Physique - ENS Cachan

C39232
Ecole Normale Supérieure de Cachan
61 avenue du président Wilson
94230 CACHAN
__________
Concours d’admission en 3ème année
PHYSIQUE
Session 2009
__________
Épreuve de
PHYSIQUE
__________
Durée : 5 heures
__________
Aucun document n’est autorisé
L’usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non imprimante et sans document
d’accompagnement, est autorisé selon la circulaire n°99018 du 1er février 1999. De plus, une seule calculatrice
est admise sur la table, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
__________
Ce problème traite de la propagation d’onde dans un milieu présentant une périodicité spatiale.
On traite dans un premier temps la diffraction d’ondes électromagnétiques par un cristal. Puis on
s’intéresse à la propagation d’ondes dans un milieu diélectrique transparent mais inhomogène.
Le cas d’une structure présentant une périodicité spatiale est approfondi de manière à mettre en
lumière l’apparition de bandes de fréquences interdites pour la propagation. Afin de garder les calculs
analytiques, on se limite à la description d’un cristal photonique à une dimension.
Le cas de la diffusion quantique d’une particule par un potentiel unidimensionnel est alors abordé. On
traite d’abord le cas général puis on applique les résultats obtenus au cas d’un puits de potentiel de
profondeur finie. On étudie enfin le cas d’un potentiel présentant une périodicité spatiale, ce qui
permet de montrer les analogies existant avec le cas des ondes électromagnétiques.
Bien que formant un tout cohérent, le problème est constitué de parties largement indépendantes que
le candidat abordera dans l’ordre qui lui conviendra le mieux. On veillera cependant à bien respecter
la numérotation des questions abordées.
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Notations:
Dans tout le problème les vecteurs seront notés en gras sans flèche. Par exemple r désigne un
vecteur position alors que r désigne sa norme.
Le produit vectoriel sera noté par ∧. Ex : u ∧ v .
Les symboles suivants sont utilisés dans le problème ou par le candidat et devront être respectés tout
au long du sujet:
ħ la constante de Planck réduite
ε0 la permittivité du vide
μ0 la perméabilité magnétique du vide
c la célérité de la lumière dans le vide
La fonction exponentielle sera notée indifféremment exp ou e.
La fonction cosinus sera notée cos
La fonction sinus sera note sin
La fonction sinus hyperbolique sera notée sh
La fonction cosinus hyperbolique sera notée ch
L’opérateur nabla sera noté ∇
La notation cc, écrite après une expression complexe
expression.
i désigne le complexe tel que i2 = -1.
désigne le complexe conjugué de cette
Si le candidat est amené à utiliser dans son raisonnement des notations nouvelles, celles-ci devront
être clairement définies.
Données littérales et numériques :
On donne la formule d’analyse vectorielle suivante : ∇. (F ∧ G) = (∇ ∧ F). G – F. (∇ ∧ G)
On prendra
∫e
ikx
dx = 2 πδ(k ) où δ désigne la distribution de Dirac.
Vecteur densité de courant de probabilité :J=
h ⎡ψ*
⎤
∇ψ ⎥ + cc où ψ* désigne le complexe conjugué
⎢
2m ⎣ i
⎦
de ψ.
Masse du proton : mp= 1,67.10-27 kg.
Résultats sur la théorie des perturbations stationnaires en mécanique quantique :
Soit l’Hamiltonien Ĥ = Ĥ 0 + Ĥ1 . Les états propres de Ĥ0 de valeur propre En étant notés I φn >, le
déplacement en énergie du niveau E0 supposé non dégénéré est donné au deuxième ordre en Ĥ1 par
la relation :
|<φn| Ĥ1 |φ0>|2
ΔE0 = <φ0| Ĥ1 |φ0> + ∑
où l’on suppose que |<φn| Ĥ1 |φ0>| << IE0 -EnI
E0 -En
n ≠0
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PARTIE I : Propagation dans un milieu cristallin. Diffraction de Bragg.
