéristique théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.2
Caractéristique réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.3
Bilan de rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6
Pompes à hélices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7
Problèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7.1
Point de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7.2
Hauteur d’aspiration et amorçage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.3
Groupement de pompes : série et parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.4
Cavitation - rudiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8
Étude dimensionnelle et similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9
NPSH (Net positive Suction Head) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 TD : Pompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.10.1 Répartion de pompes sur un oléoduc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2
TABLE DES MATIÈRES
2.10.2 Choix d’une pompe par similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10.3 Étude d’une pompe centrifuge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10.4 Étude d’une pompe multicellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10.5 Exemple d’utilisation du NPSH (R. Joulié, Mécanique des fluides appliquée)
3 Turbines hydrauliques
3.1
. . . . . 39
41
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1
Les turbines à action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2
Les turbines à réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2
Bilan d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3
Turbine à action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4
3.5
3.3.1
La turbine Pelton
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2
Turbine Crossflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.3
Non-Pelton wheel impulse turbine (Dental drill) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Turbines à réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1
Organes communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2
Triangle des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.3
Caractéristiques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.4
Diffuseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.5
Cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.6
Limite de la hauteur d’aspiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
TD : Turbines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5.1
Turbine Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5.2
Dental drill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5.3
Tourniquet hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.4
Étude d’une turbine Francis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.5
Turbine aux enchères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Notions théoriques sur les éoliennes
4.1
4.2
4.3
71
Le vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.1
Variation de la vitesse du vent dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.2
Les variations de vitesse de vent dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.3
Etude statistique du vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Notions d'aérodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.2
Actions de l'air sur l'aile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.3
Paramètres influant sur les Cz et Cx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Calcul aérodynamique d'une éolienne à axe horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.1
Théorie de Betz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.2
Effets de la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3.3
Prise en compte de l’élément de la pale d’hélice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.4
Corrections de Prandtl et de Glauert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.5
Dimensionnement optimal des pales pour une puissance maximale . . . . . . . . . . . 83
Bibliographie
85
Introduction
Ce document de cours-TD de
Turbomachines - Applications aux énergies hydraulique et éolienne
est destiné aux élèves de deuxième année de l’école nationale supérieure des Mines de Nancy ayant
choisi le département Énergie & Fluides. Il correspond au module EFS8AB. Une version pdf de ce
document est accessible sur
http://energie.mines-nancy.univ-lorraine.fr/2A/turbo2a.pdf .
Ce cours se situe évidemment dans la continuité du cours de mécanique des milieux continus
solides et fluides de première année (Plaut 2017b), et de celui de mécanique des fluides de deuxième
année (Plaut 2017a). Nous utilisons les mêmes notations : les caractères gras surmontés d’une barre
(exemple : v) désignent les vecteurs, les caractères gras surmontés de deux barres (exemple : D)
désignent les tenseurs d’ordre 2.
Pour échanger de l’énergie entre un fluide et un système mécanique, on utilise ce qu’on appelle
des machines à fluides. Ce sont souvent des machines tournantes ou turbomachines. Le transfert de
l’énergie de la machine vers le fluide se fait grâce à des pompes. La transformation inverse est faite
par des turbines. Ces dernières peuvent alors, soit transmettre directement l’énergie mécanique à
une autre machine à faire fonctionner, soit, à leur tour, échanger leur énergie mécanique avec un
alternateur pour la transformer en électricité. L’énergie des fluides provient soit de leur énergie
potentielle, dans le cas d’une chute d’eau et de l’énergie - renouvelable ! - hydraulique, soit de
leur énergie cinétique dans le cas des éoliennes, soit encore d’une source d’énergie thermique :
énergie nucléaire ou énergie de combustion. Les turbomachines sont donc en première ligne pour la
production d’énergie utilisable par la société que ce soit à des fins industrielles ou de consommation
domestique.
On présente dans le chapitre 1, rédigé par Emmanuel Plaut, la problématique de l’équilibrage
des machines tournantes. Les chapitres 2 à 3, rédigés par Mathieu Jenny, présentent les pompes
puis les turbines hydrauliques. Ces chapitres sont très largement inspirés du cours de Souhar
(2009–2010). On présentera les notions théoriques nécessaires au choix des turbomachines en fonction d’un cahier des charges et de leur intégration dans un circuit hydraulique. Le chapitre 4 est
une introduction aux éoliennes qui peuvent être considérées comme des turbines qui utilisent le
vent. Ce chapitre est une reprise de la présentation théorique du TP éolienne rédigé par Ophélie Caballina et Alexandre Labergue (cours ENSEM, 3A énergie). Un approfondissement sur les
éoliennes est proposé en troisième année du département E&F dans le module Advanced Fluid
Mechanics de Plaut & Peinke 2017.
4
Introduction
Les cinq premières séances de ce cours porteront sur les chapitres 1, 2 et 3. La sixième séance
sera consacrée à l’introduction aux éoliennes et au test écrit d’une heure environ. Le contrôle
portera sur les trois premiers chapitres.
La fin de ce module est consacrée au bureau d’études Hydroélectricité qui aura lieu pendant la
semaine départementale de mars 2017. Pendant cette journée, vous ferez l’étude de l’aménagement
d’un torrent de montagne. Le bureau d’études sera encadré par Quentin Morel, ingénieur développement - chef de projets à setec energy solutions. On passera à cette occasion en revue toutes les
problématiques de la petite hydraulique, de la ressource (hydrogéologie) jusqu’aux bilans économiques (retour sur investissement...). Les calculs et traitement de données se feront sous Excel, sur
les PC portables des élèves travaillant en binôme. Le travail effectué pendant le bureau d’étude
sera évalué à l’issu de la journée. L’évaluation de l’ensemble du module reposera sur la moyenne
du test écrit (coeff. 0.3) et de l’évaluation du bureau d’étude (coeff. 0.7).
Je remercie très vivement Emmanuel Plaut pour la rédaction du chapitre 1, complété utilement
par l’annexe A du cours de mécaniques des milieux continus solides et fluides de première année
(Plaut 2017b), Mohamed Souhar, professeur à l’ENSEM, chercheur au LEMTA, pour m’avoir
permis de reproduire en grande partie dans mes chapitres 2 et 3 son cours de turbomachines
et Ophélie Caballina, maı̂tre de conférences à l’ENSEM et au LEMTA, pour son cours sur les
éoliennes. Enfin, je remercie Quentin Morel pour le bureau d’étude qu’il propose et encadre à la
fin du module.
Nancy, le 7 février 2017.
Mathieu Jenny.
Chapitre 1
Effets des forces d’inertie sur les
turbomachines - Problématique de
l’équilibrage
Une machine à fluides tournante est un objet solide en interaction avec un ou plusieurs fluides
environnants, à qui elle communique ou de qui elle tire son énergie cinétique de rotation. Dans ce
chapitre on s’intéresse à un aspect important de la « mécanique des solides » qui constituent
des machines tournantes, à savoir l’effet de la force d’inertie centrifuge sur ces solides. On
montre d’après les équations (A.38) de (Plaut, 2017b) et (1.39) que, si ω est la vitesse (constante
dans le temps) de rotation angulaire de la turbomachine autour de l’axe fixe Oz, dans le référentiel
tournant lié à cette machine la force volumique d’inertie d’entraı̂nement centrifuge
fie = −ργ e
(1.1)
avec ρ le champ de masse volumique de la machine,
γ e = ωez ∧ (ωez ∧ OM)
(1.2)
le champ d’accélération d’entraı̂nement, M désignant le point de l’espace où ces champs sont
considérés. En utilisant un système de coordonnées cylindriques (r, θ, z) d’origine O et d’axe Oz,
on obtient
γ e = −ω 2 rer
=⇒
fie = ρω 2 rer
(1.3)
qui est d’autant plus grande que ω est grande. Cette force d’inertie va devoir être équilibrée par des
réactions de liaison des paliers qui supportent l’arbre de la machine. Minimiser la contribution
de cette force d’inertie à ces réactions de liaison est exactement le but de l’équilibrage des
rotors, que l’on présentera ci-après dans la cadre de la mécanique des solides indéformables.
Se préoccuper de la résistance des matériaux déformables constituant la machine tournante
aux contraintes internes engendrées par la force volumique (1.3) serait l’étape suivante, que nous
ne pourrons malheureusement pas aborder, faute de temps. Nous renvoyons le lecteur intéressé à
Géradin & Rixen (1996).
Un calcul d’ordre de grandeur montre l’importance des forces (1.3). Une turbine à vapeur de
centrale thermique ou nucléaire tourne, dans le cas d’un couplage avec alternateur à 2 pôles, à
6
Introduction
3000 tr/mn, ce qui donne, en unités SI,
ω = 3000
2π rad
= 314 rad/s .
60 s
Les pales de cette turbine étant de taille métrique, l’accélération d’entraı̂nement correspondante
est
γe ' (314 rad/s)2 1 m ' 98700 m/s2 ' 10000 g
avec g l’accélération de la pesanteur, qui constitue une référence...
Une approche scientifique du problème de l’équilibrage des rotors nécessite des bases en mécanique des solides indéformables ; c’est l’objet de ce chapitre que de les donner. On ne se limite
pas strictement aux notions qui seront utilisées pour l’équilibrage, de façon à fournir un document
de cours un peu étoffé, qui pourra être utile dans d’autres contextes 1 . L’équilibrage proprement
dit sera traité en TD, lors de l’étude du problème de la section 1.3.
Les notions de cinématique du solide, i. e. la composition des mouvements par changement
de référentiel, nécessaires à ce chapitre se trouvent dans l’annexe A du cours de mécanique des
milieux continus fluides et solides de première année (Plaut, 2017b).
1.1
Cinétique des masses et inertie
Les objets de la mécanique des solides sont pesants. On va définir et caractériser précisément
cette distribution de masse, notamment grâce à la notion de centre d’inertie. D’autre part
on peut noter qu’un solide indéformable possède, en vertu de la structure de champ de moments
de son champ de vitesse, 6 degrés de liberté : 3 degrés de liberté de translation et 3 degrés de
liberté de rotation. Il faut donc définir, pour caractériser précisément son mouvement autour d’un
point O de référence, sa quantité de mouvement de translation ou résultante cinétique 2 et sa
quantité de mouvement de rotation ou moment cinétique 3 . C’est ce que nous allons faire dans
cette section, en terminant par l’introduction du tenseur d’inertie, outil commode pour le calcul
du moment cinétique.
1.1.1
Distribution de masse
En général la masse est distribuée dans le volume de la machine considérée, volume que nous
noterons Ωt . La masse totale peut donc s’écrire
ZZZ
d3 m
m =
(1.4)
Ωt
avec
d3 m = ρ d3 x
(1.5)
l’élément de masse, d3 x étant l’élément de volume, ρ la masse volumique.
Dans certains cas on pourra modéliser une partie du système, très mince dans une ou deux directions, en considérant qu’elle est à distribution surfacique ou linéique de masse ; on remplacera
1. On ignore aussi volontairement le fait que certains, en fonction de leur classe préparatoire, ont déjà vu telle
ou telle notion ; cela ne leur fera pas de mal de « réviser »...
2. ‘Linear momentum’ en anglais.
3. ‘Angular momentum’ en anglais.
Introduction
7
l’intégrale triple dans des formules définissant des quantités extensives du type (1.4) par une intégrale double ou simple, l’élément de masse étant proportionnel à un élément de surface ou de
longueur. On pourra aussi considérer que certaines masses sont « ponctuelles » ; alors l’intégrale
sera une somme discrète.
1.1.2
Centre d’inertie
Le centre d’inertie du système est défini comme le point G barycentre de la distribution de
masse du système, tel que
ZZZ
OM d3 m .
∀O, mOG =
(1.6)
Ωt
1.1.3
Résultante et moment cinétiques
Dans le référentiel R0 où O est fixe, nous définissons la quantité de mouvement de translation
totale du système,
ZZZ
ZZZ
3
p(t) :=
˙
˙
OM(t)
d3 m = mOG(t)
.
v(M,t) d m =
Ωt
(1.7)
Ωt
La commutation de la dérivée par rapport au temps et de l’intégrale sur la distribution de masse,
ZZZ
p =
Ωt
dOM 3
d
d m =
dt
dt
ZZZ
OM d3 m ,
(1.8)
Ωt
résulte en fait de la conservation de la masse, et de la formule de transport d’une densité massique,
d
dt
ZZZ
e d3 m =
Ωt
ZZZ
Ωt
de 3
d m,
dt
(1.9)
démontrée dans la sous-section 3.1.3 de Plaut (2017b).
Comme on l’a expliqué au début de cette section, on doit aussi introduire la quantité de mouvement
de rotation du système par rapport à ce point O, soit
ZZZ
OM(t) ∧ v(M,t) d3 m
σ(O,t) :=
(1.10)
Ωt
En utilisant la relation de transitivité AM = OM − OA ainsi que la définition (1.7), on observe
que
∀O,A, σ(A,t) = σ(O,t) + p(t) ∧ OA
(1.11)
ce qui montre que σ est un champ de moments de résultante p. On désigne pour cette raison σ(O,t)
comme le moment cinétique du système par rapport au point O, et p(t) comme la résultante
cinétique du système.
8
1.1.4
Introduction
Tenseur d’inertie d’un solide indéformable : généralités
On se place toujours dans un référentiel R0 où un point O du solide S étudié est fixe. Si S
est un solide indéformable, on peut utiliser le fait que son champ de vitesse est un champ de
moments. La formule des champs de moments donne alors
v(M ∈ S,t) = v(O ∈ S,t) + ω ∧ OM(t) = ω ∧ OM(t) ,
(1.12)
ω = ω S/R0 (t)
(1.13)
avec
le vecteur vitesse de rotation instantanée de S dans R0 . Le produit OM ∧ v à intégrer pour obtenir
le moment cinétique (1.10) s’écrit donc
h
i
2
2
OM ∧ ω ∧ OM = OM ω − OM · ω OM = OM 1 − OM ⊗ OM · ω .
Introduisons le tenseur d’inertie de S par rapport au point O,
ZZZ
h
i
OM2 (t)1 − OM(t) ⊗ OM(t) d3 m .
I(O,t) =
(1.14)
Ωt
Ce tenseur d’inertie est de fait l’application linéaire qui, au vecteur vitesse de rotation instantanée
ω, associe le moment cinétique en O,
I(O,t) : R3 −→
ω
R3
7−→ σ(O,t) = I(O,t) · ω .
.
(1.15)
On a intérêt à expliciter ce tenseur dans un repère Oxyz lié à S, car il y aura des composantes
indépendantes du temps. En coordonnées cartésiennes, le vecteur OM étant repéré par
OM = xex + yey + zez ,
l’équation (1.14) s’explicite selon


