Dynamique des Systèmes Mécaniques

Université de Liège
LTAS - Vibrations et Identification des Structures
www.ulg.ac.be/ltas-vis
Dynamique des Systèmes Mécaniques
Pr. J.-C. Golinval
EXERCICES - SÉANCE 1
SYSTÈMES LIBRES À 1 D.D.L. NON AMORTIS
M. Peeters
E-mail : [email protected]
Année académique 2008-2009
Exercice 1 [Pendule simple]
Le pendule simple de masse m et de longueur l (Fig. 1) est soumis au champ
de gravité g. Déterminer l’équation du mouvement de ce pendule en adoptant la
variable θ comme degré de liberté. Au voisinage de la position d’équilibre θ = 0,
il est possible de représenter la dynamique du pendule au moyen d’un système
masse-ressort linéaire : déterminer sa masse équivalente et sa raideur équivalente.
Calculer alors la fréquence de résonance du pendule au voisinage de cette position
d’équilibre.
g
l
θ
m
Fig. 1. Pendule simple
Exercice 2
Une masse m est suspendue par une corde à un disque homogène de masse M et de
rayon R. La rotation du disque est empêchée par un ressort de raideur k fixé à une
distance r de son centre. Calculer la fréquence propre d’oscillation de ce système
mécanique représenté à la Figure 2.
1
EXERCICES - SÉANCE 1
SYSTÈMES LIBRES À 1 D.D.L. NON AMORTIS
2
k
R
r
M
m
Fig. 2. Exercice 2
Exercice 3
La commande des soupapes d’un moteur est représentée à la Figure 3. Sachant que
la came tourne deux fois plus lentement que le moteur, et supposant que cette came
a un profil sinusoïdal, déterminer la vitesse de rotation du moteur qu’il faudrait
proscrire.
Données numériques : masse de la soupape m = 85 g ; masse de la tige mt =
75 g ; raideur du ressort k = 20900 N/m ; moment d’inertie du culbuteur Jculb =
5 10−6 kg m2 ; a = 25 mm ; b = 35 mm.
Fig. 3. Commande des soupapes
Exercice 4
Une bielle pesant 21.35 N oscille 53 f ois/min lorsqu’elle est suspendue par son
extrémité située à une distance de 0.254 m du centre de gravité. Déterminer le
moment d’inertie de cette bielle par rapport à son centre de gravité.
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3
Fig. 4. Bielle
Exercice 5
Un cylindre de diamètre D, de longueur l et de masse m roule sans glisser sur un
plan horizontal (Fig. 5). Il est attaché à la fondation par deux ressorts de raideurs
k situés à mi-longueur et à une distance a de l’axe du cylindre. Déterminer la
fréquence propre de ce système.
Fig. 5. Exercice 5
Exercice 6
Un pendule de masse m1 est rigidement lié à un cylindre de masse m2 et d’inertie
de rotation JO (Fig. 6). Son mouvement est limité à de petites oscillations et le
cylindre roule sans glisser sur le plan horizontal. Calculer la fréquence propre du
système avec les données suivantes : l = 10 cm, m1 = 1 kg, m2 = 100 g, R1 = 2 cm,
R2 = 4 cm, JO = 800 10−7 kg m2 .
R
2
JO
R1
m2
l
m1
Fig. 6. Exercice 6
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Exercice proposé
Un rotor de masse m et de moment d’inertie polaire JO est déposé par ses extrémités
sur deux guides de rayon de courbure R (Fig. 7). Les paliers du rotor ont un rayon
r. Déterminer la fréquence propre d’oscillation du système si le rotor roule sans
glisser sur ses guides.
R
Note. Cette technique permet de déterminer expérimentalement le moment d’inertie polaire d’un rotor à partir de la connaissance de sa masse et de la mesure de la
fréquence naturelle du système.
r
pa
lie
r
Rotor :
m, JO
de
i
gu
Fig. 7. Exercice 7 : rotor oscillant sur ses deux guides (coupe axiale)