Un solide cristallin est un système particulièrement simple présentant une périodicité spatiale. On
commence donc par envisager la propagation d’une onde électromagnétique dans ce type de
structure.
A. Condition de Bragg.
Le phénomène de diffraction des rayons X par les structures cristallines a été mis en évidence
dès 1912 par von Laue et par Bragg père et fils.
1. Justifier qualitativement que l’on utilise préférentiellement des rayons X pour ce type
d’expérience.
2. Donner l’ordre de grandeur de l’énergie caractéristique d’un photon dans le domaine spectral
concerné.
On considère un cristal monoatomique. L’onde incidente sera supposée plane de vecteur d’onde k0 ,
de pulsation ω et d’amplitude a0 (on se contente ici d’une représentation scalaire de l’onde). Un motif
du réseau placé à l’origine du repère diffuse cette onde incidente. On envisage exclusivement une
diffusion élastique dans une direction donnée par le vecteur d’onde k1.
3. Donner l’expression formelle de l’amplitude complexe a1D(r,t) de l’onde diffractée dans la
direction donnée par le vecteur d’onde k1. On définira clairement les notations introduites.
4. Pour un motif diffuseur placé au point repéré par le vecteur u, exprimer l’amplitude complexe
diffractée a’1D (r,t) en fonction de a1D(r,t), u et K= k1 – k0.
Soit un plan réticulaire du cristal. La direction de l’onde incidente forme un angle θ avec ce plan.
5. Montrer que la condition d’interférence constructive entre les ondes diffusées par chaque
atome de ce plan est vérifiée si k1 correspond à l’onde réfléchie selon les lois de SnellDescartes.
Soient deux plans réticulaires parallèles distants de d.
6. Montrer qu’il y a interférence constructive entre les ondes diffractées par le premier plan et
celles diffractées par le deuxième plan si l’on a :
2d sinθ = n λ
où n est un entier non-nul et où λ désigne la longueur d’onde de l’onde incidente.
Le réseau de Bravais associé au cristal est engendré par les vecteurs a1, a2, a3. On définit le
réseau réciproque par les vecteurs a*1, a*2, a*3 tels que a*1. a1 = 2π δij où δij désigne le symbole de
Kronecker.
7. Montrer que la condition d’interférence constructive peut également s’interpréter comme K
devant appartenir au réseau réciproque.
B. Application à un réseau cubique .
On considère le cas d’un réseau de Bravais cubique simple. on fait coïncider les directions des trois
vecteurs a1, a2, a3 avec les directions cartésiennes (Ox), (Oy), (Oz). On appellera a l’arête de la
maille primitive.
On éclaire un échantillon cubique monocristallin dont les arêtes sont parallèles à (Ox), (Oy) et (Oz).
On désigne par L la longueur d’un côté (L >> a). On garde les mêmes notations que précédemment.
1. Etablir que l’expression de l’intensité diffractée ID dans la direction k1 est donnée, à une
2
⎡ ⎛ xL ⎞ ⎤
⎢ sin ⎜ 2 ⎟ ⎥
constante multiplicative près, par ID(K) = f(Kx) f(Ky) f(Kz) où f (x ) = ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ .
⎢ ⎛ xa ⎞ ⎥
⎢ sin ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎦
⎣
2. Quelle est la période de la fonction f ?
3. Préciser la valeur de f(0).
4. Montrer que f présente un maximum très piqué autour de x=0.
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5. Tracer alors qualitativement l’allure de f(x).
6. Expliquer en quoi une expérience de diffraction permet de remonter au réseau de Bravais du
cristal.
7. Bien que l’on puisse préparer des échantillons monocristallins, une méthode expérimentale
pratique consiste à éclairer un échantillon préparé à partir de poudres. Expliquer l’avantage de
cette méthode.
