formulaireMaxwell

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Quelques rappels concernant
LA PROPAGATION DES ONDES
ELECTROMAGNETIQUES
(par Jacques Verdier, dept GE, INSA Lyon)
I- Equations de Maxwell
Elles régissent les variations des vecteurs (
,e
,h
,d
b
) dans le temps et dans l’espace,
compte tenu de l’existence de sources primaires (
,ip
p
q
) et des courants et charges qu’elles
créent (
,iC
C
q
). En valeurs instantanées complexes on écrit :
0bdivqqddiv
ii
t
d
hrot
t
b
erot
CP
CP
Elles doivent être complétées par l’équation de conservation des charges et des
courants :
0
t
qq
iidiv CP
CP 
En règle quasi-générale, on se trouve en dehors du domaine où se trouvent les sources
primaires. En conséquence, les équations restent valables en ayant pris soin de ne plus tenir
compte des sources (
,ip
p
q
).
Si le milieu considéré est homogène et isotrope les équations de Maxwell s’écrivent :
0bdivqddiv
t
e
ieied
t
e
ehrot
hb
t
h
erot
c
dc
En régime sinusoïdal, elles deviennent :
0BdivQDdiv
EjEHrotHjErot
C
,E
,H
,D
,B
C
Q
sont les amplitudes complexes des grandeurs correspondantes.

307
II- Permittivité équivalente d’un milieu diélectrique à pertes
- Milieu sans perte ( = 0 et  réel)
EjHrot 
- Milieu avec pertes conductrices ( fini et  réel)
EjEjEHrot e
avec :
 j
e
e
est la permittivité équivalente ; elle peut s’écrire également sous la forme :
 jexp/ 2
2
e
avec :
 arctg
 est l’angle de pertes du diélectrique et
tg
tg  est le facteur de pertes du diélectrique
- Milieu avec pertes conductrices et diélectriques ( fini et  complexe)
EjEjEHrot e
avec :
''etj' e
e
e
e
est la permittivité équivalente et
e
est la conductivité équivalente.

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III- Interface entre deux milieux
- Interface sans sources entre deux milieux quelconques
Ces deux milieux sont caractérisés par (1, 1, 1) et (2, 2, 2) et sont séparés par une
interface sur laquelle il n’y a ni charges, ni courants. Cas des diélectriques parfaits ou à pertes
et des conducteurs imparfaits.
 Continuité des composantes tangentielles des champs (
,E
et
H
)
 Continuité des composantes normales des inductions (
,D
et
B
)
- Interface avec un conducteur parfait
Le milieu 2 est caractérisée par  = . Les champs
E
et
H
sont nuls à l’intérieur du
conducteur (profondeur de pénétration  = 0). Il y a, à l’interface des deux milieux, apparition
de courants superficiels
)m/A(IS
et de charges superficielles
)m/Cb(Q 2
S
.
Sur l’interface  , nous avons les relations suivantes :
(indice 1 pour le milieu 1 et
n
normale à , orienté de 2  1) :
0B.n
QD.n
IHn
0En
1
S
1
S1
1
 Composante tangentielle du champ
E
est nulle.
 Composante normale du champ
H
est nulle.
Remarque : Ces équations et ces conclusions restent valides pour un bon conducteur caractérisé par
  100, ce qui est vérifié pour  10012.
- Interface étant un feuillet conducteur
Ces deux milieux sont caractérisés par (1, 1, 1) et (2, 2, 2) et sont séparés par une
couche conductrice d’épaisseur nulle si  =  ou d’épaisseur < 10 si la conductivité est

309
finie. Dans ces conditions le feuillet est porteur de courants et de charges superficiels
S
I
et
S
Q
. En conséquence, nous obtenons les relations suivantes (
n
normale à , orienté de 2  1) :
0)BB.(n
Q)DD.(n
I)HH(n
0)EE(n
21
S
21
S21
21
IV- Propagation des OEM en espace libre diélectrique
- Cas des diélectriques sans perte
Une onde OEM est constituée d’un champ électrique
E
et d’un champ magnétique
H
qui forment un trièdre direct avec la direction de propagation ; soit
u
le vecteur unitaire de
cette propagation, nous avons :
 uHE
et
 EuH
 et  sont la permittivité et la perméabilité magnétique du milieu ou s’effectue la
propagation. Dans le cas de l’air ou du vide :
 = 0 = 1/(36.109) en (F/m) et  = 0 = 4.10-7 en (H/m)
D’autre part
E
et
H
forment un plan perpendiculaire à la direction de propagation que
l’on appelle le plan d’onde.
Les équations de propagation pour les champs
e
et
h
(exprimés en valeurs
instantanées complexes) s’écrivent sous la forme suivante :
0
te
e2
2
et
0
th
h2
2

310
Elles deviennent dans le cas où la propagation se fait selon la direction Oz :
0
t
e
z
e
2
2
2
2
et
0
th zh
2
2
2
2
Le rapport
1 v
représente la vitesse de propagation de l’onde. Sachant que
généralement on considère que
1
r
(sauf milieux ionisés et magnétiques) on écrit :
n
cc11
v
rr00
où n est l’indice de réfraction du milieu et r est sa permittivité relative ou constante
diélectrique.
En régime sinusoïdal, ces équations admettent des solutions de la forme :
)kzt(jexpE)t,z(e 
et
)kzt(jexpH)t,z(h 
avec :
2
v
k
(paramètre de phase de l’onde)
Le rapport des modules de
E
et
H
exprime l’impédance d’onde du milieu considéré (en ) :
H
E
c’est une quantité réelle.
Remarques : - Le même formalisme mathématique peut être appliqué aux milieux à pertes en prenant soin
de tenir compte de la permittivité équivalente. La solution de l’équation de propagation se met
sous la forme
)zexp()tjexp(Ee 
où
 j
est le paramètre de propagation.
Dans un milieu à faibles pertes (
1
'
e
) on note que
f
.
L’impédance d’onde utilise la permittivité équivalente ; elle est par conséquent complexe dans
un milieu à pertes.
- Dans un conducteur imparfait, on peut faire la même remarque sur la solution de l’équation
de propagation avec
f