I
I
I
xx
xy
xz
h
i


Mat I(O), ex ,ey ,ez
=  Ixy Iyy Iyz 
Ixz Iyz Izz
(1.16)
où apparaissent les moments d’inertie par rapport aux axes x, y, z,
ZZZ
ZZZ
ZZZ
2
2
3
2
2
3
Ixx =
(y + z ) d m ,
Iyy =
(z + x ) d m ,
Izz =
(x2 + y 2 ) d3 m ,
Ωt
Ωt
Ωt
(1.17)
et les produits d’inertie :
ZZZ
xy d3 m ,
Ixy = Iyx = −
Ωt
ZZZ
yz d3 m ,
Iyz = Izy = −
Z Z ZΩt
Izx = Ixz = −
Ωt
zx d3 m .
(1.18)
Introduction
9
On peut noter que
ZZZ
HM2 d3 m
Izz =
(1.19)
Ωt
avec H le projeté orthogonal de M sur l’axe Oz. Ainsi Izz est d’autant plus grand que la masse
de S est en moyenne loin de l’axe Oz. D’autre part Ixy > 0 (resp. < 0) indique qu’en moyenne la
masse de S est dans le demi-espace xy < 0 (resp. > 0) ; Ixy = 0 indique que la masse de S est
équirépartie entre les demi-espaces xy < 0 et xy > 0.
Le calcul des intégrales (1.17) et (1.18) ne pose pas de problèmes dans son principe ; des résultats
types seront donnés en sous-section 1.1.6. En pratique, dans le cas de solides de forme compliquée,
les logiciels de Conception Assistée par Ordinateur effectuent automatiquement et numériquement
tous ces calculs.
De manière générale, I(O,t) étant symétrique peut se diagonaliser dans une certaine base
orthonormée liée au solide S. Les axes Ox, Oy, Oz correspondants sont appelés axes principaux
d’inertie du solide, tandis que les éléments diagonaux correspondants Ixx , Iyy , Izz sont appelés
moments principaux d’inertie du solide.
Sans aller éventuellement jusqu’à cette diagonalisation complète, on a souvent intérêt à calculer
le tenseur d’inertie dans une base où le solide présente certaines symétries.
Par exemple, si le solide admet xOy comme plan de symétrie, on observe, en faisant le changement de variable z 7→ −z dans les intégrales, que
Ixz = Iyz = 0 .
Ceci prouve que l’axe Oz est axe principal d’inertie du solide ; alors les deux autres axes principaux
se trouvent forcément dans le plan xOy.
Si l’un des axes de base, par exemple Oz, est axe de symétrie du solide, alors le changement de
variable (x,y) 7→ (−x, − y) montre qu’on a aussi
Ixz = Iyz = 0 .
Là encore l’axe Oz est axe principal d’inertie.
Si Oz est axe de révolution on aboutit aux mêmes résultats. De plus, en faisant le changement
de variable (x,y) 7→ (−y,x) correspondant à une rotation de π/2, on montre que
Ixy = 0
et
Ixx = Iyy .
Ceci signifie que les axes Ox, Oy, Oz sont axes principaux d’inertie, et que les deux premiers
moments principaux d’inertie sont égaux.
1.1.5
Tenseur d’inertie : théorème de Huyghens
Afin d’examiner le lien entre les tenseurs d’inertie en deux points origines différents O et A,
insérons la relation de transitivité
OM = OA + AM
10
Introduction
dans le tenseur élémentaire à intégrer pour calculer I(O) équation (1.14). Il vient
OM2 1 − OM ⊗ OM =
OA2 + 2OA · AM + AM2 1
−
OA ⊗ OA + AM ⊗ OA + OA ⊗ AM + AM ⊗ AM .
On en déduit par intégration, et en utilisant l’équation (1.6) pour A à la place de O, la relation
h
i
2
I(O) = m OA + 2OA · AG 1 − OA ⊗ OA + AG ⊗ OA + OA ⊗ AG + I(A) .
(1.20)
Cette relation se simplifie remarquablement si A coı̈ncide avec le centre d’inertie G du solide ; on
aboutit alors au théorème de Huyghens :
I(O) = m OG2 1 − OG ⊗ OG + I(G)
(1.21)
Ce théorème, qui permet de déduire I en un point quelconque O de la connaissance de I(G), justifie
que l’on ne donne dans le formulaire de la section 1.1.6 que les valeurs de I(G).
1.1.6
Tenseurs d’inertie de solides homogènes de forme simple
Donnons les tenseurs d’inertie de solides homogènes de forme géométrique simple. Pour le
premier exemple ci-dessous, les calculs se font en coordonnées cartésiennes, avec lesquelles
OM = xex + yey + zez , d3 x = dx dy dz .
(1.22)
Un calcul préliminaire de la masse totale, selon l’équation (1.4), donne la valeur de ρ. On peut
alors calculer I(G) à partir de l’équation (1.14).
Exemple 1 : parallélépipède rectangle droit :
z
V = {(x,y,z) ∈ [−a,a] × [−b,b] × [−c,c]} , ρ =
2b
G
2c
y
2a
x
m
,
8abc


b2 + c2
0
0
i
h
m

Mat I(G), ex ,ey ,ez
=
c2 + a2
0  .
 0
3
0
0
a2 + b2
(1.23)
Pour les exemples 2 à 5 suivants, les calculs se font en coordonnées cylindriques, avec lesquelles
OM = r cos θ ex + sin θ ey + zez , d3 x = r dr dθ dz .
(1.24)
Introduction
11
Exemple 2 : cylindre creux de révolution :
z
V = {(r,θ,z) ∈ [a,b] × [0,2π] × [−h,h]} , ρ =
y 2h
G
x
2a
2b
a2 + b2 h2
+
 4
3

h
i

Mat I(G), ex ,ey ,ez
= m
0


0
2π(b2
m
,
− a2 )h


0
a2
+
4
b2
0
+
h2
3
0



.
0 


2
2
a +b
2
(1.25)
Exemple 3 : cylindre de révolution : ce cylindre plein peut être vu comme un cylindre creux
avec a = 0 :
z
V = {(r,θ,z) ∈ [0,b] × [0,2π] × [−h,h]} , ρ =
G
b2 h2
4 + 3

h
i

= m
Mat I(G), ex ,ey ,ez
0


0
m
,
2πb2 h

y 2h
x
2b

0
b2
4
+
0
h2
3
0


.
0


2
b
2
(1.26)
Exemple 4 : anneau torique :
z
a
G
2b
x
√
√
V = {(r,θ,z) ∈ [b− a2 − z 2 ,b+ a2 − z 2 ]×[0,2π]×[−a,a]} ,
m
ρ =
,
2π 2 a2 b
 2

5a
b2
0
0
 8 + 2



h
2
2
i


5a
b
Mat I(G), ex ,ey ,ez
= m
.
0
+
0


8
2


2
3a
0
0
+ b2
4
(1.27)
12
Introduction
Exemple 5 : cerceau :
Se déduit du précédent dans la limite a → 0, d’où
y
b2
2
h
i