8. Les résultats obtenus dans cette partie reposent sur des simplifications drastiques. Discuter
brièvement leur limitation. Comment seraient modifiés les résultats de la figure de diffraction
dans un cas plus proche de la réalité ?
On utilise également la diffraction d’électrons et de neutrons par un cristal pour obtenir des
indications sur sa structure.
9. Qu’apporte respectivement l’utilisation de ces particules ?
Partie II. Propagation d’une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique.
Contrôler et manipuler la lumière est une motivation très ancienne des physiciens. Le système le plus
simple permettant d’orienter la propagation de la lumière est évidemment le miroir. L’avènement des
fibres optiques a par ailleurs bouleversé les méthodes de communication.
A. Principe d’une multicouche diélectrique.
Le phénomène de réflexion se produit à chaque interface entre deux milieux transparents.
On envisage un milieu diélectrique transparent non absorbant d’indice n de valeur 3,0 (milieu
semi-conducteur).
Une onde électromagnétique de pulsation ω, d’amplitude a0 se propageant dans l’air (milieu
d’indice pris égal à 1,0) rencontre en incidence normale le milieu.
1. Rappeler l’expression des coefficients de réflexion r et de transmission t en amplitude pour
cette interface.
2. Calculer alors le coefficient de réflexion R en intensité. Faire l’application numérique.
On peut améliorer le coefficient de réflexion en disposant non pas d’un milieu diélectrique massif
mais d’une couche de diélectrique d’épaisseur e entourée d’air.
3. Exprimer l’amplitude de l’onde réfléchie. Montrer que, pour certaines valeurs de e, on peut
maximiser l’intensité de l’onde réfléchie.
4. Exprimer alors la nouvelle valeur du rapport entre intensité réfléchie et intensité incidente en
fonction des données et faire l’application numérique.
On peut encore améliorer la réflexion en répétant l’opération un grand nombre de fois. On alterne
alors couche d’air et couche de diélectrique de manière périodique.
5. Exprimer en fonction de e et des autres données, l’épaisseur eA des couches d’air qu’il faut
utiliser pour maximiser l’intensité réfléchie.
Il apparaît donc que pour une alternance périodique de milieux diélectriques on peut arriver à une
réflexion pratiquement égale à 100%. Les calculs élémentaires précédents semblent laisser croire
que cette réflexion totale n’apparaît que pour des fréquences très particulières. En fait le caractère
périodique du milieu donne naissance à des bandes de fréquences permises et interdites pour la
propagation (donc correspondant à une réflexion totale) exactement comme pour les électrons
dans une structure cristalline. On parle dans le cas de la lumière de cristal photonique.
La fabrication de cristaux photoniques date de 1991 et connaît depuis un développement d’autant
plus marqué par le besoin technologique de maîtriser au mieux la propagation de la lumière dans
les fibres optiques (entre autres).
On se propose donc, dans ce qui suit, de montrer comment la propagation de la lumière dans un
matériau hétérogène présentant des invariances par translation aboutit à l’apparition de bandes
de fréquences permises et interdites.
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B. Electromagnétisme dans un milieu hétérogène.
On dégage dans cette partie un certain nombre de résultats généraux pour la propagation en
milieu hétérogène. On développe en particulier un formalisme qui n’est pas sans rappeler celui
utilisé en mécanique quantique.
La notation z* désignera le complexe conjugué du nombre complexe z.
On considère un milieu diélectrique transparent linéaire, hétérogène dépourvu de propriétés
magnétiques.
Dans toute la suite du problème on désignera par ε(r) sa permittivité diélectrique relative.
On note H le vecteur excitation magnétique et E le vecteur champ électrique macroscopique.
1. Rappeler les équations différentielles satisfaites par E et H dans un tel milieu.
On cherche la forme des modes propres pour ce milieu. On écrit alors H = h(r)e-iωt (on ne
distinguera pas les notations complexes des notations réelles afin de ne pas alourdir les calculs
mais on se souviendra que les composantes du champ électromagnétiques sont, bien entendu,
réelles). On notera E(r)= e (r) e-iωt le champ électrique de ce mode propre.
