2. Repère du plan – Coordonnées d`un point – Configurations planes

2. Repère du plan – Coordonnées d’un
point – Configurations planes
D
A
Activité introductive :
• Démonter avec les milieux
I
ABCD est le trapèze ci-contre telle que ( AD ) //(BC )
J
C
B
I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [BD].
a) Démontrer que les droites (IJ) et (AD) sont parallèles, ainsi que (IJ) et (BC).
b) En déduire que la droite (IJ) coupe le segment [CD] en son milieu
Algorithme : Programmation du calcul des coordonnés du milieu d’un segment
2.1. repère du plan
1.
Définition d’un repère orthonormé
Définition : Un repère orthonormé du plan est défini par trois points (O,I,J) formant un
triangle rectangle isocèle de sommet O.
J
O
I
Remarques :
• On peut définir un repère orthogonal. Dans ce cas, le triangle est seulement
rectangle en O.
• On rencontre aussi la notation vectorielle pour définir un repère.
J
A savoir…
Un vecteur est défini par :
• Une direction
• Un sens
• Une longueur
r
j
O
r
i
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I
Se référer au thème sur les
vecteurs
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2.2. Coordonnées d’un point du plan
1.
Propriété – définition
Propriété : Dans un repère orthonormé (O,I,J) tout point M du plan est repéré par un unique
couple ( x M , y M ) de réels, appelé couple de coordonnées de M
XM est l’abscisse de M et yM est l’ordonnée de M.
On note M ( x M , y M ) .
Exemple :
Déterminer les coordonnées de A, B, C dans le repère (O, I , J )
Placer les points de coordonnées suivantes : P(− 2;3) , Q(0; (−5) ; R(1;−2,5)
2.
Propriétés
Propriété : Soit (O, I , J ) un repère orthonormé du plan, A et B les points de coordonnées
respectives ( x A , y A ) et ( x B , y B ) . Appelons I le milieu du segment [ AB ] . Ses coordonnées
x +x
y +y
( x I , y I ) sont telles que : x I = A B et y I = A B
2
2
A
B
yI
I
Démonstration :
1er cas : x A = x B ou y A = y B
xB
xA
xI
On suppose que y A = y B et x B > x A .
I est le milieu de [AB] si et seulement si, I∈ [AB] et IA=IB, c’est à dire y I = y A = y B
y + yB
x + xB
et x I = A
.
et x I − x A = x B − x I , ce qui donne y I = A
2
2
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B
yB
I
yI
A
C
yA
K
2ème cas : x A ≠ x B et y A ≠ y B
On note C le point tel que xC = x B et yC = y A
xI
xA
xB
Le triangle ABC est rectangle C. On note K le milieu de [AC] ; d’après le théorème des
x + xC
milieux, la droite (IK) est parallèle à (BC). Donc x I = x K = A
(Voir 1er cas), soit
2
x A + xB
xI =
.
2
y + yB
On procèderait de même avec le milieu L de [BC] pour établir que y I = A
2
Propriétés : Soit (O, I , J ) un repère orthonormé du plan, A et B les points de coordonnées
respectives ( x A , y A ) et ( x B , y B ) . La distance entre les points A et B est :
AB =
( x B − x A )2 + ( y B − y A )2
Démonstration.
On suppose comme sur la figure que y A > y B et x B > x A .
On note C le point tel que xC = x B et yC = y A
On utilise dans le triangle ABC rectangle en C le théorème de Pythagore pour obtenir :
AB 2 = AC 2 + BC 2 = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) . Donc AB =
2
2
( x B − x A )2 + ( y B − y A )2 .
Exemple.
2.3. Configurations du plan
1.
Les triangles
Propriétés :
• Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes au centre O de son
cercle circonscrit.
• Les médianes d’un triangle sont courantes au centre de gravité du triangle.
• Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en l’orthocentre H du triangle
• Les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes au centre I de son
cercle inscrit.
Médiatrice
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Médiane
Hauteur
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Bissectrice
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Propriétés :
• Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base.
• Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
Propriétés du triangle rectangle :
• Un triangle ABC est rectangle en A si, et seulement si, le côté [BC] est le diamètre de
son cercle circonscrit.
BA
• Dans un triangle ABC rectangle en A, cos Bˆ = sin Cˆ =
BC
Théorème de Pythagore :
• Si ABC est un triangle rectangle en A, alors AB 2 + AC 2 = BC 2
• Réciproquement, si AB 2 + AC 2 = BC 2 , alors ABC est un triangle rectangle en A
Théorème de Thalès
Soit A, B et C trois points alignés, A, B’ et C’ trois points alignés dans le même ordre,
distincts 2 à deux.
AB AB ′
• Si (BB ′) // (CC ′) , alors
=
AC AC ′
AB AB ′
• Réciproquement, si
=
, alors (BB ′) // (CC ′)
AC AC ′
C
B
C
B’
A
A
B’
B
C’
C’
Angles alternes internes
Deux angles alternes internes définis par deux droites parallèles et une sécante sont de même
mesure.
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2.
Les quadrilatères
Définitions
Propriétés caractéristiques
Un parallélogramme est un Ses côtés opposés égaux Des diagonales qui ont même
quadrilatère qui a …
deux à deux
milieu.
Un
rectangle
est
un Quatre angles droits
Des diagonales qui ont même
quadrilatère qui a …
milieu et qui sont de même
longueur.
Un
losange
est
un Quatre côtés de même Des diagonales qui ont même
quadrilatère qui a …
longueur
milieu
et
qui
sont
perpendiculaires.
Un carré est un quadrilatère Quatre angles droits et quatre Des diagonales qui ont même
qui a …
côtés de même longueur
milieux, la même longueur et
qui sont perpendiculaires.
Propriétés :
• Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.
• Un rectangle a deux axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés) et un centre de
symétrie (le point d’intersection de ses diagonales).
• Un losange a deux axes de symétrie (ses diagonales) et un centre de symétrie (le point
d’intersection de ses diagonales).
3.
Conjecturer, démontrer
• ATTENTION
o Vérifier une affirmation sur quelques exemples n’est pas démontrer
o Voir sur une figure n’est pas démontrer
• Conjecturer, c’est émettre des hypothèses (deviner)
• Construire, c’est dessiner, en justifiant par des définitions et/ou des propriétés, la
figure exécutée
• Prouver, montrer, démontrer, c’est réaliser un raisonnement rédigé à partir des
données du problème, grâce aux outils du cours (définitions ou propriétés)
• En déduire que… c’est utiliser impérativement le résultat de la question précédente
dans un nouveau raisonnement
Comment organiser une démonstration ?
Enoncer les Hypothèses
On sait que …
Citer le théorème ou la propriété utilisée
Or, d’après…
Conclure
Donc, …
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