= m
Mat I(G), ex ,ey ,ez
0

x
G
0
0
b2
2
0

0

 .
0
(1.28)
b2
2b
Pour les derniers exemples, les calculs se font en coordonnées sphériques, avec lesquelles
OM = r sin θ cos φ ex + sin φ ey + cos θez ,
d3 x = r2 sin θ dr dθ dφ .
(1.29)
Exemple 6 : sphère creuse :
z
b
V = {(r,θ,φ) ∈ [a,b] × [0,π] × [0,2π]} ,
3m
,
ρ =
4π(b3 − a3 )
2
b5 − a5
I(G) =
m 3
1.
5
b − a3
a
y
G
x
(1.30)
Exemple 7 : sphère :
Dans le cas a = 0 on obtient pour une sphère pleine de rayon b que
I(G) =
1.2
2
m b2 1 .
5
(1.31)
Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d’efforts
On se place dans un premier temps dans un référentiel R0 réputé galiléen, où les seules forces
agissant sur un système S sont les forces physiques :
• densité volumique de forces fvol agissant dans le volume Ωt , par exemple fvol = ρg
pour le poids, g étant le champ gravitationnel, fvol = ρe (E + v ∧ B) pour la force électromagnétique, ρe étant la densité volumique de charge, E le champ électrique, B le champ
magnétique ;
• densité surfacique de forces T agissant sur la frontière ∂Ωt de Ωt .
La première loi de Newton est la loi d’évolution de la résultante cinétique,
ṗ = Rext résultante des efforts extérieurs appliqués
ext
R
ZZZ
3
=
ZZ
fvol d x +
Ωt
∂Ωt
T d2 S .
(1.32)
(1.33)
Introduction
13
D’après les équations (1.7) et (1.9), on peut écrire la dérivée par rapport au temps de la quantité
de mouvement de deux façons différentes,
ZZZ
¨ .
ṗ =
γ R0 (M) d3 m = mOG
(1.34)
Ωt
La deuxième loi de Newton est la loi d’évolution du moment cinétique,
σ̇(O) = Γext (O) moment en O des efforts extérieurs appliqués
Γ
ext
ZZZ
3
ZZ
OM ∧ T d2 S .
OM ∧ fvol d x +
(O) =
Ωt
(1.35)
(1.36)
∂Ωt
D’après (1.9), la définition (1.10) et la formule (1.15), on peut écrire la dérivée par rapport au
temps du moment cinétique de deux façons différentes,
ZZZ
i
dh
σ̇(O) =
OM ∧ γ R0 (M) d3 m =
I(O) · ω S/R0 .
(1.37)
dt
Ωt
Il importe de constater que le champ de vecteurs Γext (O) présente une structure de champ de
moments, de résultante Rext :
∀A, O,
Γext (A) = Γext (O) + Rext ∧ OA = Γext (O) + AO ∧ Rext .
(1.38)
Ceci justifie le terme « moment des efforts » ; on parle aussi de « couples » appliqués pour désigner
des contributions à Γ.
Si maintenant on se place dans un référentiel non galiléen R dont le mouvement est connu
par rapport au référentiel absolu galiléen R0 , on peut injecter dans les membres de gauche des lois
de Newton, à savoir (1.34) et (1.37), la formule de composition des accélérations (??). On observe
que les lois de Newton restent valables dans le référentiel R à condition d’introduire des forces
d’inertie volumiques dans les membres de droite,
fi =
fie
|{z}
+
force d’inertie d’entrainement
1.3
= −ργ e − ργ c .
fic
|{z}
(1.39)
force d’inertie de Coriolis
Problème de l’équilibrage d’un rotor
On considère un rotor S solide indéformable, de masse totale m, comprenant un axe Oz en
rotation sur un chassis grâce à des liaisons pivots situées aux points P1 et P2 :
S
x
y
G
z
P1
P2
On choisit un repère de travail Oxyz lié au solide S, d’origine O = P1 . On a alors OP2 = lez .
D’autre part le centre de gravité G de S est repéré par OG = OH+HG avec H projeté orthogonal
14
Introduction
de G sur l’axe Oz, OH = cez , HG = aex + bey .
On s’intéresse au régime de rotation où la vitesse angulaire ω de S dans le référentiel absolu du
laboratoire R0 est constante. Dans ce référentiel, le rotor est soumis à des efforts au niveau des
liaisons pivots :
• le champ de forces exercé au niveau de la liaison P1 a une résultante égale à la réaction
de liaison R1 et un couple en P1 égal au couple de liaison Γ1 ;
• le champ de forces exercé au niveau de la liaison P2 a une résultante égale à la réaction
de liaison R2 et un couple en P2 égal au couple de liaison Γ2 .
D’autre part des efforts dûs à l’environnement, par exemple l’action de fluides, existent ; on
note Renv leur résultante, Γenv leur couple en O. Enfin l’action de la gravité terrestre constitue
une troisième source d’efforts.
La moitié des mini-groupes de TD traitera la question 1 ci-dessous par la voie a, l’autre moitié
par la voie b.
1 Explicitez les lois fondamentales de la dynamique de ce système
1.a soit dans le référentiel R0 du laboratoire,
1.b soit dans le référentiel R lié à S, donc en rotation par rapport à R0 avec le vecteur vitesse
instantanée de rotation ω = ωez .
Dans les deux cas faites intervenir les composantes Ixz et Iyz de la matrice représentant le tenseur
d’inertie I(O) de S dans la base tournante {ex ,ey ,ez }.
1.c On fait l’hypothèse que les liaisons pivots sont « parfaites » au sens où, en l’absence d’actions
dues à l’environnement, les couples de liaison Γ1 et Γ2 sont nuls. Observant d’autre part que le
système d’équations que l’on vient d’obtenir est linéaire vis-à-vis de tous les efforts appliqués, on
s’intéresse dans ce qui suit aux réactions de liaison R1 et R2 qui compensent seulement les termes
inertiels, dûs aux membres de gauche des équations de la dynamique (1.32) et (1.35) dans le calcul
de 1.a, ou aux forces d’inertie dans le calcul de 1.b. Montrez que ces réactions sont définies par le
système
R1 + R2 = ω 2 R ,
OP1 ∧ R1 + OP2 ∧ R2 = ω 2 S ,
(1.40)
en donnant la définition des vecteurs R et S tournants liés à S, qui ne dépendent que de la géométrie
de la distribution des masses de S. Proposez une interprétation physique expliquant l’origine et la
nature des termes −ω 2 R et −ω 2 S.
2.a Déterminez autant que possible les composantes de R1 et R2 , en notant qu’il demeure une
composante inconnue de liaison.
2.b Montrez que l’équilibrage complet du rotor, i.e. l’annulation des termes sources R et S dans
le système (1.40), revient aux conditions suivantes :
• condition d’équilibrage statique : le vecteur « balourd » mHG = 0, i.e. a = b = 0,
i.e. le centre d’inertie G se trouve sur l’axe de rotation Oz ;
• condition d’équilibrage dynamique : les moments d’inertie Ixz = Iyz = 0, i.e. l’axe de
rotation Oz est axe principal d’inertie de S.
Introduction
15
Montrez en sus que la condition d’équilibrage statique revient à assurer que le terme de couple dû
au poids, OG ∧ mg, est effectivement statique au sens où il est indépendant du temps.
3 On désire équilibrer le rotor en disposant sur S une masse ponctuelle mα au point A de son
bord repéré par OA = xα ex + yα ey + zα ez et une autre masse ponctuelle mβ au point B de son
bord repéré par OB = xβ ex + yβ ey + zβ ez .
3.a Calculez les coordonnées a0 , b0 et c0 du centre de gravité G0 du système S 0 = S ainsi modifié,
et explicitez la condition d’équilibrage statique de S 0 .
0 et I 0 , du système S 0 , et explicitez la condition
3.b Calculez les produits d’inertie en O, Ixz
yz
d’équilibrage dynamique de S 0 .
3.c Pourquoi ne doit-on pas en général disposer les masses mα et mβ dans un même plan perpendiculaire à l’axe de rotation, d’équation z = constante ?
4 D’un point de vue pratique, comme on n’a pas accès directement à la position du centre d’inertie
ou aux moments d’inertie, on utilise la méthode des coefficients d’influence pour équilibrer
un rotor. Pour cela on caractérise quantitativement le déséquilibre du rotor, en régime de rotation
à vitesse angulaire constante ω, en mesurant dans le référentiel R0 une des composantes de R1 et
R2 grâce à deux capteurs de forces, placés en P1 et P2 , et orientés perpendiculairement à l’axe
de rotation. Si on appelle eX la direction de mesure de ces capteurs, on peut former une base fixe
dans R0 à l’aide des vecteurs
eX , eY , eZ
=
eX , ez ∧ eX , ez .
Dans cette base fixe la base liée au rotor ex , ey , ez est tournante, avec un angle de rotation
φ(t) :=
eX\
, ex (t)
= ωt ,
et on mesure donc
s1 (t) = R1 · eX grâce au capteur 1,
s2 (t) = R2 · eX grâce au capteur 2.
4.a En utilisant les résultats de la question 2.a, donnez l’expression générale de s1 et s2 . Montrez
que l’on peut associer naturellement à ces signaux temporels oscillants des amplitudes complexes
z1 et z2 dont on donnera l’expression. Vous introduirez enfin les amplitudes complexes normalisées
Z1 = z1 /ω 2 et Z2 = z2 /ω 2 .
Indication-commentaire : vous constaterez que la règle utilisée en traitement de signaux oscillants,
s(t) = sx cos(ωt) − sy sin(ωt) = Re[z exp(iωt)]
←→
amplitude z = sx + isy ,
se marie harmonieusement, ici, avec la règle utilisée en analyse complexe pour associer un complexe
à un vecteur.
4.b Quelles conditions doit-on réaliser pour équilibrer le rotor ?
4.c La stratégie proposée par la méthode des coefficients d’influence consiste à équilibrer le système
en positionant des masses à la périphérie de deux disques faisant partie de S, situés l’un en z = zα ,
16
Introduction
l’autre en z = zβ 6= zα . On repère la valeur de ces masses et leur position dans les plans de ces
disques par les « balourds »
bα = mα (xα + iyα ) , bβ = mβ (xβ + iyβ ) en notations complexes.
On commence par mesurer les amplitudes complexes normalisées Z1 et Z2 sur S tournant seul ; on
note les valeurs correspondantes Z10 et Z20 .
On arrête alors S, et on place mα en un point A du premier disque de S. On mesure - après retour
au régime de rotation permanent - les nouvelles valeurs Z1α et Z2α des amplitudes complexes
normalisées des signaux s1 et s2 . Montrez que l’on a alors
Z1α = Z10 + c1α bα , Z2α = Z20 + c2α bα
où l’on peut faire apparaı̂tre (i.e. mesurer pratiquement) des coefficients d’influence c1α et c2α dont
on donnera la valeur théorique.
On arrête à nouveau le système, on enlève mα , et on dispose mβ en un point B du deuxième disque
de S. On mesure ensuite les nouvelles valeurs Z1β et Z2β des amplitudes complexes normalisées des
signaux s1 et s2 . Montrez que l’on peut introduire des coefficients d’influence c1β et c2β de sorte
que
Z1β = Z10 + c1β bβ , Z2β = Z20 + c2β bβ .
Dans le cas général où on dispose mα en A point du premier disque et mβ en B point du deuxième
disque, montrez que les amplitudes vibratoires de s1 et s2 sont données par :
Z1αβ = Z10 + c1α bα + c1β bβ , Z2αβ = Z20 + c2α bα + c2β bβ .
Décrivez à partir de ces résultats une méthode pratique d’équilibrage.
Vous noterez que, d’un point de vue théorique, cette méthode fonctionne si la matrice des coefficients d’influence
!
c1α c1β
[C] =
c2α c2β
est inversible ; vous vérifierez théoriquement que cela est bien le cas.
5 En prenant un peu de recul par rapport à ce problème, on peut remarquer que l’on a privilégié
un point particulier O de l’axe de rotation dans tout le traitement. Montrez donc que si le rotor
S est équilibré vis à vis de O, alors il est équilibré vis à vis de tout autre point O0 de l’axe de
rotation.
Chapitre 2
Pompes
2.1
Introduction
Une pompe est une machine hydraulique qui permet d’augmenter la charge H d’un fluide
moyennant une puissance extérieure Pext > 0 fournie au fluide. Cette puissance est en général
fournie par un rotor en rotation.
2.1.1
Résultats du cours de mécanique des fluides
ω
S
s
S
v
e
s
v
e
Fig. 2.1 – Section d’une turbopompe.
On considère un tube de courant de fluide incompressible en régime permanent (figure 2.1). On
a donc la loi de conservation de la masse qui s’applique :
X
v.ndS = 0
⇒
qv = ve Se = vs Ss
(2.1)
δΩ
Le bilan énergétique dans un tube de courant qui contient une source (ou un puits) d’énergie
s’écrit en l’absence de perte de charge :
Pext = ρgqv (Hs − He )
(2.2)
avec les charges d’entrée He et de sortie Hs du tube de courant. On rappelle la définition de la
charge H (voir l’équation (1.33) du cours de mécanique des fluides Plaut 2017a) :
H=
p
hvi2
+z+α
ρg
2g
(2.3)
18
Introduction
p est la pression du fluide au point d’altitude z. La vitesse hvi désigne la vitesse débitante à travers
une surface S et α est le coefficient d’énergie cinétique qui sont définis par les relations (1.34) du
cours de mécanique des fluides Plaut 2017a. Si la puissance extérieure est échangée via un rotor
en rotation, alors elle peut s’exprimer comme :
Pext = Cext ω
(2.4)
ce qui fait intervenir le couple appliqué au rotor Cext et sa vitesse angulaire de rotation ω.
On appellera Hth = Hs − He > 0 la charge théorique atteinte lorsqu’il n’y a pas de perte dans
la pompe. D’après la définition de la charge, on en déduit que :
"
2 #
Se
ρ qv2
1−
ps − pe = ρgHth +
(2.5)
2
2 Se
Ss
En général dans une pompe, Se . Ss ce qui rend le deuxième terme négligeable. On a donc une
augmentation de pression à travers une pompe (∆p = ps − pe > 0).
Placée dans un circuit, une pompe peut-être considérée comme une singularité qui augmente
la charge.
Dans une turbopompe (en général hydromachines qui incluent les turbines), il n’y a aucun
organe d’étanchéité entre l’entrée et la sortie. On peut traverser la machine par un chemin continu
tracé dans le fluide. Il y a d’autres classes de pompes où ce n’est pas le cas, par exemple, les pompes
volumétriques.
2.1.2
Pompes volumétriques
piston
e
1
2
s
Fig. 2.2 – Schéma d’une pompe à piston (volumétrique). Clapet d’aspiration 1, clapet de refoulement 2.
— En phase d’aspiration, le clapet 1 est ouvert et le 2 fermé.
— En phase de refoulement, le clapet 1 est fermé et le 2 ouvert.
Dans ce cas l’entrée est déconnectée de la sortie et on ne peut pas passer par un chemin continu
entre les points e et s.
Il existe d’autres types de pompes volumétriques :
— pompes à palettes,
— pompes à engrenages,
— pompes à écrasement de tuyaux,
— ...
Introduction
19
air
q fluctuant
P
q presque constant
eau
Fig. 2.3 – Capacité pneumatique.
dont les principales caractéristiques sont un faible débit mais de grandes pressions de refoulement.
De plus, ces pompes conduisent à des débits fluctuants dans le temps, ce qui nécessite assez souvent
la mise en place de capacité pneumatique pour stabiliser le débit (figure 2.3).
Les machines volumétriques sont surtout utilisées comme organes de puissance (∆p grands) ou
commande de puissance.
2.1.3
Configuration d’une turbopompe
Il existe plusieurs technologies de pompes. On peut les classer en deux catégories principales :
les pompes volumétriques et les turbopompes. Les pompes volumétriques sont celles qui permettent
le saut de pression le plus important mais cela n’est vrai qu’avec des fluides incompressibles et cela
se fait en général au détriment du débit et de sa régularité. Enfin, du fait de l’étanchéité interne à
la pompe (le volume de fluide capturé ne doit pas pouvoir s’échapper), ce sont souvent des pompes
fragiles qui tolèrent mal les fluides chargés en particules solides et abrasives comme, par exemple,
du sable. C’est pourquoi les turbopompes sont très largement utilisées dans un contexte industriel.
Dans une turbopompe, le transfert d’énergie s’effectue entre le fluide et une roue mobile. La
théorie générale est la même quelque soit le sens de transfert (pompe ou turbine). On distingue :
— les machines à passage tangentiel, surtout pour la turbine Pelton où l’on peut encore raisonner en turbomachine car il existe des pompes à passage tangentiel, mais il est difficile
de les considérer comme des turbomachines.
qv
ω
— Les machines à passage radial (pompes centrifuges).
H
20
Introduction
Fig. 2.4 – Exemples de pompes volumétriques.
Introduction
21
sortie
entree
— Les machines à passage axial ou hélicoı̈dal (pompes à hélices).
ω
La disposition générale d’une turbomachine comporte :
— Une roue mobile où se fait le transfert d’énergie.
— Des dispositifs fixes (dans certains cas orientables) d’entrée - sortie destinés à amener ou à
évacuer le fluide en lui donnant une orientation convenable.
— La roue mobile est munie soit d’augets (généralement à l’air libre) soit d’aubes généralement
noyées dans le fluide.
2.2
Triangle des vitesses
Considérons une pompe centrifuge :
v
e
w
S2
u
M
M’
ω
r
R1
R1
S1
O
ω
R2
R2
b