2. Montrer que h est alors solution d’une équation aux valeurs propres :
ω2
Θ̂ h (r) = c2 h (r)
1
où Θ̂ désigne l’opérateur ∇∧[
∇∧ ].
ε( r )
3. Quelle autre condition a-t-on sur h ? La seule donnée de h suffit-elle pour connaître tout le
champ électromagnétique ?
On introduit le produit scalaire entre deux champs vectoriels complexes d’un espace hermitien :
<fIg>=
∫∫∫ d r f* (r).g (r). Le domaine d’intégration pour le problème est le volume du milieu
3
diélectrique considéré et les modes propres seront supposés satisfaire des conditions aux limites
périodiques sur les frontières du domaine d’intégration.
4. Montrer que l’opérateur Θ̂ est un opérateur linéaire hermitien (on utilisera avec profit la
formule d’analyse vectorielle fournie en début d’énoncé).
ˆ h >, montrer que ω est réelle (on prendra ω positive
5. En considérant le produit scalaire < h I Θ
par la suite).
6. Que peut-on dire des modes propres de valeurs propres différentes ?
Par la suite on supposera les pulsations propres non dégénérées.
7. Définir l’énergie magnétique totale UM du milieu ainsi que l’énergie électrique totale UE.
8. Montrer que dans le cas d’un mode propre on a <UM > = <UE> où <…> désigne une moyenne
temporelle.
Invariance d’échelle.
9. Montrer que l’équation aux valeurs propres donnée en II.B.2. est invariante par les
changements d’échelle : r’ = s r et ω’ = ω/s où s est le facteur d’échelle.
10. Cette propriété a des conséquences pratiques remarquables. Soit un matériau dont on
cherche les propriétés optiques dans le domaine visible et présentant une longueur
caractéristique L de l’ordre du micromètre. Montrer que l’on peut tester les propriétés
électromagnétiques du matériau à l’échelle du cm en choisissant convenablement le domaine
spectral d’étude.
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Principe variationnel.
L’équation stationnaire de Schrödinger peut s’obtenir en appliquant un principe variationnel à la
quantité E[ψ]=
ψ Ĥψ
ψ ψ
où Ĥ représente l’opérateur hamiltonien. On peut de même retrouver
l’équation aux valeurs propres pour les modes électromagnétiques en appliquant un principe
< h I Θ̂ h >
variationnel à la quantité U[h] =
.
<hIh>
∫∫∫ d r I∇ ∧ E I .
∫∫∫ d r ε(r) IE ( r)I
3
11. Montrer que U [h ] =
3
2
2
En déduire quel type de configuration spatiale le
champ électrique doit adopter pour minimiser U.
12. De même, quelle configuration spatiale doit adopter la fonction d’onde ψ, dans un potentiel
V(r), pour minimiser la fonctionnelle E[ψ] ?
13. Faire un bilan comparatif entre le cas envisagé ici et une particule quantique dans un potentiel
non uniforme V(r). On mettra clairement en évidence les grandeurs qui se correspondent. On
discutera également les propriétés mathématiques de l’équation aux valeurs propres dans les
deux cas. On précisera s’il existe une invariance d’échelle pour le cas de la particule
quantique.
Pour les parties C et D on se restreint à un problème unidimensionnel dans la direction (Ox). On a
donc ε ( r )= ε(x).
C. Propriétés des modes propres dans le cas d’un milieu présentant une symétrie par
translation discrète.
On envisage le cas où le milieu diélectrique présente une périodicité spatiale a dans la direction
(Ox) : ε (x + a) = ε(x).
On note a le vecteur a= auX.
