Physique - ENS Cachan

C39232 Ecole Normale Supérieure de Cachan
61 avenue du président Wilson
94230 CACHAN
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Concours d’admission en 3ème année
PHYSIQUE
Session 2009
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Épreuve de
PHYSIQUE
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Durée : 5 heures
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Aucun document n’est autorisé
L’usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non imprimante et sans document
d’accompagnement, est autorisé selon la circulaire n°99018 du 1er février 1999. De plus, une seule calculatrice
est admise sur la table, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
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Ce problème traite de la propagation d’onde dans un milieu présentant une périodicité spatiale.
On traite dans un premier temps la diffraction d’ondes électromagnétiques par un cristal. Puis on
s’intéresse à la propagation d’ondes dans un milieu diélectrique transparent mais inhomogène.
Le cas d’une structure présentant une périodicité spatiale est approfondi de manière à mettre en
lumière l’apparition de bandes de fréquences interdites pour la propagation. Afin de garder les calculs
analytiques, on se limite à la description d’un cristal photonique à une dimension.
Le cas de la diffusion quantique d’une particule par un potentiel unidimensionnel est alors abordé. On
traite d’abord le cas général puis on applique les résultats obtenus au cas d’un puits de potentiel de
profondeur finie. On étudie enfin le cas d’un potentiel présentant une périodicité spatiale, ce qui
permet de montrer les analogies existant avec le cas des ondes électromagnétiques.
Bien que formant un tout cohérent, le problème est constitué de parties largement indépendantes que
le candidat abordera dans l’ordre qui lui conviendra le mieux. On veillera cependant à bien respecter
la numérotation des questions abordées.
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Notations:
Dans tout le problème les vecteurs seront notés en gras sans flèche. Par exemple r désigne un
vecteur position alors que r désigne sa norme.
Le produit vectoriel sera noté par ∧. Ex : u ∧ v .
Les symboles suivants sont utilisés dans le problème ou par le candidat et devront être respectés tout
au long du sujet:
ħ la constante de Planck réduite
ε
0 la permittivité du vide
μ0 la perméabilité magnétique du vide
c la célérité de la lumière dans le vide
La fonction exponentielle sera notée indifféremment exp ou e.
La fonction cosinus sera notée cos
La fonction sinus sera note sin
La fonction sinus hyperbolique sera notée sh
La fonction cosinus hyperbolique sera notée ch
L’opérateur nabla sera noté
∇
La notation cc, écrite après une expression complexe désigne le complexe conjugué de cette
expression.
i désigne le complexe tel que i2 = -1.
Si le candidat est amené à utiliser dans son raisonnement des notations nouvelles, celles-ci devront
être clairement définies.
Données littérales et numériques :
On donne la formule d’analyse vectorielle suivante :
∇ . (F ∧ G) = ( ∇ ∧ F). G – F. ( ∇ ∧ G)
On prendra où
δ désigne la distribution de Dirac.
()
kdxeikx πδ2=
∫
Vecteur densité de courant de probabilité :J= cc
i
*
m+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡∇ψ
ψ
2
hoù
ψ * désigne le complexe conjugué
de
ψ .
Masse du proton : mp= 1,67.10-27 kg.
Résultats sur la théorie des perturbations stationnaires en mécanique quantique :
Soit l’Hamiltonien . Les états propres de de valeur propre En étant notés I φn >, le
déplacement en énergie du niveau E0 supposé
10 H
ˆ
+H
ˆ
=H
ˆ0
H
ˆ
non dégénéré est donné au deuxième ordre en par
la relation :
1
H
ˆ
ΔE0 = <φ0| Ĥ1 |φ0> + |<φn| Ĥ1 |φ0>|2
E0 -En
∑
≠0n
où l’on suppose que |<φn| Ĥ1 |φ0>| << IE0 -EnI
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PARTIE I : Propagation dans un milieu cristallin. Diffraction de Bragg.
Un solide cristallin est un système particulièrement simple présentant une périodicité spatiale. On
commence donc par envisager la propagation d’une onde électromagnétique dans ce type de
structure.
A. Condition de Bragg.
Le phénomène de diffraction des rayons X par les structures cristallines a été mis en évidence
dès 1912 par von Laue et par Bragg père et fils.
1. Justifier qualitativement que l’on utilise préférentiellement des rayons X pour ce type
d’expérience.
2. Donner l’ordre de grandeur de l’énergie caractéristique d’un photon dans le domaine spectral
concerné.