Fig. 2.5 – Triangle de vitesse sur une roue de pompe centrifuge.
Soit un point M du rotor (aube), sa vitesse d’entrainement est u :
u = ω ∧ OM;
|u| = rω
(2.6)
avec w la vitesse relative du fluide telle que sur le rotor w.nrotor = 0. La vitesse absolue est donnée
par v = u + w. On définit l’angle β = (u, w) ce qui permet de dessiner le triangle des vitesses à
l’entrée et à la sortie.
22
Introduction
w1
v1
w2
vn1
β
S1
R1
n1
1
R ω
1
v2
β
S2
u1
R2
entree
vn2
2
R ω
2
n2
u2
sortie
Fig. 2.6 – Triangle des vitesses entrée et sortie
Le débit qv =
RR
S
v.ndS se conserve. Si n est le nombre d’aubes, on a donc :
qv = vn1 (2πR1 − ne1 )b1 = vn2 (2πR2 − ne2 )b2
(2.7)
avec ei l’épaisseur des aubes à l’entrée (1) et à la sortie (2).
On fait une hypothèse importante : le triangle des vitesses dans le fluide au point M’ situé
0
entre 2 aubes est le même au point M situé sur le rotor si |OM| = |OM |. En réalité ceci n’est pas
tout à fait exact et même en fluide parfait, de part et d’autre d’une aube, wintrados 6= wextrados .
De plus, comme les fluides sont visqueux, on a w(M ) = 0 (adhérence). Ainsi, la théorie qui suit
est une théorie approchée.
2.3
Principe de quantité de mouvement angulaire
Le principe de quantité de mouvement angulaire s’écrit :
ZZZ
ZZ
ZZZ
X
∂ d
OM ∧ (ρv)dV =
OM ∧ (ρv) dV +
OM ∧ (ρv) v.ndS =
Γext (O)
dt
∂t
V
S
V
(2.8)
On fait l’hypothèse que le régime est quasi-permanent, c’est-à-dire que ∂/∂t = 0. Considérons un
S
volume de contrôle fluide V limité par une surface fermée S = 6i=1 Si en pointillé sur la figure 2.7.
S2
n2
S5
S6
S3
S1
S4
M
O
Fig. 2.7 – Volume fluide de contrôle autour du rotor.
Calculons le terme
ZZ
OM ∧ (ρv) v.ndS
S
de la relation de conservation de quantité de mouvement 2.8.
Introduction
23
— Sur S5 et S6 , n5 = −n6 donc la contribution est nulle.
— Sur S3 et S4 , on a
ZZ
ZZ
ZZ
OM ∧ (ρv) v.ndS =
OM ∧ (ρv) u.ndS +
S3 ∪S4
S3
OM ∧ (ρv) u.ndS
S4
(2.9)
car v = u + w et w.n = 0. De plus, si l’on fait l’hypothèse que l’aube est de faible épaiseur,
alors, u3 = u4 , w3 ' w4 ⇒ v3 ' v4 et n3 ' −n4 . On en déduit que
ZZ
OM ∧ (ρv) v.ndS ' 0
(2.10)
S3 ∪S4
— Enfin, on trouve :
ZZ
OM ∧ (ρv) v.ndS =
ZZ
OM ∧ (ρv) v.ndS
(2.11)
S1 ∪S2
S
Calculons maintenant le terme
X
ext
Γ
ZZ
OM ∧ t(M )dS
(O) =
S
de l’équation 2.8. t(M ) = −pn désigne la contrainte au point courant M.
RR
— Sur S5 et S6 , S5 ∪S6 OM ∧ t(M )dS = 0 car n5 = −n6 .
RR
— Sur S3 et S4 , S3 ∪S4 OM ∧ t(M )dS = Crotor→f luide .
RR
RR
— Sur S2 (ou S1 ), S2 OM ∧ t(M )dS = S2 OM ∧ (−p2 n2 )dS avec OM = R2 n2 d’où
ZZ
OM ∧ t(M )dS = 0
S1 ∪S2
Ainsi, on trouve la relation qui existe entre le bilan de quantité de mouvement angulaire et le
couple qu’exerce le rotor sur le fluide :
ZZ
OM ∧ (ρv) v.ndS = C
(2.12)
S1 ∪S2
En multipliant les termes de l’équation 2.12 par ω et en utilisant la propriété du produit mixte :
ω.(OM ∧ ρv) = OM.(ρv ∧ ω) = ρv.(ω ∧ OM) = ρv.u
D’où l’expression de la puissance hydraulique :
ZZ
Pext = C.ω =
(ρu.v)v.ndS
(2.13)
S1 ∪S2
Comme u et v sont constants sur S1 et S2 , que −
Pext = ρgqv Hth , on en déduit que :
Hth =
RR
S1 v1 .n1 dS =
u2 .v2 − u1 .v1
g
RR
S2
v2 .n2 dS = qv et que
(2.14)
On voit donc que Hth est directement liée aux triangles des vitesses et donc à la configuration
(dessins des aubes). Hth ne dépend pas du fluide véhiculé.
Remarque 1 : Si u et v ne sont pas constants sur S1 et S2 , on prend une valeur moyenne.
C’est le cas des pompes à hélices par exemple.
Remarque 2 : On trouve le même résultat pour les turbines avec un signe −, c’est-à-dire que
Hth = (u1 .v1 − u2 .v2 )/g.
24
Introduction
2.4
Notions de charge relative
On a Hth = Hs − He , donc Hs − u2g.v2 = He − u1g.v1 . Comme ui .vi = ui .(ui + wi ) = u2i + ui wi ,
Hi −
pi
w2 − u2i
ui .vi
=
+ zi + i
g
ρg
2g
(2.15)
en posant H1 = He et H2 = Hs . On appelle la charge relative, la quantité :
Hr =
p
w2 − u2
+z+
ρg
2g
(2.16)
et on a alors,
Hr (2) = Hr (1)
(2.17)
La charge relative se conserve dans une turbomachine.
2.5
2.5.1
Caractéristique d’une pompe centrifuge
Caractéristique théorique
Compte tenu de la configuration d’une pompe centrifuge (2.5), on peut concevoir que l’écoulement est radial en R1 . On admet qu’il reste radial à l’entrée de S1 , d’où le triangle des vitesses à
l’entrée 2.8.
w1
v1
β
vn1
2
u1
Fig. 2.8 – Triangle théorique à l’entrée.
On a u1 .v1 = 0 d’où :
Hth =
w2
u2 .v2
g
(2.18)
v2
β
vn2
2
u2
Fig. 2.9 – Triangle théorique à la sortie.
u2 .v2 = u22 + u2 w2 cos(β2 )
(2.19)
Introduction
25
Comme on a w2 = vn2 / sin(β2 ), vn2 S2 = qv et ω = 2πN avec N le nombre de tour par seconde, on
peut écrire :
Hth =
(2πR2 )2 2 2πR2 cos(β2 )
N +
N qv
g
gS2 | sin(β2 )|
(2.20)
Ainsi, la caractéristique théorique Hth (qv , Nf ixe ) est donnée sur la figure 2.10.
β<π/2
Hth
β=π/2
β>π/2
qv
Fig. 2.10 – Caractéristique théorique d’une pompe centrifuge.
2.5.2
Caractéristique réelle
Perte par choc
À la sortie de S2 , on installe des éléments fixes (redresseurs) qui permettent de mieux canaliser
le fluide vers la sortie de la pompe (figure 2.11).
w
2
w2
v2
qv
w
β
2
β
2
a
v2
u2
2
b
β v
2 2
u2
c
u2
Fig. 2.11 – Redresseurs N fixé.
— Pour le cas a, on voit que l’écoulement rentre sans chocs dans les redresseurs. Ceci se produit
pour un débit qv = qa (débit d’adaptation).
— Pour le cas b, le débit qv > qa et il se produit un choc entre l’écoulement et les redresseurs.
Il y a donc des pertes de charge par choc. De même, dans le cas c, où qv < qa .
À l’entrée de S1 , on a le même scénario, sauf que le choc se fait à l’entrée de l’aube.
Comme les pertes de charge s’écrivent en Kqv2 et comme il n’y a pas de perte de charge par
choc pour le débit d’adaptation qa , on admet que les pertes de charge par choc s’écrivent :
∆Hchoc = Kc (qv − qa )2
avec Kc un coefficient de perte de charge par choc.
(2.21)
26
Introduction
w
v
1
w1
1
v1
qv
a
w1
β
1
β
1
u1
b
u1
v1
c
β
1
u1
Fig. 2.12 – a : qv = qa , b : qv > qa et c : qv < qa .
Perte par frottement et par singularité
L’écoulement du fluide sur les parois des aubes et les parois des redresseurs induisent une perte
de charge par frottement visqueux analogue à celle rencontrée dans les tubes. Pour simplifier, on
prend une loi de type rugueux (Moody) :
∆Hf = Kf qv2
(2.22)
De plus, l’écoulement depuis l’entrée à la sortie traverse plusieurs singularités : coudes, élargissement, changement de directions complexes, etc ... Ces singularités causent aussi des pertes de
charge singulières qu’on modélise par :
∆Hs = Ks qv2
(2.23)
d’où la perte de charge par frottement et singularité :
∆Hf s = Kf s qv2
(2.24)
avec Kf s = Kf + Ks .
On appelle alors la perte de charge interne ∆Hi :
∆Hi = ∆Hchoc + ∆Hf s
(2.25)
et la charge nette Hn de la pompe est
Hn = Hth − ∆Hi
(2.26)
Le rendement interne est donné par :
ηi =
Hn
Hth
(2.27)
Ainsi, on en déduit la caractéristique réelle de la pompe figure 2.13.
En général, on trace Hn et ηi sur la même courbe. La partie ascendante de Hn peut conduire
à une instabilité de pompage.
2.5.3
Bilan de rendements
Le bilan d’énergie peut-être schématisé comme suit figure 2.14.
Sur la cascade d’énergie, on distingue :
Introduction
27
15
Hth
∆ Hchoc
∆H
fs
Hn
H (m)
10
5
qc
qa
0
0
2
4
−2 3 6
qv (x10 m /s)
8
10
Fig. 2.13 – Caractéristique réelle à N fixé.
pm
ρgq ∆H
v i
Cω
ρgq H
v th
ρgq H
v n
transfert
Fig. 2.14 – Cascade de l’énergie dans une pompe.
—
—
—
—
—
Cω la puissance disponible sur l’arbre fournie par le moteur.
pm la puissance perdue par frottement mécanique dans les paliers.
ρgqv Hth la puissance théorique.
ρgqv ∆Hi la puissance perdue par choc et frottement visqueux.
ρgqv Hn la puissance réellement récupérée par le fluide.
On introduit donc trois types de rendement :
— Rendement mécanique : ηm = ρgqv Hth /Cω.
— Rendement interne ou hydraulique : ηi = Hn /Hth . Ce rendement peut atteindre 90% pour
les pompes de grandes puissances.
— Rendement total : η = ηm ηi . Ce dernier prend en compte tous les types de pertes aussi bien
mécanique qu’hydraulique.
28
Introduction
2.6
Pompes à hélices
L‘’écoulement est principalement axial (hélicoı̈dal dans la roue). Le fluide entre par un convergent
et ressort par un divergent appelé diffuseur. La figure 2.15 présente le schéma de principe.
pales
distributeur
redresseur
M
Rm
ω
Fig. 2.15 – Schéma de principe d’une pompe à hélice.
Une coupe de la pale au point M au rayon moyen Rm conduit à la construction du triangle des
vitesses figure 2.16.
distributeurs fixes
u1
u2
w2
γ
vn1
γ α
11
w1
v1
β
1
pales
vn2
α
2 2
v2
redresseurs fixes
β
2
Fig. 2.16 – Triangle des vitesses dans une pompe à hélice.
On a :
u1 = u2 = Rm ω
et vn1 = vn2 =
qv
S
(2.28)
Dans certaines configurations (notamment en turbine), les distributeurs sont orientables, ainsi
que les pales de l’hélice. Les angles les plus pertinents sont les angles qui indiquent les directions
des distributeurs et des pales par rapport à la direction principale de l’écoulement, c’est-à-dire α1
et γ2 , comptés algébriquement. Dans ce cas, on a :
gHth = u2 .v2 − u1 .v1
(2.29)
ce qui donne :
gHth
= u[u + vn (tan(γ2 ) − tan(α1 ))] = u u + 2vn
sin(γ2 − α1 )
cos(γ2 + α1 ) + cos(γ2 − α1 )
(2.30)
Introduction
29
Comme on sait que u ∝ N et vn ∝ qv , on retrouve :
Hth =
(2πRm )2 2 2πRm
N qv (tan(γ2 ) − tan(α1 ))
N +
g
gSm
(2.31)
Selon les valeurs de γ2 et de α1 , la caractéristique théorique a l’allure suivante :
tan(γ )-tan(α )>0
2
1
Hth
tan(γ )-tan(α )=0
2
1
tan(γ )-tan(α )<0
2
1
qv
Fig. 2.17 – Caractéristique théorique pour N fixé.
En réalité, il y a des pertes par chocs à l’entrée de la pale. Ces derniers peuvent être limités
si la direction de w1 est la même que la direction principale de la pale, i. e. si γ1 = γ2 . Pour α1
donné et une vitesse de rotation N donnée, il existe un débit qa qui satisfait cette condition. À la
sortie, il faut éviter les chocs sur les redresseurs qui ont comme rôle de rendre l’écoulement axial.
La condition idéale de sortie est donc α2 = 0. Pour qa donné, il existe un N qui permet d’avoir
α2 = 0. En conclusion, pour α1 donné, il existe qa et N pour qu’il n’y ait pas de choc. Étant donné
les nombreux paramètres que l’on peut faire varier (qv , N , α1 et γ2 ), il est difficile de donner une
forme à l’expression de ∆Hchoc .
Les pertes par frottement sont aussi difficiles à quantifier. La figure 2.18 donne des exemples
de l’allure des caractéristiques réelles d’une pompe à hélice.
η
Hn
η
Hn
80%
80%
qv
zone
instable
qv
Fig. 2.18 – Exemples de carcatéristiques.
2.7
2.7.1
Problèmes généraux
Point de fonctionnement
Le point de fonctionnement F se trouve à l’intersection de la caractéristique du circuit C(qv ) et
de la charge nette de la pompe Hn (qv ) (figure 2.19). Ce point de fonctionnement fournit le débit
de fonctionnement qf onct et le rendement de fonctionnement ηf onct .
30
Introduction
H
η
Hn
F
C(qv)
η
fonct
qfonct
qv
Fig. 2.19 – Point de fonctionnement.
2.7.2
Hauteur d’aspiration et amorçage
Lorsque la pompe est pleine d’air sans débit, sa mise en fonctionnement fait monter le niveau d’eau d’une hauteur h.
S
v = 0 ⇒ pS − pE = ρair gHn (0) et pS = patm
E
p + ρeau gz = cste dans l’eau : patm + 0 = pE + ρeau gh d’où
hasp
z
air
h=
h
ρair
Hn (0)
ρeau
Pour que la pompe s’amorce, il faut hasp ≤ h.
⇒
crepine
Exemple : si Hn (0) = 50 m ⇒ hasp ≤ 6.25 cm car ρair
ρair
Hn (0)
ρeau
' 1.25 kg/m3 .
hasp ≤
Les conséquences sont les suivantes :
— Il faudra prévoir des dispositifs d’amorçage dans le cas où la pompe est située au dessus
du niveau du réservoir amont. Cela peut se faire, soit par remplissage manuel du corps de
la pompe, soit par remplissage avec un réservoir d’amorçage ou encore avec une pompe
auxiliaire (pompe de gavage). On peut aussi ajouter une crépine d’aspiration avec un clapet
anti retour pour éviter le désamorçage à l’arrêt.
— Dans le cas où la crépine d’aspiration n’est pas assez immergée, il se produit une admission
partielle de l’air à partir de la surface libre. Ceci a pour conséquence une chute de la hauteur
de refoulement et du rendement. Cela ne doit pas être confondu avec un phénomène de
cavitation.
2.7.3
Groupement de pompes : série et parallèle
Série
qv
1
2
P1
3
P2
qv 1
'
3
P
Introduction
31
Le débit traversant chaque pompe q1 = q2 = qv est le même et H1 = H2 − Hn1 (qv ), H2 =
H3 − Hn2 (qv ) donc
H1 = H3 − (Hn1 (qv ) + Hn2 (qv ))
(2.32)
d’où la caractéristique équivalente (figure 2.20).
Parallèle
q1
qv
P1
1
2
qv 1
P2
q2
2
P
'
En négligeant les pertes de charge à la bifurcation (1) et à la jonction (2), on a Hn1 = Hn2 ,
mais qv = q1 + q2 , d’où la caractéristique figure 2.20.
H
H
Heq
Hn2
qcritique
Hn1
Hn1
Heq
Hn2
qv
(s)
qv
(p)
Fig. 2.20 – Caractéristiques de deux pompes en série (s) et en parallèle (p).
Remarque : Branchée sur un circuit conduisant à qv < qcritique , la pompe 2 fonctionnera en
régime turbine.
2.7.4
Cavitation - rudiments
La cavitation apparaı̂t lorsque la pression du fluide devient égale à la pression de vapeur saturante psat . C’est donc un phénomène d’ébullition sous faible pression à température ordinaire. Au
point où la pression devient égale à psat une bulle de vapeur se forme.
Cavitation locale
B
bulles
A
R
v
2
2
ω
2
pA + ρ v2 ' pB + ρ u2 , or u = Rω et v u, donc pB ' pA − ρ (Rω)
2 . Cela implique que la
pression pB diminue quand ω augmente. Ainsi, lorsque pB = psat , il y a formation de bulle de
32
Introduction
vapeur. Les bulles de vapeur sont transportées par l’écoulement et dès qu’elles arrivent dans une
zone où la pression est légèrement supérieure à la pression de vapeur saturante, elles implosent
en des temps très brefs (microseconde). Pour une bulle de 1 mm de rayon, cela correspond à une
vitesse locale du fluide de l’ordre de 1 km/s ! Les vitesses sont donc très grandes au voisinage du
point d’implosion et on enregistre des variations de pression de quelques centaines de bars. Les
parois sont donc soumises à des efforts énormes et des coups de belier très destructeurs. Il faut donc
faire travailler les turbomachines dans des conditions où il n’y a pas d’apparition de cavitation.
Si la cavitaion apparaı̂t, on injecte des bulles d’air en petite quantité dans le fluide. Ces bulles
compressibles servent d’amortisseurs et permettent l’élimination de bruits et de vibrations.
Cavitation globale
Lorsque la pompe n’est pas en charge ou en charge, il arrive qu’au point A d’entrée, p(A) = psat .
Dans ce cas, il y a cavitation globale à l’entrée de la pompe. Dans les deux cas, on entend un bruit
caractéristique de cailloux roulés 1 .
Fig. 2.21 – Photo : National Research Council of Canada, Institute for Ocean Technology (NRC-IOT).
2.8
Étude dimensionnelle et similitude
L’étude dimensionnelle permet d’avoir une représentation sous forme adimensionnelle et de
mettre en évidence les nombres sans dimensions à respecter lors de l’examen de la similitude. À
titre d’exemple, si on fait des essais sur une petite maquette et que l’on souhaite extrapoler les
résultats pour le prototype, il faut que les nombres sans dimensions pertinents soient les mêmes
pour le prototype et la maquette.
Dans la configuration de la figure 2.22, on cherche la loi :
gH = F (qv , N, D, ρ, µ, L1 , l2 , . . . , α1 ,α2 , . . .)
1. En TD de mécanique des fluides, on montre comment calculer la pression à l’entrée A d’une pompe.
(2.33)
Introduction
33
T, (C)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
psat , (kpa)
0.611
1.227
2.337
4.242
7.375
12.34
19.92
31.16
47.35
70.11
101.33
Tab. 2.1 – Pression de vapeur saturante de l’eau.
H
N
P
D
qv
Fig. 2.22 – Configuration pour l’étude dimensionnelle.
On choisit des grandeurs fondamentales D, N , ρ (determinant non nul) et on construit le tableau
suivant :
L
M
T
D
1
0
0
N
0
0
-1
ρ
-3
1
0
gH
2
0
-2
qv
3
0
-1
µ
-1
1
-1
Li
1
0
0
αi
0
0
0
Exemple :
ΠLi =
Li
α
D N β ργ