On souhaite établir que les modes propres de Θ̂ peuvent s’écrire sous la forme :
h (x) = exp(ikx) u (x)
où u (x) est un champ vectoriel présentant la même périodicité que la structure diélectrique
(théorème de Bloch).
On note T̂n l’opérateur de translation d’un vecteur R= n a où n est un entier (R est donc un vecteur
du réseau unidimensionnel de Bravais associé à la structure périodique étudiée).
1. Montrer que T̂n et Θ̂ commutent. Quelle information cela apporte-t- il sur les états propres
ˆ ?
de Θ
Soit F(x) un vecteur propre de T̂n de valeur propre notée c(n).
2. Etablir la relation entre c(n) et c(1).
3. En déduire le théorème de Bloch pour le cas unidimensionnel.
La structure périodique est de longueur L dans la direction (Ox). On impose aux modes propres
recherchés des conditions périodiques aux limites de la structure diélectrique.
4. Quelles sont alors les valeurs possibles pour k= k uX ?
5. Expliquer pourquoi k n’est défini qu’à un vecteur du réseau réciproque près.
6. En déduire que pour l’étude des modes propres on pourra se restreindre à la première zone
de Brillouin que l’on définira.
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D. Bandes de fréquences interdites à la propagation pour une structure diélectrique
périodique.
On souhaite aboutir dans cette partie au fait que la périodicité spatiale de ε fait apparaître des
bandes de fréquence interdite à la propagation.
On se place dans le cas où l’inhomogénéité de la permittivité relative du milieu est très faible. On
écrit alors ε (x) = ε1 + ε2 (x) où ε1 est uniforme sur tout le milieu et Iε2 (x)I << ε1. Par ailleurs ε2 (x)
est périodique de période a.
Plus précisément on adopte le modèle suivant pour ε (x) :
a
• ε (x) = ε1 - δε pour 0 ≤ x <
2
a
• ε (x) = ε1 + δε pour ≤ x < a
2
où δε est une constante positive.
ε2(x)
1. Montrer que l’on peut écrire l’opérateur Θ̂ au premier ordre en
sous la forme
ε1
ˆ =Θ
ˆ 1 + Ŵ où Θ̂1 correspond au cas d’un diélectrique homogène. On précisera l’opérateur
Θ
Ŵ et on vérifiera qu’il est hermitien.
2. Préciser la forme des modes propres hk de Θ̂1 ainsi que les pulsations propres associées.
On souhaite traiter Wˆ comme une perturbation exactement comme dans le cas quantique.
3. Etablir que :
sin(K2p+1 x)
∇ ∧ [ 2p+1
∇∧.]
Ŵ = w 0
∑
p
(2p+1)2π
et w0 est à préciser en fonction de δε et ε1.
où p est un entier naturel, K2p+1 =
a
Pour la suite des calculs on n’envisage que les modes propres de Θ̂1 tels que hk soit polarisé
rectilignement suivant (Oy).
4. Montrer que la correction en fréquence au premier ordre apportée par Wˆ est nulle.
Bien que le décalage en fréquence soit nul au premier ordre, il faut néanmoins tenir compte des
conséquences liées à la périodicité spatiale de Wˆ telles qu’elles ont été établies à la partie II.C.
5. Tracer ω = ω(kx) en se restreignant à la première zone de Brillouin. En déduire qu’une
structure en bande apparaît et qu’il faudra noter dorénavant ω = ωn (kx) où n est un entier
désignant l’indice de bande. On fera apparaître explicitement les deux premières bandes sur
le schéma.
6. Montrer que Wˆ ne couple que les modes satisfaisant la condition de Bragg obtenue en I.A.7.
Les modes correspondant respectivement à kx= ±π/a sont donc particulièrement affectés par Wˆ .
7. Expliquer pourquoi on ne peut pas appliquer la théorie des perturbations proposée en début
d’énoncé à ces états.
Il est en fait nécessaire de raisonner dans le sous-espace engendré par ces deux modes.