On considère un cristal monoatomique. L’onde incidente sera supposée plane de vecteur d’onde k0 ,
de pulsation ω et d’amplitude a0 (on se contente ici d’une représentation scalaire de l’onde). Un motif
du réseau placé à l’origine du repère diffuse cette onde incidente. On envisage exclusivement une
diffusion élastique dans une direction donnée par le vecteur d’onde k1.
3. Donner l’expression formelle de l’amplitude complexe a1D(r,t) de l’onde diffractée dans la
direction donnée par le vecteur d’onde k1. On définira clairement les notations introduites.
4. Pour un motif diffuseur placé au point repéré par le vecteur u, exprimer l’amplitude complexe
diffractée a’1D (r,t) en fonction de a1D(r,t), u et K= k1 – k0.
Soit un plan réticulaire du cristal. La direction de l’onde incidente forme un angle θ avec ce plan.
5. Montrer que la condition d’interférence constructive entre les ondes diffusées par chaque
atome de ce plan est vérifiée si k1 correspond à l’onde réfléchie selon les lois de Snell-
Descartes.
Soient deux plans réticulaires parallèles distants de d.
6. Montrer qu’il y a interférence constructive entre les ondes diffractées par le premier plan et
celles diffractées par le deuxième plan si l’on a :
2d sinθ = n λ
où n est un entier non-nul et où λ désigne la longueur d’onde de l’onde incidente.
Le réseau de Bravais associé au cristal est engendré par les vecteurs a1, a2, a3. On définit le
réseau réciproque par les vecteurs a*1, a*2, a*3 tels que a*1. a1 = 2π δij où δij désigne le symbole de
Kronecker.
7. Montrer que la condition d’interférence constructive peut également s’interpréter comme K
devant appartenir au réseau réciproque.
B. Application à un réseau cubique .
On considère le cas d’un réseau de Bravais cubique simple. on fait coïncider les directions des trois
vecteurs a1, a2, a3 avec les directions cartésiennes (Ox), (Oy), (Oz). On appellera a l’arête de la
maille primitive.
On éclaire un échantillon cubique monocristallin dont les arêtes sont parallèles à (Ox), (Oy) et (Oz).
On désigne par L la longueur d’un côté (L >> a). On garde les mêmes notations que précédemment.
1. Etablir que l’expression de l’intensité diffractée ID dans la direction k1 est donnée, à une
constante multiplicative près, par ID(K) = f(Kx) f(Ky) f(Kz) où
()
2
2
2
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=xa
sin
xL
sin
xf .
2. Quelle est la période de la fonction f ?
3. Préciser la valeur de f(0).
4. Montrer que f présente un maximum très piqué autour de x=0.
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5. Tracer alors qualitativement l’allure de f(x).
6. Expliquer en quoi une expérience de diffraction permet de remonter au réseau de Bravais du
cristal.
7. Bien que l’on puisse préparer des échantillons monocristallins, une méthode expérimentale
pratique consiste à éclairer un échantillon préparé à partir de poudres. Expliquer l’avantage de
cette méthode.
8. Les résultats obtenus dans cette partie reposent sur des simplifications drastiques. Discuter
brièvement leur limitation. Comment seraient modifiés les résultats de la figure de diffraction
dans un cas plus proche de la réalité ?
On utilise également la diffraction d’électrons et de neutrons par un cristal pour obtenir des
indications sur sa structure.
9. Qu’apporte respectivement l’utilisation de ces particules ?
Partie II. Propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique.
Contrôler et manipuler la lumière est une motivation très ancienne des physiciens. Le système le plus
simple permettant d’orienter la propagation de la lumière est évidemment le miroir. L’avènement des
fibres optiques a par ailleurs bouleversé les méthodes de communication.
A. Principe d’une multicouche diélectrique.
Le phénomène de réflexion se produit à chaque interface entre deux milieux transparents.
On envisage un milieu diélectrique transparent non absorbant d’indice n de valeur 3,0 (milieu
semi-conducteur).
Une onde électromagnétique de pulsation ω, d’amplitude a0 se propageant dans l’air (milieu
d’indice pris égal à 1,0) rencontre en incidence normale le milieu.
1. Rappeler l’expression des coefficients de réflexion r et de transmission t en amplitude pour
cette interface.
2. Calculer alors le coefficient de réflexion R en intensité. Faire l’application numérique.
On peut améliorer le coefficient de réflexion en disposant non pas d’un milieu diélectrique massif
mais d’une couche de diélectrique d’épaisseur e entourée d’air.