 α − 3γ = 1
⇒
−β
= 0

 γ
= 0
⇒ α = 1, β = 0, γ = 0
et donc ΠLi = Li /D.
Suivant la même méthode, on construit :
— Le pouvoir manométrique :
m = ΠgH =
gH
N 2 D2
(2.34)
34
Introduction
— Le pouvoir débitant :
δ = Πqv =
qv
N D3
(2.35)
— Le nombre de Reynolds :
1
µ
= Πµ =
Re
ρN D2
(2.36)
La relation 2.33 s’écrit, d’après le théorème de Vashy-Buckingham :
m = F (δ, Li /D, αi )
(2.37)
car en général, les écoulements sont suffisamment rapides pour que 1/Re → 0. Ainsi, pour des
machines géométriquement semblables, si δ1 = δ2 , alors m1 = m2 . On appelle donc m et δ les
invariants de Rateau. Par conséquent, une seule caractéristique m = f (δ) suffit à déterminer les
caractéristiques réelles de toutes les machines géométriquement semblables.
Si on s’intéresse à la puissance P de deux machines 1 et 2, on a :
P1
ρ1 q1 (gH1 )
P1 /(ρ1 N13 D15 )
δ1 m1
=
⇒
=
P2
ρ2 q2 (gH2 )
δ2 m2
P2 /(ρ2 N23 D25 )
(2.38)
Or si δ1 = δ2 ⇒ m1 = m2 , donc P/(ρN 3 D5 ) est aussi un invariant. De même pour le couple
P = Cω ∝ CN , C/(ρN 2 D5 ) est un invariant. On remarque que le rendement η est aussi un
invariant.
En pratique, on a un effet d’échelles (figure 2.23).
η
m
D1
D1
D2
D2
δ
δ
Fig. 2.23 – D1 > D2 .
2.9
NPSH (Net positive Suction Head)
Cette notion permet de mieux dimensionner la hauteur d’aspiration qui est d’une grande importance quand :
— Le liquide est volatile où à température élevée.
— Le liquide est stocké sous vide.
Un bon fonctionnement de la pompe est caractérisé par le NPSH qui sert à définir la pression
nécessaire à l’entrée de la roue pour avoir en tout point du fluide (y compris à l’intérieur de la
pompe) une pression supérieure à la pression de vapeur saturante psat de façon à éviter la cavitation.
Introduction
35
Cette quantité est donnée par le constructeur sous l’appelation NPSH requis. Elle tient compte de
la chute de pression que subit le fluide lors de son accélération à l’entrée de la roue.
∆p >0
f
u
uE
E
p
pE
Fig. 2.24 – u > uE donc p < pE .
Le NPSH requis est le supplément minimal de pression qu’il faut ajouter à psat au niveau de
l’entrée de la pompe pour avoir p(M ) > psat , ∀M à l’intérieur de la pompe. En conclusion, la
pompe fonctionne correctement si :
ptE ≥ psat + N P SHrequis
(2.39)
N P SHrequis ≤ ptE − psat
(2.40)
qui peut s’écrire aussi :
où N P SHrequis est donné par le constructeur et ptE −psat est le N P SH disponible, calculé à partir
de l’installation.
Exemple de calcul de NPSH disponible
A
E
h2
h1
z
A
E
On a :
1
1
2
2
pA + ρgzA + αA ρvA
= pE + ρgzE + αE ρvE
− ∆pconduite
2
2
Le plus souvent vA vE , donc :
1
2
ptE = pE + αE ρvE
= pA + ρg(zA − zE ) − ∆pconduite
2
(2.41)
Comme N P SHdisp = ptE −psat et si on divise l’équation 2.41 par ρg pour obtenir une expression
qui fait intervenir les charges, on obtient :
N P SHdisp (m) = HA − hsat + zA − zE − ∆Hconduite
(2.42)
36
Introduction
où HA = pA /ρg et hsat = psat /ρg. ∆Hconduite représente les pertes de charge dans la conduite.
Si pA = patm , alors au niveau de la mer, HA = 10.33 m et à 1500 m, HA = 8.6 m. hsat est
fonction de la température.
Si le NPSH disponible est insuffisant, on peut :
— Diminuer la température pour abaisser hsat.
— Diminuer les pertes de charge ∆Hconduite en augmentant la section des tuyaux et en ouvrant
les vannes.
— Augmenter h1 = zA − zE .
— Diminuer h2 = |zA − zE |.
— Diminuer la vitesse de rotation de la pompe.
2.10
TD : Pompes
2.10.1
Répartion de pompes sur un oléoduc
Une conduite cylindrique horizontale de diamètre d = 0.5 m et de rugosité moyenne e =
0.2 mm, transporte une huile lourde de viscosité dynamique µ = 0.35 Pa.s et de masse volumique
ρ = 920 kg/m3 . La circulation de l’huile dans loléoduc est assurée par des pompes placées tous les
14 km sur la conduite :
1. En supposant l’écoulement d’huile laminaire dans la conduite, donner l’expression de la
perte de charge par unité de longueur ∆H/L en fonction du débit volumique qv (dans cette
expression, les autres paramètres auront été remplacés par leur valeur numérique).
2. On utilise des pompes du type n°1 (caractéristiques jointes). Déterminer le débit d’huile
dans l’oléoduc et vérifier l’hypothèse faite en 1.
3. On remplace les pompes précédentes par des pompes de type n°2 (caractéristiques jointes)
en conservant le même débit. Quelle devra être la nouvelle distance entre deux pompes
successives ?
4. Sans tenir compte de l’investissement, quelle est la solution la plus économique en fonctionnement ?
Introduction
2.10.2
37
Choix d’une pompe par similitude
Une pompe de diamètre D = 0.25 m tournant à 1450 tr/min a les caractéristiques suivantes :
On dispose de pompes géométriquement semblables de diamètres 0.3 m, 0.25 m, 0.22 m et
0.19 m pouvant tourner à 1750, 1450 et 1150 tr/min.
1. Quel diamètre et quelle vitesse de rotation doit-on choisir pour obtenir un débit de 0.0523 m3 /s
et une hauteur nette de 15.4 m ?
38
Introduction
2. Calculer la puissance absorbée (ou puissance utile Pi ) par la pompe choisie au point de
fonctionnement de la question 1.
(—) Hn et (− −) η. Pompe D = 0.25 m, N = 1450 tr/min.
2.10.3
Étude d’une pompe centrifuge
Une pompe centrifuge débite 24 litres d’eau par seconde sous une hauteur nette Hn = 27 m
avec un rendement manométrique η = 75%.
On admet que la perte de charge interne totale ∆Hi vaut 5 fois l’énergie cinétique de l’eau dans
son mouvement relatif à la sortie de la roue (vitesse relative W2 ). L’eau entre radialement dans la
roue. Le diamètre extérieur de la roue est D2 = 0.20 m et la section utile à la sortie S2 = 0.2D22 .
1. Calculer les valeurs numériques de la vitesse relative W2 et de la vitesse débitante V2d à la
sortie de la roue.
~ 2, W
~ 2 ).
2. Tracer le triangle des vitesses à la sortie et calculer l’angle de sortie β2 = (U
3. À partir de la relation d’Euler, calculer la valeur numérique de la vitesse d’entrainement U2
et en déduire la vitesse de rotation N de la roue.
2.10.4
Étude d’une pompe multicellulaire
Une pompe multicellulaire est constituée par 8 roues de diamètres extérieur et intérieur D2 =
40 cm et D1 = 20 cm. Ces roues sont disposées en série et tournent à 3000 tr/min.
Introduction
39
1. Vide d’eau, à quelle hauteur cette pompe peut-elle aspirer l’eau dans la conduite d’aspiration
(on admettra qu’à débit nul, le rendement manométrique est de 50%).
2. Le diffuseur est tracé pour annuler les pertes par choc (point d’adaptation) lorsque les
vitesses relatives et absolues sont égales en module à la sortie de la roue (V2 = W2 ). Dans
ce cas, le rendement manométrique vaut 90% et l’entrée dans la roue s’effectue radialement.
Calculer la hauteur nette au point d’adaptation.
3. L’angle réel de sortie de l’eau des aubes est β2 = 150° et la largeur des roues à la sortie vaut
2 cm, la section des aubes occupe 10% de la section de sortie. Calculer le débit et la puissance
de la pompe au point de fonctionnement précédent ainsi qu’au point de fonctionnement
correspondant à une hauteur manométrique nulle.
4. Tracer la courbe de rendement manométrique de la pompe. En déduire le rendement maximal. Calculer la vitesse spécifique de chaque roue au point où le rendement est maximal.
2.10.5
Exemple d’utilisation du NPSH (R. Joulié, Mécanique des fluides appliquée)
Pour irriguer des jardins on utilise l’eau d’un canal dont le niveau se trouve à 2 m en dessous
de l’axe horizontal de la pompe, qui doit débiter 170 m3 /h d’eau. Dans ces conditions, le NPSH
requis est de 6.5 mCE. Entre le canal et la pompe on doit installer une canalisation de 80 m de long
en tube bitumé de rugosité 0.5 mm, comprenant un coude à 90° de coefficient de perte de charge
k1 = 0.26, une crépine - filtre placé à l’extrémité de la conduite, donc immergé dans le canal -, et
un clapet de pied - pour maintenir la conduite et la pompe pleines d’eau (question d’amorçage) dont le coefficient global de perte de charge est k2 = 0.9. Le NPSH disponible impose le choix du
diamètre de conduite, sachant bien que le prix dépend de cette dimension. Déterminer le diamètre
minimal - donc le moins coûteux - à donner à cette conduite, parmi les valeurs commerciales : 100,
125, 150, 200, 300 (mm). La température de l’eau ne dépassant pas 20°C dans le canal, on prendra
pour pression de vapeur saturante 2338 Pa, pour masse volumique 998 kg/m3 et pour viscosité
cinématique 10−6 m2 /s. Pour le coefficient de perte de charge linéaire le long de la conduite, utiliser
l’abaque (2.25).
40
Introduction
Fig. 2.25 – Coefficient de perte de charge λ(Re,).
Chapitre 3
Turbines hydrauliques
3.1
Généralités
Les turbines sont à l’inverse des pompes des machines à fluides capables d’en extraire de
l’énergie. Le fluide cède donc de l’énergie dont une partie sera récupérée sur l’arbre de la turbine
sous forme d’énergie mécanique : P = Cω. Du point de vue du fluide, la puissance mécanique Pm
est négative. En changeant le signe de Pm , on obtient une quantité positive Pi appelée puissance
interne ou puissance indiquée :
Pi = ρqv (u1 .v1 − u2 .v2 )
(3.1)
en utilisant les mêmes notations que dans le chapitre pompes.
En général, on classe les turbines en deux catégories.
3.1.1
Les turbines à action
La diminution de la charge est due exclusivement à la perte d’énergie cinétique :
∆H = ∆
v2
2g
, or H '
v2
p
+
⇒ ∆p = 0
2g ρg
(3.2)
On définit alors le degré de réaction par :
r=
p2 − p1
p2 − p1
ou
ρgH
ρN 2 D2
(3.3)
et ici r = 0. Toute l’énergie cinétique du fluide est disponible dans un ou plusieurs jets et le passage
est tangentiel.
3.1.2
Les turbines à réaction
Dans ce cas, r 6= 0, l’énergie hydraulique transmise se présente sous forme d’énergie cinétique
et d’énergie de pression. Le transfert d’énergie de pression nécessite une grande surface de contact
entre le fluide et la roue. C’est pourquoi le rotor et les aubes sont noyés dans le fluide.
42
Introduction
3.2
Bilan d’énergie
HG
Hp
— HG : hauteur de génératrice.
— Hp : hauteur de perte (perte de charge régulière
et singulière).
— Hr : hauteur résiduelle à la sortie de la turbine,
le fluide dispose d’une énergie ρgqv Hr qui n’est
pas récupérée sur l’arbre de la turbine.
Hr
On appelle la hauteur nette :
Hn = HG − Hp − Hr
(3.4)
Toute cette énergie (Hn ) ne sera pas intégralement transférée au rotor. En effet, en traversant
les organes fixes et mobiles, le fluide perd de l’énergie par frottement et par choc. On désigne ces
pertes par perte de charge interne ∆Hi . Seule l’énergie restante (hauteur interne) est transférée au
rotor :
Hi = Hn − ∆Hi
(3.5)
Ci ω = ρgqv Hi
(3.6)
L’énergie disponible au rotor est :
où Ci désigne le couple interne. Sa puissance mécanique disponible en bout d’arbre est :
Cω = Ci ω − Pf
(3.7)
où Pf est la puissance dissipée par frottement au niveau des paliers.
Hp
Hr
∆H
i
P /(ρgq )
f
v
HG
Hn
hydraulique
Hi
C ω/(ρgq )
i
v
Cω/(ρgq )
v
mecanique
Fig. 3.1 – Diagramme de transfert d’énergie pour une turbine.
Le bilan d’énergie est illustré par le diagramme 3.1. Ce diagramme définit plusieurs rendements :
Introduction
43
— Le rendement interne (ou manométrique) : ηi = Hi /Hn . Ce dernier rend compte des pertes
hydrauliques.
— Le rendement mécanique : ηm = Cω/Pi = C/Ci . Ce rendement rend compte des frottements
mécaniques.
— Le rendement total : η = Cω/ρgqv HG . Ce rendement rend compte de la dissipation et de
l’utilisation faite de l’énergie hydraulique disponible.
Le fonctionnement nominal est en général choisi lorsque le rendement total est maximum,
c’est-à-dire quand Hp + Hr + ∆Hi est minimum.
3.3
Turbine à action
Dans cette catégorie, un jet libre impacte sur des augets ou des aubes profilées, fixées sur la
périphérie de la roue mobile. Ces jets exercent une force sur les augets en mouvement de rotation
qui est transformée en couple et puissance mécanique sur l’axe de la turbine.
Les turbines à action sont caractérisées par le fait que l’énergie transformée au niveau des
aubages est entièrement sous forme d’énergie cinétique. Le transfert d’énergie entre l’eau et l’aubage
a lieu à pression constante, généralement à la pression atmosphérique. La roue de la turbine est
dénoyée ou partiellement dénoyée (cross-flow) et tourne dans l’air.
Dans cette catégorie, on trouve la turbine Pelton, la turbine Crossflow (Banki-Mitchell), la
roulette de dentiste (dental drill), etc ...
3.3.1
La turbine Pelton
Elle travaille à débit relativement faible sous une hauteur de chute élevée (300 m à 1200 m,
voire davantage) avec une grande vitesse de rotation.
Schéma de principe
HG
ω
deflecteur
alimentation
roue
v
auget
jet
aiguille
Fig. 3.2 – Turbine Pelton
Le jet exerce une force F sur l’auget qui conduit à un couple moteur qui fait tourner la roue
de la turbine. L’injecteur est relié au réservoir (HG ) amont par une conduite forcée.
L’aiguille coulisse dans la partie convergente de l’injecteur soit par une commande manuelle soit
par un servo-moteur. Le déplacement de l’aiguille fait varier la section de sortie et par conséquent
le débit qv = vS (v vitesse du jet et S section du jet). En effet, on a :
44
Introduction
v2
= HG − ∆Htuyaux − ∆Hinjecteur
2g
p
Comme HG est très grand et que le tuyau est long, v ' 2g(HG − ∆Htuyaux ).
Quand on veut arrêter rapidement la turbine Pelton, on ne ferme jamais brusquement la vanne
amont ou l’injecteur en raison des coups de belier qui pourraient endommager la conduite d’amenée,
mais, on dévie le jet grâce à un déflecteur. Ensuite, on ferme lentement l’injecteur. Le déflecteur
doit être fixé solidement pour résister aux efforts souvent énormes exercés par le jet.
Exercice : Calculer F en fonction de v et S.
F
S
v
La roue est à passage tangentiel et le transfert se fait à la périphérie de la roue dans des augets
en nombre et forme calculés. Le jet frappe des augets de forme coquille symétrique. L’angle d’entrée
β1 doit être faible ce qui conduit à construire une arête d’entrée très affutée, dont l’usure constitue
le problème principal.
L’angle de sortie β20 = π − β2 doit être également faible. Cependant, un retour complet (β20 = 0)
de jet provoque un phénomène de talonnage qui diminue le rendement. Le talonnage est du à
l’impact du jet sortant sur l’extrados de l’auget suivant.
