2. Repère du plan – Coordonnées d`un point – Configurations planes

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Activité introductive :
• Démonter avec les milieux
ABCD est le trapèze ci-contre telle que
(
)
)//(BCAD
I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [BD].
a) Démontrer que les droites (IJ) et (AD) sont parallèles, ainsi que (IJ) et (BC).
b) En déduire que la droite (IJ) coupe le segment [CD] en son milieu
Algorithme : Programmation du calcul des coordonnés du milieu d’un segment
2.1. repère du plan
1. Définition d’un repère orthonormé
Définition : Un repère orthonormé du plan est défini par trois points (O,I,J) formant un
triangle rectangle isocèle de sommet O.
Remarques :
• On peut définir un repère orthogonal. Dans ce cas, le triangle est seulement
rectangle en O.
• On rencontre aussi la notation vectorielle pour définir un repère.
J
O I
2. Repère du plan – Coordonnées d’un
point – Configurations planes
O
I
J
D
A
B
C
I J
i
r
j
r
A savoir…
Un vecteur est défini par :
• Une direction
• Un sens
• Une longueur
Se référer au thème sur les
vecteurs

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2.2. Coordonnées d’un point du plan
1. Propriété – définition
Propriété : Dans un repère orthonormé (O,I,J) tout point M du plan est repéré par un unique
couple
(
)
MM
yx , de réels, appelé couple de coordonnées de M
X
M
est l’abscisse de M et y
M
est l’ordonnée de M.
On note M
(
)
MM
yx , .
Exemple : Déterminer les coordonnées de A, B, C dans le repère
(
)
JIO ,,
Placer les points de coordonnées suivantes :
(
)
3;2−P ,
(
)
5(;0 −Q ;
(
)
5,2;1−R
2. Propriétés
Propriété : Soit
(
)
JIO ,, un repère orthonormé du plan, A et B les points de coordonnées
respectives
(
)
x y
A A
, et
(
)
x y
B B
, . Appelons I le milieu du segment
[
]
AB . Ses coordonnées
(
)
x y
I I
, sont telles que : xx x
IA B
=
+
2
et yy y
IA B
=
+
2
Démonstration :
1
er
cas :
BA
xx = ou
BA
yy =
On suppose que
BA
yy = et
AB
xx > .
I est le milieu de [AB] si et seulement si, I
∈
[AB] et IA=IB, c’est à dire
BAI
yyy ==
et
IBAI
xxxx −=− , ce qui donne yy y
IA B
=
+
2
et xx x
IA B
=
+
2
.
A B
x
A
x
I
x
B
I
y
I

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2
ème
cas :
BA
xx ≠ et
BA
yy ≠
On note C le point tel que
BC
xx = et
AC
yy =
Le triangle ABC est rectangle C. On note K le milieu de [AC] ; d’après le théorème des
milieux, la droite (IK) est parallèle à (BC). Donc
2
CA
KI
xx
xx + == (Voir 1
er
cas), soit
xx x
IA B
=
+
2
.
On procèderait de même avec le milieu L de [BC] pour établir que yy y
IA B
=
+
2
Propriétés : Soit
(
)
JIO ,, un repère orthonormé du plan, A et B les points de coordonnées
respectives
(
)
x y
A A
, et
(
)
x y
B B
, . La distance entre les points A et B est :
AB =
( ) ( )
22 ABAB
yyxx −+−
Démonstration.
On suppose comme sur la figure que
BA
yy > et
AB
xx > .
On note C le point tel que
BC
xx = et
AC
yy =
On utilise dans le triangle ABC rectangle en C le théorème de Pythagore pour obtenir :
(
)
(
)
22
222
ABAB
yyxxBCACAB −+−=+= . Donc AB =
( ) ( )
22
ABAB
yyxx −+− .
Exemple.
2.3. Configurations du plan
1. Les triangles
Propriétés :
• Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes au centre O de son
cercle circonscrit.
• Les médianes d’un triangle sont courantes au centre de gravité du triangle.
• Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en l’orthocentre H du triangle
• Les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes au centre I de son
cercle inscrit.
Médiatrice Médiane Hauteur Bissectrice
A
B
x
A
x
I
x
B
y
I
C
y
B
y
A
I
K

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Propriétés :
• Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base.
• Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
Propriétés du triangle rectangle :
• Un triangle ABC est rectangle en A si, et seulement si, le côté [BC] est le diamètre de
son cercle circonscrit.
• Dans un triangle ABC rectangle en A,
BC
BA
CB == ˆ sin
ˆ
cos
Théorème de Pythagore :
• Si ABC est un triangle rectangle en A, alors
222
BCACAB =+
• Réciproquement, si
222
BCACAB =+ , alors ABC est un triangle rectangle en A
Théorème de Thalès
Soit A, B et C trois points alignés, A, B’ et C’ trois points alignés dans le même ordre,
distincts 2 à deux.
• Si
(
)
(
)
CCBB
′
′
// , alors
C
A
BA
AC
AB ′
′
=
• Réciproquement, si
C
A
BA
AC
AB ′
′
= , alors
(
)
(
)
CCBB
′
′
//
Angles alternes internes
Deux angles alternes internes définis par deux droites parallèles et une sécante sont de même
mesure.
A
B C
B’ C’ B
C
B’
C’
A

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2. Les quadrilatères
Définitions Propriétés caractéristiques
Un parallélogramme est un
quadrilatère qui a … Ses côtés opposés égaux deux à deux Des diagonales qui ont même milieu.
Un rectangle est un
quadrilatère qui a … Quatre angles droits Des diagonales qui ont même milieu et qui sont de même
longueur.
Un losange est un
quadrilatère qui a … Quatre côtés de même longueur Des diagonales qui ont même milieu et qui sont
perpendiculaires.
Un carré est un quadrilatère
qui a … Quatre angles droits et quatre côtés de même longueur Des diagonales qui ont même milieux, la même longueur et
qui sont perpendiculaires.
Propriétés :
• Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.
• Un rectangle a deux axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés) et un centre de
symétrie (le point d’intersection de ses diagonales).
• Un losange a deux axes de symétrie (ses diagonales) et un centre de symétrie (le point
d’intersection de ses diagonales).
3. Conjecturer, démontrer
• ATTENTION
o Vérifier une affirmation sur quelques exemples n’est pas démontrer
o Voir sur une figure n’est pas démontrer
• Conjecturer, c’est émettre des hypothèses (deviner)
• Construire, c’est dessiner, en justifiant par des définitions et/ou des propriétés, la
figure exécutée
• Prouver, montrer, démontrer, c’est réaliser un raisonnement rédigé à partir des
données du problème, grâce aux outils du cours (définitions ou propriétés)
• En déduire que… c’est utiliser impérativement le résultat de la question précédente
dans un nouveau raisonnement
Comment organiser une démonstration ?
 Enoncer les Hypothèses
On sait que …
 Citer le théorème ou la propriété utilisée
Or, d’après…
 Conclure
Donc, …