3. Exprimer l’amplitude de l’onde réfléchie. Montrer que, pour certaines valeurs de e, on peut
maximiser l’intensité de l’onde réfléchie.
4. Exprimer alors la nouvelle valeur du rapport entre intensité réfléchie et intensité incidente en
fonction des données et faire l’application numérique.
On peut encore améliorer la réflexion en répétant l’opération un grand nombre de fois. On alterne
alors couche d’air et couche de diélectrique de manière périodique.
5. Exprimer en fonction de e et des autres données, l’épaisseur eA des couches d’air qu’il faut
utiliser pour maximiser l’intensité réfléchie.
Il apparaît donc que pour une alternance périodique de milieux diélectriques on peut arriver à une
réflexion pratiquement égale à 100%. Les calculs élémentaires précédents semblent laisser croire
que cette réflexion totale n’apparaît que pour des fréquences très particulières. En fait le caractère
périodique du milieu donne naissance à des bandes de fréquences permises et interdites pour la
propagation (donc correspondant à une réflexion totale) exactement comme pour les électrons
dans une structure cristalline. On parle dans le cas de la lumière de cristal photonique.
La fabrication de cristaux photoniques date de 1991 et connaît depuis un développement d’autant
plus marqué par le besoin technologique de maîtriser au mieux la propagation de la lumière dans
les fibres optiques (entre autres).
On se propose donc, dans ce qui suit, de montrer comment la propagation de la lumière dans un
matériau hétérogène présentant des invariances par translation aboutit à l’apparition de bandes
de fréquences permises et interdites.
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B. Electromagnétisme dans un milieu hétérogène.
On dégage dans cette partie un certain nombre de résultats généraux pour la propagation en
milieu hétérogène. On développe en particulier un formalisme qui n’est pas sans rappeler celui
utilisé en mécanique quantique.
La notation z* désignera le complexe conjugué du nombre complexe z.
On considère un milieu diélectrique transparent linéaire, hétérogène dépourvu de propriétés
magnétiques.
Dans toute la suite du problème on désignera par ε(r) sa permittivité diélectrique relative.
On note H le vecteur excitation magnétique et E le vecteur champ électrique macroscopique.
1. Rappeler les équations différentielles satisfaites par E et H dans un tel milieu.
On cherche la forme des modes propres pour ce milieu. On écrit alors H = h(r)e-iωt (on ne
distinguera pas les notations complexes des notations réelles afin de ne pas alourdir les calculs
mais on se souviendra que les composantes du champ électromagnétiques sont, bien entendu,
réelles). On notera E(r)= e (r) e-iωt le champ électrique de ce mode propre.
2. Montrer que h est alors solution d’une équation aux valeurs propres :
Θ
ˆh (r) = ω2
c2 h (r)
où désigne l’opérateur ∇∧
Θ
ˆ[1
ε( r ) ∇∧ ].
3. Quelle autre condition a-t-on sur h ? La seule donnée de h suffit-elle pour connaître tout le
champ électromagnétique ?
On introduit le produit scalaire entre deux champs vectoriels complexes d’un espace hermitien :
< f I g > = f* (r).g (r). Le domaine d’intégration pour le problème est le volume du milieu
diélectrique considéré et les modes propres seront supposés satisfaire des conditions aux limites
périodiques sur les frontières du domaine d’intégration.
∫∫∫ rd3
4. Montrer que l’opérateur est un opérateur linéaire hermitien (on utilisera avec profit la
formule d’analyse vectorielle fournie en début d’énoncé).
Θ
ˆ
5. En considérant le produit scalaire < h I Θh >, montrer que ω est réelle (on prendra ω positive
par la suite).
ˆ
6. Que peut-on dire des modes propres de valeurs propres différentes ?
Par la suite on supposera les pulsations propres non dégénérées.
7. Définir l’énergie magnétique totale UM du milieu ainsi que l’énergie électrique totale UE.
8. Montrer que dans le cas d’un mode propre on a <UM > = <UE> où <…> désigne une moyenne
temporelle.
Invariance d’échelle.
9. Montrer que l’équation aux valeurs propres donnée en II.B.2. est invariante par les
changements d’échelle : r’ = s r et ω’ = ω/s où s est le facteur d’échelle.
10. Cette propriété a des conséquences pratiques remarquables. Soit un matériau dont on
cherche les propriétés optiques dans le domaine visible et présentant une longueur
caractéristique L de l’ordre du micromètre. Montrer que l’on peut tester les propriétés
électromagnétiques du matériau à l’échelle du cm en choisissant convenablement le domaine
spectral d’étude.
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