w2
β’
2
u
β
v1
1
u
Fig. 3.3 – Coupe de l’auget d’une turbine Pelton.
Le nombre de tours spécifique Ns est défini par :
Introduction
45
Ns =
N P 1/2
ρ1/2 (gHG )5/4
(3.8)
Pour les turbines Pelton, Ns = 0.0025 → 0.08. Le meilleur rendement est obtenu pour environ
Ns ' 0.08. Attention : ces valeurs sont données avec N en tr/min et P en chevaux. Si la
vitesse spécifique est calculée avec d’autres unités, les valeurs numériques données ici doivent être
converties.
Il est aussi important de définir le rapport 2R/d entre le rayon de la roue R et le diamètre du
jet d. Pour que le rendement soit convenable, il faut que 9 < 2R/d < 30 avec une valeur optimale
de 12. On peut montrer que Ns ' 0.2d/2R.
Si la roue est munie de plusieurs jets n, sa puissance totale est n fois plus grande et son nombre
√
de tours spécifique Ns , n fois plus grand. n peut atteindre 6, mais en pratique, les turbines Pelton
possèdent 2 à 4 jets.
46
Introduction
Introduction
47
48
Introduction
Caractéristique de la turbine Pelton
L’écoulement dans l’auget peut se schématiser comme sur la figure 3.3. On en déduit le triangle
des vitesses.
w2
v1
u1
β
2
w1
v2
u2
À l’entrée, β1 = 0 et à la sortie β2 ' π si β20 ' 0. On a alors, u1 ' u2 et |u1 | ' |u2 | = Rω = u.
La puissance interne est donnée par :
Pi = ρqv (u1 .v1 − u2 .v2 )
(3.9)
Pi = ρqv [uv − u2 .(u2 + w2 )] = ρqv uv − u2 − u2 w2 cos(β2 )
(3.10)
et donc
La charge relative entre 1 et 2 se conserve :
w2 − u21
p2
w2 − u22
p1
+ 1
=
+ 2
ρg
2g
ρg
2g
(3.11)
Si le degré de réaction r = 0, alors p1 = p2 ' patm et u1 = u2 donc w1 = w2 = v − u et
Pi = ρqv u(v − u)(1 − cos(β2 ))
(3.12)
Cela montre que le meilleur transfert a lieu pour β20 = 0. Mais dans ce cas, on a le phénomène
de talonnage. En général, on construit les augets avec β20 ∼ 4 à 7.
√
Si on suppose que v est fixée (' ρgHn ), qv est fixé (ouverture de l’injecteur fixé), u étant
proportionnel à N , alors :
Pi = Aρqv N (Nmax − N )
(3.13)
où A = (2πR)2 (1−cos(β2 )) et Nmax = v/(2πR). Nmax correspond à la vitesse de rotation théorique
d’emballement. Dans ce cas, v = u, ce qui signifie que l’auget va à la même vitesse que le jet. Il
n’y a donc pas de transfert d’énergie. On en déduit les caractéristiques des turbines Pelton.
Pi
Ci
qv
qv
Nmax N
Fig. 3.4 – Caractérisques de turbines Pelton.
Nmax
N
Introduction
49
On note que Pi = Ci ω et donc Ci = A0 ρqv (Nmax − N ). De plus, si v est fixé, alors Nmax l’est
aussi. Le rendement interne ηi = Hi /Hn est proportionnel à Pi . Le rendement maximal a donc lieu
pour u ' v/2 et ηi ∼ 1. qv est fixé par l’ouverture de l’injecteur et par la hauteur génératrice. Le
débit est donc indépendant de N .
η
i
qv
qv3
qv2
qv1
Nmax/2
Nmax
N
N
Remarque 1 : On remarque que le couple est maximum au démarrage et que la vitesse d’emballement reste finie (v). Elle est fixée par la hauteur génératrice HG aux pertes de charge
près.
Remarque 2 : En raison du frottement du fluide sur les parois de l’auget qui conduit à une
perte de charge interne et à w2 < w1 , on trouve que ηmax est obtenu pour u/v légèrement
inférieur à 1/2.
Remarque 3 : Dans les grosses turbines Pelton dont la roue peut atteindre plusieurs mètres de
diamètre, la puissance maximale réellement obtenue dépasse les 90% de la valeur théorique
(1/2)ρqv v 2 et on réalise des machines qui fournissent 40000 chevaux par roue soit 29.44 M W .
Remarque 4 : La hauteur de chute varie entre 40 m et plus de 1000 m. Cela entraine des
vitesses de rotation élevées.
3.3.2
Turbine Crossflow
Cette turbine est aussi appelée turbine à flux traversant et turbine de Banki-Mitchell. C’est
une machine à action où l’eau traverse deux fois la roue. C’est une machine de construction simple
et son utilisation est très répandue dans les pays en voie de développement. Le schéma de principe
est donné sur la figure 3.5.
Elle est constituée de :
— Un injecteur de section rectangulaire (largeur l) équipé d’une vanne papillon pour régler le
débit qv .
— Une roue (diamètre D) en forme de tambour munie d’aubes cylindriques profilées qui sont
relativement élastiques et qui sont source de bruit à cause des chocs périodiques de l’eau
sur les aubes. La roue est autonettoyante parce que l’eau la traverse deux fois.
— N est généralement faible ce qui nécessite un multiplicateur à engrenage ou à courroie pour
le couplage au générateur.
50
Introduction
Fig. 3.5 – Turbine cross-flow
— L’injecteur et la roue sont souvent divisés en 2 secteurs de largeur 1/3 et 2/3 qui peuvent être
mis en fonctionnement séparément ou ensemble. Avec ce système, il est possible d’obtenir
un rendement satisfaisant (ηmax = 80% à 83%) sur toute la plage de débits (figure 3.3.2).
On donne quelques formules empiriques.
— Pour le débit :
qv = 0.25α
lD p
2gHn
2
(3.14)
Introduction
51
√
α est en radian, π/2 ≤ α ≤ 2π/3 donc lD = 1.13 à 0.75qv / Hn .
— La vitesse de rotation :
p
2
ω = 0.45 2gHn
D
—
—
—
—
3.3.3
(3.15)
√
d’où D = 38 Hn /N , l = 0.02 . . . 0.03qv N/Hn . N est en tr/min.
l/D = 0.3 . . . 4.
La vitesse d’emballement est égale à 1.8 fois la vitesse nominale (∼ Pelton).
La fréquence principale de vibration est f = nombred0 aubes × (N/60).
Il y a entre 24 et 32 aubes.
Non-Pelton wheel impulse turbine (Dental drill)
Ce type de turbine à action est couramment utilisé avec des gaz. Son principe de fontionnement
est donné sur la figure 3.6.
Fig. 3.6 – Images tirées de Fundamentals of Fluid Mechanics (5eme édition), Munson Young Okicshi, Ed.
John Whiley & Son (2006).
52
3.4
3.4.1
Introduction
Turbines à réaction
Organes communs
Pour ce type de turbines, on utilise à la fois l’énergie cinétique et l’énergie de pression. Cette
dernière nécessite pour le transfert une grande surface de contact entre le fluide et la roue. C’est
pourquoi les aubes sont noyées. Deux principes sont à la base de leur fonctionnement.
— La création d’un tourbillon à l’aide d’une bache spirale d’aubages directeurs (directrices)
ou des deux à la fois.
— La récupération du mouvement tourbillonnaire par les aubes d’une roue mobile en rotation
qui épousent les filets d’eau afin de leur donner une direction parallèle à l’axe de rotation.
Les aubages se comportent comme une aile d’avion. La portance qui en résulte induit un couple
sur l’arbre de la turbine et fait avancer l’aube à une vitesse d’entrainement u.
portance
i
u
w
Dans cette catégorie de turbines, on distingue :
— La turbine Francis.
— La turbine Hélice.
— La turbine Kaplan (hélice à pales orientables même pendant le fonctionnement).
Le système d’alimentation est presque le même pour les trois types de turbines. Il est constitué
d’une bache spirale et d’un distributeur actionné par un cercle de vannage. La bache spirale est
raccordée à la conduite amont et elle est en général sous la forme de colimaçon.
Introduction
53
Fig. 3.7 – Bache spirale du lac Hodges (Canada) et schéma de la turbine Francis de la centrale de
Martigny-Bourg (Suisse).
54
Introduction
Le distributeur sert à régler le débit. Il est constitué par une série de directrices profilées toutes
solidaires les unes des autres et actionnées par le cercle de vannage. Ces distributeurs servent
également à fixer l’angle d’entrée. Le principe de fonctionnement est illustré par la figure 3.8.
Introduction
55
Fig. 3.8 – Roue de turbine Francis. Cercle de vannage, distributeurs fermés et ouverts et vue schématique
d’une turbine à réaction de type Francis.
Les turbines Kaplan ont un nombre de pales compris entre 3 et 8. Les pales sont orientables.
56
Introduction
La mécanique de commande des pales oblige, lorsque le nombre de pales devient important (6–8)
à augmenter le rapport du diamètre moyen au diamètre D de la roue.
Nombre de pales
3
4
5
6
7 à 8
chute (m)
2–3
3–15
15–20
20–25
≥ 30
Dm /D
0.38
0.40
0.45
0.50
0.60
Fig. 3.9 – Roue de turbine Kaplan.
À la sortie de la turbine à réaction, l’eau possède toujours une certaine énergie cinétique qu’on
peut récupérer en partie grâce à un diffuseur qui est constitué d’une canalisation évasée conduisant
l’eau vers le canal (ou lac) de fuite.
Fig. 3.10 – Diffuseur.
Introduction
57
58
Introduction
3.4.2
Triangle des vitesses
Turbine Francis
Turbine à hélice
3.4.3
Caractéristiques générales
Ce sont les mêmes calculs que pour les pompes.
Hn = Hth + ∆Hchoc + ∆Hf
et η =
Hth
Hn
(3.16)
Introduction
59
Hth
∆ Hchoc
∆ Hf
η
H
Hn
0
qv
0
qv
Fig. 3.11 – N et ouverture fixés.
Exemple de courbes caractéristiques à N fixé et ouverture de vannage variable.
60
Introduction
Caractéristique à charge constante et N variable.
Introduction
61
Caractéristique à charge constante, N et ouverture variables.
62
Introduction
5/4
Exemples de caractéristiques. ns = nP 1/2 /Hn
avec n en tr/min, P en chevaux et Hn en mètre.
Introduction
63
Diagramme de sélection d’une turbine.
3.4.4
Diffuseur
Le diffuseur (figure 3.10) sert à récupérer de l’énergie cinétique à la sortie de la turbine.
64
Introduction
1
2
zT
4
turbine
3
diffuseur
L’axe de la turbine est situé à zT positif ou négatif. Si on sort directement à l’atmosphère
p2 = patm et zT = 0. Il reste une charge résiduelle Hres = v22 /2g. On a P ∝ H1 − H2 avec H1
donné. On obtient donc une puissance maximum pour H2 minimum. S’il n’y a pas de diffuseur,
H2 =
et avec diffusueur :
H2 =
patm
v2
+ zT + 2
ρg
2g
(3.17)
p2
v02
+ zT + 2
ρg
2g
(3.18)
avec v20 ∼ v2 . On a donc intérêt à avoir p2 le plus faible possible, mais tel que p2 ≥ psat pour éviter
la cavitation. Pour zT donné, la hauteur résiduelle est mesurée par Hr = (patm − p2 )/ρg.
On peut également diminuer la cote zT (négatif) en plaçant la turbine sous le niveau du lac de
fuite. Dans ce cas :
H2 = H3 + ∆Hreg + ∆Hsing
v2
H3 = H4 + 3
2g
patm
H4 =
ρg
(3.19)
(3.20)
(3.21)
avec ∆Hreg les pertes de charge régulières dans le diffuseur et ∆Hsing les pertes de charge singulières
éventuelles. Ainsi,
H2 =
patm
v2
+ ∆Hreg + ∆Hsing + 3
ρg
2g
(3.22)
et finalement :
p2
patm
v 2 − v22
=
− zT + ∆Hreg + ∆Hsing + 3
ρg
ρg
2g
(3.23)
zT étant fixé, v2 l’étant aussi par le débit, pour avoir p2 le plus faible possible il faut minimiser
∆Hreg + ∆Hsing + v32 /2g. Ainsi, un bon diffuseur doit avoir :
— Un élargissement important pour que v3 → 0.
— Une perte de charge ∆Hreg faible.
Évidemment, ces critères sont contraints par le génie civil.
L’importance du diffuseur se chiffre par le coefficient
K=
(patm − p2 )/ρg
Hr
=
Hn
Hn
(3.24)
Introduction
65
En utilisant l’équation 3.23, on obtient :
∆Hreg + ∆Hsing
zT
1 v32 − v22
K=
−
+
Hn
Hn
Hn 2g
(3.25)
Pour une sortie à l’air libre, zT = 0, ∆H = 0 et v3 = 0, K ' v22 /(2gHn ). On donne enfin
quelques ordres de grandeur :
— Pour les turbines Francis lentes, K ∼ 10%.
— Pour les turbines Kaplan très rapides, K ∼ 60%.
3.4.5
Cavitation
La cavitation peut se produire sur les aubes de la turbine, ou à la sortie de la turbine.
Cavitation sur les aubes
L’écoulement sur une aube dans le repère relatif est analogue à un écoulement sur une aile
d’avion : dépression sur l’extrados, surpression sur l’intrados. La résultante de ces forces conduit
à une force de portance qui fait tourner la roue. Ceci peut être schématisé par la figure 3.12.
portance
p
sat
-
i
u
A
B
C
w
+
+
Fig. 3.12 – Sur la zone AB, p < psat , formation des bulles de vapeur et zone BC, p > psat , implosion des
bulles de vapeur.
Fig. 3.13 – Dégats par cavitation sur les aubes d’une turbine Francis.
Cavitation à la sortie de la turbine (torche à vapeur)
À la sortie de la turbine, un tourbillon se forme. Ce dernier ne disparait complètement qu’au
point de fonctionnement nominal (v1 axial). Pour des débits inférieurs, entre 40% et 60% du débit
66
Introduction
nominal, le tourbillon de sortie devient très intense et conduit à des instabilités. L’écoulement dans
le tourbillon est presque du type vortex libre : u ∼ A/r ⇒ p & quand r → 0.
La pression atteint p = psat et les bulles de vapeur apparaissent sous forme de torche (figure
3.14).
Fig. 3.14 – Torche de cavitation.
Plus loin, les bulles implosent violemment. Il s’en suit des chocs (coup de belier) qui peuvent
mettre en danger l’installation. Pour y remédier, on injecte des bulles d’air (par A sur la figure
3.14) qui permettent d’amortir les chocs. Mais cela entraı̂ne une baisse de rendement de 1% à 2%.
3.4.6
Limite de la hauteur d’aspiration
La hauteur d’aspiration Hs d’une turbine à réaction est définie par :
Hs
Hs>0
Hs
Hs<0
Si on raisonne en hydrostatique (en négligeant les pertes de charge et les termes v 2 /2g), la
hauteur d’aspiration théoriquement possible est Hsth = Ha − Hv avec Ha = patm /ρg et Hv =
psat /ρg. Les dépressions sur l’aubage font que la pression de vapeur saturante est atteinte pour
Introduction
67
Hs < Hsth . Pour tenir compte de ceci, on utilise en pratique un coefficient σ, le coefficient de
Thoma. On a alors :
Hs = Hsth − σHn
(3.26)
au-delà duquel apparaı̂t une cavitation capable d’endommager la roue. Le coefficient σ est déterminé expérimentalement (voir figure 3.15).
1/2
3/4
Fig. 3.15 – Coefficient de cavitation. nq = nqv /Hn
avec n en tr/min, qv en m3 /s et Hn en m.
Remarque :
— Ha dépend de l’altitude. Au niveau de la mer Ha = 10.33 m et à 1500 m, Ha = 8 m.
— Hv dépend de la température.
3.5
TD : Turbines
3.5.1
Turbine Pelton
On dispose d’un jet de diamètre d = 3 cm et de vitesse v = 45 m/s.
1. Calculer la hauteur génératrice HG .
68
Introduction
2. Calculer le diamètre de la roue D.
3. Calculer la vitesse de rotation d’emballement Nmax et la vitesse de rotation optimale Nopt .
4. Donner la taille de l’auget.
5. Calculer la puissance maximale Pmax .
6. La roue tourne à N = 600 tr/min, calculer la hauteur résiduelle Hr .
7. La roue tourne à N = 1193 tr/min, calculer la hauteur résiduelle Hr .
8. Calculer l’effort sur le déflecteur.
45o
F
d
v
3.5.2
Dental drill
La turbine Pelton à air comprimé entrainant la roulette de dentiste est schématisée sur la figure
3.16 ci-dessous.
Fig. 3.16 – Dental drill.
La vitesse de rotation est N = 300000 tr/min. On estime le diamètre du jet à d = 1 mm
(justifier cette valeur).
1. Calculer la vitesse moyenne u.
Introduction
69
2. On souhaite qu’il n’ait pas de choc à l’entrée et que la vitesse de sortie v2 soit axiale. Tracer