ˆ =Θ
ˆ 1 + Ŵ s’écrit sous la forme :
8. Montrer que, restreint à ces deux modes, l’opérateur Θ
α
β⎞
ˆ ' = ⎛⎜ 0
Θ
⎜ β * α ⎟⎟ le prime rappelant la restriction du sous-espace sur lequel on raisonne et où α0
0⎠
⎝
et β sont à préciser en fonction de a, ε1 et δε (β* désignant le complexe conjugué de β).
9. Préciser les valeurs propres de Θ̂' que l’on notera λ+ et λ- (avec λ+ >λ-) ainsi que les modes
propres h+ (x) et h-(x) correspondants. Commenter les solutions obtenues.
10. Montrer qu’il y a apparition d’une bande de fréquence interdite.
11. En utilisant des considérations de symétries et les résultats de la question II.B.11., établir
l‘existence d’une différence d’énergie entre ces deux modes.
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Partie III. Diffusion quantique par un potentiel à une dimension. Applications.
On rappelle que la notation z* désigne le complexe conjugué du nombre complexe z.
A. Propriétés générales de la diffusion par un potentiel 1D.
Soit une particule de masse m dans un potentiel unidimensionnel V(x) tel que V(x) = 0 pour
a
x ≥ . On s’intéresse aux états stationnaires d’énergie E > 0 et on note φ(x ) la fonction d’onde
2
2mE
associée à l’un de ces états stationnaires. On pose k =
. Bien que le potentiel soit de
h2
forme quelconque dans l’intervalle ]-a/2 ; a/2[, on le désignera souvent par la suite comme une
barrière de potentiel (même s’il peut être attractif).
1. Vérifier que le courant de probabilité J associé à un état stationnaire est uniforme. Interpréter
physiquement ce résultat.
a
, de l’équation de Schrödinger stationnaire
2
pour l’énergie E que l’on prolonge sur tout l’axe (Ox) de sorte que :
a
• v(x)= eikx pour x < −
2
a
ikx
• v(x)= M1 (k) e + M3(k) e-ikx pour x > .
2
On note de même w(x) la fonction solution de l’équation de Schrödinger stationnaire pour l’énergie
a
E, dans l’intervalle x < , et telle que :
2
a
• w(x)= e-ikx pour x < −
2
a
• w(x)= M2 (k) eikx + M4(k) e-ikx pour x > .
2
On note v(x) la fonction solution, dans l’intervalle x <
2. Montrer que ϕ peut s’écrire sous la forme :
a
a. ϕ( x) = b+eikx + b- e-ikx pour x < −
2
a
b. ϕ( x) = d+eikx + d- e-ikx pour x >
2
3. La fonction d’onde ϕ devant satisfaire des conditions de raccordement que l’on indiquera,
montrer que l’on a nécessairement une relation linéaire entre les vecteurs (b+,b-) et (d+,d-) du
⎛d+ ⎞
⎛ b+ ⎞
type : ⎜⎜ ⎟⎟ = M (k )⎜⎜ ⎟⎟ où M(k) est une matrice dépendant de l’état d’énergie E.
d
⎝ −⎠
⎝ b− ⎠
⎛ M1 M 2 ⎞
⎟⎟ . On appellera cette matrice, la matrice de passage pour la
4. Etablir que M = ⎜⎜
⎝ M3 M4 ⎠
barrière de potentiel.
5. Montrer que l’on a v(x)= w* (x) .
6. En déduire que M3= M*2 et M4 = M*1.
Page 8 sur 11
7. Etablir l’expression du courant de probabilité pour x < −
2
a
en fonction de h ,m ,k , b+ et b-.
2
2
8. En déduire que M1 − M 3 = 1 .
9. On s’intéresse au cas particulier où l’on a d- = 0.
a.