dv) l’angle
les triangles des vitesses. On désigne par β2 l’angle de sortie. On note α = (u,
de sortie du jet. Calculer v = f (u,α). et en déduire la puissance Pi par jet (pour α petit).
Calculer le nombre de Mach M a.
3. On a 8 jets (justifier cette valeur). Quelle est la puissance totale Pit ?
4. Les buses de jet sont alimentées par un réservoir à la pression p et à la température T = 18C.
Calculer la pression p en négligeant les pertes de charge et en faisant l’approximation fluide
incompressible.
5. Estimer la température de sortie. Qu’en pensez-vous ?
3.5.3
Tourniquet hydraulique
Un tourniquet hydraulique est constitué par un réservoir cylindrique muni à sa base de deux
tuyaux horizontaux diamétralement opposés de même longueur R. Ces bras sont terminés par des
orifices qui permettent aux jets de s’échapper sous un angle θ par rapport à la tangente de la
trajectoire de l’extrémité. Par réaction, le système est mis en rotation.
La hauteur du fluide dans le réservoir est maintenue constante à une hauteur H.
1. Calculer la vitesse relative de sortie w de l’eau en fonction de H, de R et de la vitesse
angulaire ω supposée constante. Quel est le couple C appliqué au tourniquet ?
2. En admettant qu’il n’ait pas de frottement, quelle vitesse maximale ωm peut atteindre la
machine ? Cette vitesse peut-elle augmenter indéfiniment ?
3. Dans le cas général, calculer le rendement énergétique de la machine. Discuter suivant les
valeurs de θ.
4. Application numérique : R = 1 m, θ = 0 pour ω = 0 le tourniquet consomme 3 l/s d’eau et
le couple appliqué est de 2 m.kgf . Quels seront le débit qv , le couple C, la puissance P et
le rendement η, si la vitesse du tourniquet est de 120 tr/min. On prendra g = 10 m/s2 .
3.5.4
Étude d’une turbine Francis
Une turbine Francis tournant à N = 600 tr/min absorbe un débit qv = 1 m3 /s. Les diamètres
d’entrée et de sortie sont de 1 m et 0.45 m. Les sections de passage corespondantes sont de 0.14 m2
et 0.09 m2 . L’angle α1 de sortie des directrices vaut 15 et l’angle de sortie de la roue est de 135.
Sachant que le rendement manométrique de cette turbine est égal à 78%, calculer la hauteur de
chute nette, ainsi que le couple et la puissance mécanique sur l’arbre (g = 9.81 m/s2 ).
3.5.5
Turbine aux enchères
Une turbine hydraulique neuve est mise en vente aux enchères. Le rendement est garanti égal ou
supérieur à 70% pour des puissances comprises entre 180 kW et 300 kW , ceci pour N = 300 tr/min
et une chute d’eau de 5 m.
1. Quel est le type de cette turbine ?
2. Cette machine intéresse un utilisateur qui ne dispose que d’une chute d’eau de 3 m. Quelles
puissances pourra-t-il obtenir dans les mêmes conditions de rendement et quelle sera la
vitesse de rotation de la machine ?
70
Introduction
3. Désirant obtenir au moins 150 kW , il envisage d’approfondir le bief aval de manière à porter
la chute à 3.20 m.
(a) En conservant le rendement de 70 %, quels seraient la vitesse de rotation, les puissances
et les débits correspondants qv1 et qv2 ? Le résultat désiré peut-il être atteint ?
(b) L’installation comporte un diffuseur dont la perte de charge est 0.3v02 /2g, v0 étant la
vitesse moyenne dans la section d’entrée du diffuseur. La surface S0 d’entrée du diffuseur
se trouve dans le même plan que la surface libre aval. Peut-on craindre la cavitation dans
les conditions données par le tableau 2.1 (S0 = 1.05 m2 , altitude 0 m et température
20C) ?
4. La roue mobile est à passage axial et offre une section constante S0 . Un distributeur fixe la
précède et lui envoie l’eau dans une direction indépendante du débit et faisant un angle de
70 avec le plan de la roue à son diamètre moyen Dm = 1.10 m.
(a) Construire sur ce diamètre les triangles des vitesses de part et d’autre du rotor dans les
conditions définies précédemment.
(b) En admettant que le rendement maximal soit atteint pour qv = (qv1 + qv2 )/2 et qu’il
s’obtient lorsque la vitesse absolue de sortie est axiale, calculer ce rendement maximal.
On admettra dans les calculs que le rendement mécanique de la machine est égal à 1.
Chapitre 4
Notions théoriques sur les éoliennes
Nomenclature et relations usuelles
R : rayon de la pale
r : distance à l’axe d’une section de pale
considérée
l(r) : longueur de la corde de la section de
pale située à la distance r de l’axe
B : nombre de pales du rotor
θ : angle de vrillage
α : angle d’incidence ou d’attaque
φ : angle d’inclinaison avec φ = θ + α
V1 : vitesse du vent en amont de l’éolienne
V2 : vitesse du vent en aval de l’éolienne
V ’ : vitesse du vent traversant les pales
Rω
V1
λ0 =
λ =
rω
V1
: vitesse spécifique locale
F : force axiale exercée par l’air sur les pales
(poussée)
M : moment du couple moteur
ω : vitesse de rotation du rotor
Pelec : puissance électrique
P = F.V ’ : puissance captée par les pales
Pu = M.ω : puissance mécanique
P
Cp = 0.5ρAV
3 : coefficient de puissance avec
1
A la surface balayée par le rotor
CM =
ment
4.1
: vitesse spécifique
M
0.5ρARV12
=
Cp
λ0
: coefficient de mo-
Le vent
Le vent est défini par sa direction et sa vitesse. Ces deux grandeurs sont variables dans le temps
(turbulence, variations saisonnières,...) et dans l'espace (topologie du terrain,...).
4.1.1
Variation de la vitesse du vent dans le temps
Les phénomènes instantanés : turbulence du vent
La vitesse du vent et sa direction peuvent varier très rapidement. En moins d'une seconde,
l'intensité du vent peut doubler et sa direction changer de 20°. Lorsque les fluctuations en direction
sont trop rapides, il est impossible pour une éolienne d'avoir son axe aligné en permanence dans
la direction du vent, en raison de l'inertie de la machine. Il est donc important de tenir compte de
ces variations qui sont les fluctuations les plus gênantes.
De plus, un vent à rafales imposera des contraintes qu'il faudra prendre en compte dans le
calcul du support de l’éolienne, la plupart des systèmes de régulation ayant une inertie largement
supérieure à la durée d'une rafale.
72
Introduction
Plusieurs facteurs contribuent à déterminer les variations du vent :
— le temps qu'il fait
— la topographie du terrain
— les obstacles.
Ces variations de la vitesse du vent font varier la production énergétique de l'éolienne bien que
l'inertie du rotor compense, dans une certaine mesure, les variations les plus courtes. On a intérêt
à placer le rotor en dehors de toute zone turbulente et à une hauteur suffisamment élevée pour que
le gradient de vitesse dans le sens vertical ne soit pas trop important.
Les phénomènes journaliers
Les vents subissent les fluctuations journalières dues à des effets convectifs. La chaleur spécifique
du sol étant inférieure à celle de l'eau, la terre s'échauffe plus rapidement que la mer sous l'effet
du rayonnement solaire. Ainsi, on peut parler de :
Brise de mer et brise de terre
Fig. 4.1 – Illustration de la brise de mer (A) et de la brise de terre (B).
En journée, la terre se réchauffe plus rapidement que la mer, ce qui provoque un soulèvement
de l'air chaud qui s'étend ensuite vers la mer. Ainsi, une dépression se crée près de la surface
de la terre, attirant l'air froid provenant de la mer, c'est la brise de mer (Figure 4.1.A). Le
soir, le phénomène s'inverse, la terre se refroidissant plus vite que la mer c'est la brise de terre
(Figure 4.1.B).
Les vents de montagne Les régions montagneuses donnent naissance à beaucoup de phénomènes climatologiques parmi eux la brise de vallée. Le matin, les sommets sont réchauffés
avant les vallées. L'air commence alors à s'élever vers le sommet de la montagne, produisant ce
que l'on appelle une brise montante. La nuit, le phénomène s'inverse et une brise descendante se
produit. Les vents s'écoulant le long des versants des montagnes peuvent être très violents.
Introduction
73
Les phénomènes saisonniers
La vitesse et la direction du vent varient en fonction des zones de haute et de basse pression.
Ces aires anticycloniques et cycloniques sont liées à la position du soleil par rapport à l'équateur,
ainsi le vent subit une variation annuelle plus ou moins cyclique. En France, la vitesse du vent est
plus importante en hiver que pendant les mois d'été.
4.1.2
Les variations de vitesse de vent dans l'espace
La répartition géographique du vent au sol
Le vent est plus fort sur les océans que sur les continents. Cette disparité s'explique notamment
par le relief et la végétation qui freinent le mouvement de l'air. Aussi, les zones généralement les
plus favorables pour les sites éoliens sont situées en bordure de côtes sur les continents.
De plus, certaines régions sont connues pour la régularité de leur vent : les alizés de part et
d'autre de l'équateur, les moussons en Asie du Sud-est,...
La vitesse du vent en fonction de l'altitude (Cisaillement)
La vitesse du vent dépend essentiellement de la nature du terrain au-dessus duquel se déplacent
les masses d'air. En effet, la réduction du vent auprès du sol est due à la friction exercée par la
végétation, les obstacles et les bâtiments. Les gradients de vitesse sont donc plus ou moins marqués
en fonction de la topologie du terrain. Habituellement, la variation de la vitesse avec l'altitude est
représentée par la loi :
V1
=
V2
h1
h2
α
(4.1)
V1 et V2 représentent les vitesses de vent horizontal aux hauteurs respectives h1 et h2 . Cette loi
est une loi statistique qui repose sur de nombreuses observations. Généralement, h2 est voisin de
10 m (hauteur moyenne des anémomètres dans les stations météorologiques), α est un coefficient
qui varie de 0,10 à 0,40.
Cette variation avec l'altitude peut également être représentée par une loi logarithmique en
introduisant la rugosité du terrain par le paramètre h0 :
V1
= ln
V2
h1
h0
/ln
h2
h0
(4.2)
La loi logarithmique donne les meilleurs résultats jusqu'à 30 à 50 m de hauteur au-dessus du sol
mais au delà de la couche limite, la première relation est la plus utilisée.
L'exposant α caractérise le terrain comme dans le tableau ci-dessous :
Nature du terrain
Lisse, Plat : neige, glace, mer, herbes courtes
Rugosité modérée, peu accidenté : champs et pâturages, cultures
Rugueuse, Accidenté : bois, zones peu habitées
Très accidenté : villes, immeuble élevés
Avec α = 0.096lg h0 + 0.016(lg h0 )2 + 0.24.
Inégalité du sol h0 en m
0,001 – 0,02
Exposant α
0,10 - 0,11
0,02 – 0,3
0,15 - 0,30
0,3 - 2
2 - 10
0,20 - 0,27
0,27 - 0,4
74
Introduction
Les sites les plus intéressants pour la récupération d'énergie éolienne sont les sites peu ou pas
accidentés pour lesquels l'exposant α est faible. On bénéficie dans ce cas de vitesses du vent près du
sol élevées et la variation de la vitesse de vent avec l'altitude est faible (la vitesse de vent en haut
et en bas de la machine sont sensiblement les mêmes), ce qui à pour conséquence de diminuer les
contraintes cycliques sur les pales du moteur éolien (d'autant plus important lorsque le diamètre
de l'hélice est grand).
Influence du relief sur l'intensité du vent
L'intensité du vent est influencée par le relief et tous les obstacles isolés rencontrés par le vent.
Le relief peut être à l'origine d'accélération locale du vent (passage de collines par ex.) mais aussi
de zones de forte turbulence et de décollement de couche limite (phénomènes défavorables). La
zone de turbulence créée par un obstacle s'étend sur une distance d'environ trois fois la hauteur
de cet obstacle, cette turbulence est plus forte derrière l'obstacle que devant, on veillera donc à
limiter la présence d'obstacles aux abords d'une éolienne, en particulier dans la direction des vents
dominants (devant l'éolienne).
4.1.3
Etude statistique du vent
A la lumière des informations précédentes, on voit que plusieurs informations sont déterminantes dans l'étude d'un site éolien :
— vitesse moyenne du vent
— direction moyenne du vent
— la durée des périodes de vent sur l'année pour évaluer la production annuelle et les durées
de vent improductif.
On peut en premier ressort s'appuyer sur la rose des vents établie par chaque station météorologique
locale.
La direction d'où vient le vent est répartie ici sur 360° (figure 4.2). Ainsi, le Nord est par
convention indiqué en haut du diagramme (360°), l'Ouest est à 270°, le Sud à 180° et l'Est à 90°.
Au centre du diagramme, se trouve un cercle à l’intérieur duquel on peut lire 29.6. Ce nombre
correspond au pourcentage de temps annuel pendant lequel la vitesse du vent a été inférieure à
1.5 m/s, toutes directions confondues. Ce temps est considéré comme une période de calme.
Tout autour du cercle central, on retrouve une surface bleue. La longueur des traits contenus
dans cette surface, est proportionnelle à la durée annuelle exprimée en pourcentage, pendant laquelle les vents de vitesses comprises entre 1.5 − 4.5 m/s, ont soufflé dans la direction considérée,
avec un écart maximum de 10°. Le contour suivant est relatif aux vents de vitesses comprises entre
4.5 − 8 m/s et le dernier plus petit, de couleur orange, correspond aux vents de vitesse supérieure à
8 m/s. L’échelle de pourcentage est portée sur la figure. A Nancy, la direction du vent dominante
est Nord-est et Sud-ouest. Si un champ d’éoliennes devait être installé dans la région, on disposerait les machines, de façon perpendiculaire aux vents dominants, suivant une ligne droite orientée
Sud-est, Nord-Ouest.
Les régimes de vent ainsi que la capacité énergétique tendent à varier d'une année à une autre
(en général d'environ 10 % au maximum) - par conséquent, pour obtenir un résultat crédible, les
stations basent leurs calculs sur des observations faites sur plusieurs années.
Dans la suite, nous allons nous intéresser aux notions d'aérodynamique régissant le fonctionnement d'une éolienne. L'objectif est d'arriver à construire un modèle aérodynamique de l'éolienne
Introduction
75
pour prédire son rendement en fonctionnement réel.
Fig. 4.2 – Rose des vents de la région de Nancy fournie par la station métérologique d'Essey-Les-Nancy.
4.2
Notions d'aérodynamique
Nous allons ici introduire brièvement les notions d'aérodynamique sur une aile portante. En effet