Expliquer pourquoi ce cas correspond physiquement à celui de particules incidentes
arrivant de -∞ (on interprétera en particulier chaque terme présent dans l’expression
de ϕ(x)).
b.
Définir alors un coefficient de réflexion en amplitude Ar et de transmission en
amplitude At en fonction de M1 et M3.
c.
Définir de même le coefficient de réflexion R et de transmission T, par le potentiel V,
pour la probabilité de présence. Vérifier que l’on a bien R+T = 1.
d.
Que remarque-t-on pour T ? Comparer avec le cas classique.
10. On envisage des particules incidentes venant de +∞.
a.
Etablir à nouveau l’expression des coefficients de réflexion et de transmission pour ce
cas de figure.
b.
Comparer aux résultats de la question précédente. Interpréter.
B. Cas d’un puits de profondeur finie. Effet Ramsauer-Townsend.
On désire appliquer les considérations précédentes au cas d’un puits de potentiel tel que, avec
V 0 >0 :
a
• V(x) = 0 pour x ≥
2
a
• V(x) = -V0 pour x <
2
On étudie donc un état de diffusion d’énergie E >0 et on note ϕ(x) la fonction d’onde de l’état
a
stationnaire correspondant. Les notations introduites dans la partie III.A. restent valables pour x ≥ .
2
2m
a
(V0 + E ) .
1. Préciser la forme mathématique de ϕ(x) pour x < . On introduira k' =
2
h2
Dans toute la suite de cette partie, on envisage uniquement le cas d’un faisceau de particules
incident venant de -∞.
2. Ecrire le système linéaire qui découle des différentes conditions de continuité de l’état
stationnaire envisagé.
3. Montrer que le coefficient Ar admet pour expression :
q2
i
sin(k' a)
2kk'
e − ika
Ar =
k' 2 +k 2
cos (k' a) − i
sin(k' a)
2kk'
2m
où q =
V0 .
h2
Pour faciliter les manipulations calculatoires il est conseillé d’introduire α=ka, β=k’a,
k' 2 + k 2
k' 2 − k 2
q2
et sh (λ ) =
.
ch(λ ) =
=
2kk'
2kk'
2kk'
4. A quelle condition sur E le potentiel est-il « transparent » pour les particules incidentes ?
5. Cette condition est-elle interprétable classiquement en terme de vecteur d’onde?
6. Tracer alors qualitativement le coefficient de réflexion R en fonction de E.
Cette transparence d’un potentiel lors de la diffusion de particules a été mise en évidence la
première fois lors de la diffusion d’électrons par des atomes de gaz rare par les physiciens
Page 9 sur 11
Ramsauer et Townsend en 1921 . Ils ont observé que la section efficace de diffusion devenait très
petite pour une certaine valeur de l’énergie.
Cet effet est également visible lors la diffusion à basse énergie entre deux atomes d’Hélium (4He).
On présente ci-dessous la forme de la section efficace de diffusion en fonction de la vitesse
relative. On a surimposé les relevés expérimentaux avec une courbe théorique.
On souhaite rendre compte à partir de notre modèle 1D de certaines caractéristiques de cette
courbe. On note M la masse d’un atome d’hélium.
7. Le potentiel d’interaction entre deux atomes d’Hélium est du type Lennard-Jones avec une
profondeur de quelques meV. Tracer qualitativement ce potentiel et commenter la valeur
particulièrement faible de la profondeur du puits.
8. Quelle forme qualitative devrait avoir la courbe si on traitait la diffusion classiquement ?
On modélise le potentiel d’interaction entre deux atomes d’Hélium par le potentiel 1D étudié
auparavant en prenant a= 1,0.10-10 m. On cherche la profondeur V0 correspondante à partir des
résultats expérimentaux. On admet que le coefficient de diffusion en amplitude pour le cas 3D
correspond à l’amplitude de réflexion pour le cas 1D.
9. Dans quel référentiel doit-on se placer pour utiliser directement les résultats déjà établis ?
Quelle valeur de m doit-on considérer ?
On interprète le premier minimum de cette courbe comme étant dû à l’effet Ramsauer-Towsend.
10. Quelle valeur de V0 en déduit-on ? On justifiera les calculs.
11. En déduire que le deuxième et le troisième minimum ne peuvent pas s’expliquer par cet effet.
C. Diffusion par un potentiel 1D se répétant dans l’espace.
On cherche ici à mettre en évidence l’apparition de bandes d’énergie permises et interdites pour
la particule quantique lorsqu’elle se trouve dans un potentiel périodique. On se replace alors dans
le cas général en considérant un potentiel U(x) correspondant au potentiel V(x) de la partie III.A
répété N fois.
Plus précisément on définit U(x) de la manière suivante :
a
• U(x) = 0 pour x ≤ −
2
a
• U(x)= V(x) pour x <
2
puis on répète N fois le motif en le centrant sur xp= p a où p est un entier valant respectivement
0,1,…N-1.
Page 10 sur 11
Enfin on pose :
a
2
On s’intéresse à nouveau à un état de diffusion stationnaire de fonction d’onde ϕ(x) et d’énergie
2mE
.
E >0. On pose de nouveau k =
h2
On introduit les notations suivantes utilisant les fonctions v et w introduites dans la partie III.A :
a
• ϕ (x) = A0 eikx + A’0 e-ikx pour x ≤ −
2
a
• ϕ (x) = A1 v(x) + A’ 1w(x) x ≤
2
a
a
• ϕ (x) = Ap+1v(x-pa) + A’p+1 w(x -pa) pour pa − ≤ x ≤ pa + p=0,…N-1
2
2
a
• ϕ (x) = C0 eikx + C’0 e-ikx pour x > (N − 1)a +
2
•
U(x) = 0 pour x ≥ (N − 1)a +
1. Montrer que A1= A0 et A’1 = A’0 (on pourra raisonner en considérant la première barrière de
potentielle seule).
2. En utilisant les résultats de la partie III.A appliqués au cas où la deuxième barrière de
⎛ A2 ⎞
⎛ A1 ⎞
potentiel serait seule, montrer que l’on a : ⎜⎜ ⎟⎟ = D (k )M (k )⎜⎜ ⎟⎟
⎝ A' 2 ⎠
⎝ A' 1 ⎠
⎛ e ika
où M(k) est la matrice de passage de la partie III.A et D (k ) = ⎜⎜
⎝ 0
On posera par la suite Q(k) = D(k)M(k).
0 ⎞
⎟.
e ⎟⎠
−ika
⎛ C0 ⎞
N −1 ⎛ A0 ⎞
3. En déduire que ⎜⎜ ⎟⎟ = M (k )[Q (k )] ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ C' 0 ⎠
⎝ A' 0 ⎠
Il apparaît clairement que les propriétés de la matrice Q(k) vont influencer grandement la
propagation d’une particule d’énergie E dans ce potentiel.
4. Ecrire le polynôme caractéristique de la matrice Q. On fera apparaître la quantité X(k) =
Re e ikaM1 (k ) .
5. Quelles sont les formes possibles pour les valeurs propres de la matrice Q selon la valeur de
X (k ) ?
[
]
On suppose N très grand (typiquement N≈1023).
6. On se place dans la base des vecteurs propres de Q. En raisonnant qualitativement sur le
coefficient de transmission en probabilité pour la barrière complète, montrer que les énergies
E telles que X (k ) > 1, correspondent à des énergies interdites.
7. En raisonnant sur le coefficient de transmission d’une seule barrière, donner la limite de
M1 (k ) pour E tendant vers l’infini.
8. En déduire une représentation graphique qualitative de X en fonction de E sur laquelle on fera
explicitement apparaître les bandes d’énergie permises et interdites.
FIN DU PROBLEME
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