l'élément principal de l'éolienne est la pale. Cette dernière n'est autre chose qu'une aile portante.
Pour dimensionner de façon optimale les principaux éléments, il est indispensable d'avoir quelques
connaissances sur les actions aérodynamiques qu'exerce un vent donné sur un profil d'aile.
4.2.1
Définitions
Si on considère le profil d'aile donné sur la Figure 4.3 ci-dessous.
Fig. 4.3 – Schéma d’un profil d’aile.
76
Introduction
On appelle bord d'attaque, les points du profil les plus éloignés des points B où se trouve le
bord de fuite.
AB est appelée la corde l du profil ; AMB représente l'extrados du profil et ANB l'intrados.
Pour tenir compte de l'inclinaison de l'aile par rapport au vent incident (supposé horizontal
sur la figure), on introduit plusieurs angles :
— Angle d'incidence ou d'attaque : angle i formé par la corde et la direction du vent vu par
l'aile
— Angle de portance nulle : angle α0 représentant l'angle d'incidence pour lequel la portance
est nulle. Cet angle est généralement négatif pour les profils usuels (représenté de cette
façon sur la figure)
— Angle de portance : angle α formé par la direction du vent relatif et la direction de portance
nulle.
En valeur algébrique, α = α0 + i.
4.2.2
Actions de l'air sur l'aile
Usuellement, la résultante aérodynamique exercée par l'air sur l'aile est projetée suivant un
système d'axes associés à la vitesse V du vent vu par l'aile. Ceci est illustré sur la Figure 4.4
suivante :
Fig. 4.4 – Forces s’exerçant sur un profil d’aile.
— la composante Fz (perpendiculaire à la direction du vent) est appelée la portance
— la composante Fx (parallèle à la direction du vent) est appelée la traı̂née
A partir de cette décomposition, on introduit classiquement deux coefficients sans dimension :
Fz
— le coefficient de portance : Cz = 1 ρAV
2
— le coefficient de traı̂née : Cx =
2
Fx
1
ρAV 2
2
où A est la surface alaire de l'aile (corde * envergure) et ρ la masse volumique de l'air.
4.2.3
Paramètres influant sur les Cz et Cx
Les deux paramètres jouant sur les valeurs des coefficients de portance et de traı̂née pour un
profil d’aile donné sont le nombre de Reynolds et l'incidence de l'aile en régime incompressible.
La Figure 4.5 ci-dessous illustre l'évolution habituelle de ces deux coefficients en fonction de
l'angle d'incidence i à Reynolds fixe.
Introduction
77
Fig. 4.5 – Polaire d’Eiffel d’un profil d’aile.
On constate que pour les faibles incidences, le coefficient de portance évolue de façon quasi
linéaire avec l'angle d'incidence. Pour une incidence donnée, le coefficient de portance atteint
un maximum, c'est la crise de portance. On appelle cet angle d'incidence particulier, l'angle de
décrochage. Sur l'exemple donné, l'angle de portance nulle est bien négatif et vaut environ -5°.
En parallèle, le coefficient de traı̂née passe vers un minimum autour de cet angle pour augmenter
légèrement avec l'augmentation de l'incidence.
La courbe portant le coefficient de traı̂née en abscisse et le coefficient de portance en ordonnée
est appelée la polaire d'Eiffel d'une aille. Elle est généralement graduée en angle d'incidence i.
4.3
Calcul aérodynamique d'une éolienne à axe horizontal
Une première théorie permettant d'estimer la puissance d'une éolienne est la théorie de Betz
qui s'applique essentiellement aux machines à axe horizontal.
4.3.1
Théorie de Betz
Cette théorie suppose que l'éolienne est placée dans un air animé à l'infini d'une vitesse amont
V1 et à l'aval d'une vitesse V2 .
La puissance mécanique captée par le disque rotor est exprimée par la relation suivante (Figure 4.6) :
1
1
1
P = ρA1 V13 − ρA2 V23 = ρ A1 V13 − A2 V23
2
2
2
(Différence de puissance entre les flux d'air amont et aval au rotor)
En exprimant la conservation de la masse :
ρA1 V1 = ρA2 V2 = ṁ
[W ]
(4.3)
[kg/s]
(4.4)
[W ]
(4.5)
on obtient ainsi,
1
P = ṁ V12 − V22
2
78
Introduction
Fig. 4.6 – Représentation des lignes de courant traversant l’éolienne.
On peut trouver une autre expression de cette puissance, en appliquant le théorème d'Euler au
tube de courant représenté par le jet d’air. Ainsi, la force F qu'exerce l'air sur le rotor s'exprime
par :
F = ṁ (V1 − V2 )
[N ]
(4.6)
donnant lieu à une puissance mécanique convertie par la rotor :
P = F V 0 = m(V1 − V2 )V 0
[W ]
(4.7)
où V 0 est la vitesse du vent dans le plan de rotation des pales. Par identification avec les deux
formulations de la puissance récupérée P , on obtient :
V0 =
1
(V1 + V2 )
2
[m/s]
(4.8)
Ce qui au final, nous permet d’écrire la puissance du rotor rapportée à l’aire balayée A par ce
dernier :
1
P = F V 0 = ρA(V1 + V2 )2 (V1 − V2 )
4
[W ]
(4.9)
On peut à partir de cette relation exprimée le coefficient de puissance Cp qui est le rapport
entre la puissance récupérée sur le rotor par la puissance disponible dans le flux d’air basé sur la
vitesse du vent et la surface balayée par le rotor :
Cp =
1
4 ρA (V1
+ V2 )2 (V1 − V2 )
1
=
1
3
2
2 ρAV1
V2 2
V2
1+
1−
V1
V1
[−]
(4.10)
Si on définit le coefficient d’induction b = V2 /V1 , on obtient l’évolution du coefficient de puissance (Figure 4.7).
Introduction
79
Fig. 4.7 – Evolution du coefficient de puissance en fonction du rapport des vitesses amont et aval.
En réécrivant le coefficient b comme la fraction de diminution de la vitesse du vent entre la
vitesse amont V1 et celle traversant le rotor V ’ on obtient un nouveau coefficient a :
V 0 = (1 − a)V1
(4.11)
On peut montrer que ce coefficient est maximum pour a = 1/3, et que dans ce cas Cp = 16/27 ≈
0.596. En reportant cette valeur particulière dans l’expression de la puissance P , on obtient pour
la puissance maximale susceptible d’être recueillie, la valeur :
Pmax =
4.3.2
8
ρAV13
27
[W ]
(4.12)
Effets de la rotation
Pour le rotor idéal de la théorie de Betz, il n’y a pas de prise en compte de la rotation dans le
sillage. Or dans la pratique, le sillage possède une certaine rotation qui peut être prise en compte
en appliquant le théorème d’Euler pour les machines tournantes en s’appuyant sur les triangles des
vitesses dans les sections entrée-sortie du rotor de la Figure 4.8. Si on applique ce dernier sur un
volume de contrôle infinitésimal d’épaisseur dr, on obtient l’expression de la puissance transmise :
dP = dṁωrVθ = 2πr2 ρV 0 ωVθ dr
(4.13)
avec Vθ la composante azimutale de la vitesse absolue après le rotor et V ’ est la vitesse axiale à
travers le rotor. Nous avons vu que la vitesse axiale à travers le rotor peut être exprimée par le
coefficient d’induction a. De la même manière, on définit le facteur d’interférence tangentiel a’ et
la vitesse de rotation Vθ dans le sillage par (conservation du moment cinétique) :
80
Introduction
Vθ = 2a0 ωr
(4.14)
La puissance élémentaire s’écrit donc comme :
dP = 4πρω 2 V1 a0 (1 − a) r3 dr
(4.15)
Fig. 4.8 – Triangle des vitesses pour une section du rotor
Après intégration de 0 à R, on obtient la puissance totale récupérée par le rotor :
2
R
Z
P = 4πρω V1
a0 (1 − a) r3 dr
(4.16)
0
On voit ici que si on veut maximiser la puissance récupérée, il faut maximiser l’expression :
f a,a0 = a0 (1 − a)
(4.17)
Or si les angles d’attaque locaux sont inférieurs à l’angle de décrochage, ces deux coefficients
ne sont pas indépendants, on a ainsi :
tan φ =
a0 ωr
(1 − a) V1
=
aV1
(1 + a0 ) ωr
(4.18)
Ce qui conduit à la relation entre a et a’ : (ωr/V1 )2 a0 (1 + a0 ) = a (1 − a).
L’optimisation conduit donc à :
df
da0
= (1 − a)
− a0 = 0
da
da
(4.19)
2
0
ωr
et (1 + 2a0 ) da
= 1 − 2a. Ceci conduit à la relation suivante entre a et a’ optimisant la
da
V1
puissance récupérée :
a0 =
1 − 3a
4a − 1
Ceci permet finalement d’obtenir le tableau de valeurs suivant :
(4.20)
Introduction
81
a
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,333
a0
5,5
2,375
1,333
0,812
0,500
0,292
0,143
0,031
0,00301
λ = ωr/V1
0,073
0,157
0,255
0,374
0,529
0,753
1,15
2,63
8,58
A partir de ces relations, le coefficient de puissance optimal peut être obtenu par intégration.
Ceci a été réalisé par Glauert pour différentes vitesses spécifiques λ0 = ωR/V1 avec une comparaison
avec la limite de Betz de 16/27 (cas qui correspond à a0 = 0). Ces résultats sont reportés dans le
tableau ci-dessous :
λ0 = ωR/V1
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
5,0
7,5
10,0
4.3.3
27Cp /16
0,486
0,703
0,811
0,865
0,899
0,963
0,983
0,987
Prise en compte de l’élément de la pale d’hélice
Jusqu’à présent, la géométrie effective du rotor (nombre de pales B, les lois de vrillage θ (r) et
de corde l (r) et le profil de pale) n’est pas prise en compte. Nous allons ici coupler le théorème de
quantité de mouvement avec les efforts locaux sur la pale. Nous allons pour cela faire l’hypothèse
suivante :
— Chaque élément annulaire est indépendant des autres.
Nous pourrons établir que :
— la poussée élémentaire vaut : dF = 4πrρV12 a(1 − a)dr
— le moment élémentaire : dM = 4πρωV1 a0 (1 − a)r3 dr = dP/ω
On peut évaluer ces termes en considérant l’écoulement local autour de la pale en se basant
sur le triangle des vitesses suivant :
82
Introduction
avec θ l’angle de vrillage local de la pale, c’est-à-dire l’angle local entre la corde et le plan de
rotation du rotor. Puis, α est l’angle d’attaque local, c’est à dire l’angle local entre la corde et la
direction du vent relatif, Vrel . Enfin, φ est l’angle d’inclinaison défini par φ = θ + α.
Nous pouvons donc écrire avec ces définitions que :
1 2
1 2
L = ρVrel
l(r)Cz et D = ρVrel
l(r)Cx
(4.21)
2
2
pour l’expression des forces de portance et de traı̂née par unité de longueur, en supposant connus
les coefficients de portance et de traı̂née. De façon à obtenir une expression de la poussée et du
moment élémentaire, il faut projeter ces forces suivant les directions normale et tangentielle au
plan de rotation du rotor. Ce qui conduit à :
pT = L sin φ − D cos φ
(4.22)
CT = Cz sin φ − Cx cos φ
(4.23)
1
V1 (1 − a)ωr(1 − a0 )
dM = ρB
l(r)CT rdr
2
sin φ cos φ
(4.24)
pN = L cos φ + D sin φ,
et
CN = Cz cos φ + Cx sin φ,
Après quelques calculs, on obtient que :
1
V 2 (1 − a)2
dF = ρB 1 2
l(r)CN dr,
2
sin φ
avec B le nombre de pales et l(r) la loi de corde. Par identification, on obtient que les coefficients
d’induction axial et tangentiel doivent satisfaire aux relations suivantes :
a=
1
4 sin2
σCN
l(r)B
2πr
φ
a0 =
+1
1
4 sin φ cos φ
σCT
−1
(4.25)
où σ (r) =
représente la solidité locale du rotor.
Ainsi, l’algorithme de calcul pour déterminer la puissance récupérée par le rotor est le suivant :
(1) – Initialisation des coefficients a et a0
(2) – Calcul de l’angle φ
(3) – Détermination de l’angle d’incidence local α
(4) – Lecture des coefficients de portance et de traı̂née
Introduction
83
(5) – Déduction des coefficients normaux et tangentiels
(6) – Calcul des coefficients a et a0 suivant les dernières expressions
(7) – Réitération jusqu’à convergence sur les valeurs de a et a0
(8) – Détermination des efforts locaux sur l’élément considéré
Cette approche est la plus simple pour prendre en compte la géométrie du rotor. Pour obtenir
une bonne approximation, il faut cependant faire deux corrections : correction de Prandtl (effets
en bout de pale) et correction de Glauert (effets du décrochage).
4.3.4
Corrections de Prandtl et de Glauert
Correction de Prandtl
Cette correction permet la prise en compte des effets 3D en bout de pale (associés au nombre
de pales). Ceci a pour conséquence de modifier la vorticité dans le sillage du rotor. Prandtl a donc
défini un facteur correctif f pour la poussée et le couple élémentaire :
dM = 4πρωV1 a0 (1 − a)r3 f dr
dF = 4πrρV12 a(1 − a)f dr
où f (facteur de réduction de la circulation) a pour expression f =
Ceci conduit aux expressions corrigées pour les facteurs a et a0 :
a=
1
4f sin2 φ
σCN
a0 =
+1
2
π
cos−1 (e−m ), avec m =
(4.26)
B R−r
2 r sin φ .
1
4f sin φ cos φ
σCT
(4.27)
−1
Correction de Glauert
Lorsque le facteur d’interférence axial a devient plus grand qu’approximativement 0.4, l’application du théorème d’Euler tombe en défaut. Des relations empiriques ont été établies pour
approcher les mesures expérimentales, parmi lesquelles :
(
dF
4a(1 − a)f a ≤ 31
CF = 1 2
=
(4.28)
4a(1 − (1/4)(5 − 3a)a)f a > 13
2 ρV1 2πrdr
ou encore :
dF
CF = 1 2
=
2 ρV1 2πrdr
(
4a(1 − a)f a ≤ ac
4(a2c + (1 − 2ac )a)f
a > ac
(4.29)
ac vaut approximativement 0.2. A ces expressions, correspond une relation modifiée pour le
coefficient a.
4.3.5
Dimensionnement optimal des pales pour une puissance maximale
1−3a
La conception d’une forme optimale de la pale d’une hélice implique que la relation a0 = 4a−1
correspondant à une puissance maximale soit satisfaite. On peut faire l’hypothèse de négliger les
frottements en prenant Cx = 0. Les expressions de a et a0 deviennent :
a=
1
4 sin2 φ
σCz cos φ
a0 =
+1
1
4 cos φ
σCz
−1
(4.30)
En utilisant la relation reliant les deux facteurs d’interférence a et a0 , on obtient une seconde
relation exprimant le facteur a :
84
Introduction
a=
4 cos φ
σCz + 12 cos φ
(4.31)
L’égalité des deux expressions de a donne une équation quadratique, dont l’inconnue est le
terme σCz :
(σCz )2 + 8 cos φσCz − 16 sin2 φ = 0
(4.32)
dont la racine acceptable est σCz = 4 (1 − cos φ). Ceci donne l’expression optimale de la corde le
long de la pale :
l(r) =
8πr
(1 − cos φ)
BCz
Si on reprend la relation donnant l’angle φ, tan φ =
nous obtenons :
λ=
(1−a)V1
(1+a0 )ωr
(4a − 1) (1 − a) 1
a
tan φ
(4.33)
=
(1−a)
(1+a0 )λ ,
et en substituant a0 ,
(4.34)
En remplaçant a par sa valeur et après quelques simplifications, on aboutit finalement à la loi de
vrillage optimale :
φ=
1
2
tan−1
3
λr
θ = φ − αopt
où αopt est l’angle d’incidence optimale, qui donne (Cz /Cx )max .
(4.35)
Bibliographie
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Gouriéres, D. L. 2008 Les éoliennes : Théorie, conception et calcul pratique. Editions du Moulin
Cadiou.
Géradin, M. & Rixen, D. 1996 Théorie des vibrations : application à la dynamique des structures. Masson.
Hansen, M. O. 2008 Aerodynamics of Wind Turbines – Second Edition. Earthscan Edition.
Mahri, Z., Rouabah, M. & Zid, S. 2007 Calcul des efforts aérodynamiques agissant sur les
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