STATISTIQUES IUT PREMIERE PARTIE

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PREMIERE PARTIE
NOTIONS ELEMENTAIRES DE STATISTIQUE
PROBABILISTE
1. Définitions de la probabilité
Afin d'éviter des démonstrations très théoriques, nous donnons les définitions tirées de la norme NF
X06-002.
a) Définition déterministe de la probabilité (ou à priori)
Lors de la réalisation d’un événement dont le nombre d’issues favorables peut être calculé au moyen
de l’analyse combinatoire (compte tenu de l’hypothèse d’équiprobabilité des issues), on définit la
probabilité de cet événement par le rapport du nombre d'issues favorables (h) au nombre d'issues
possibles (n) :
P=
h
n
C’est la définition classique que l’on utilise pour évaluer les issues d’un jeu de hasard.
Exemple : La probabilité pour obtenir "pile" après un lancé d’une pièce parfaitement symétrique est de
0,5.
b) Définition empirique de la probabilité
Si après un grand nombre de réalisations d’une expérience (n réalisations) on observe h fois l’issue
souhaitée, la probabilité de cet événement est la limite de la fréquence des observations de l'issue
souhaitée :
 h
P = n lim
→ ∞  n 
En réalité, la fréquence observée en fonction de n oscille autour de sa valeur théorique et s'en
rapproche indéfiniment lorsque n→∞ conformément à la "loi des grands nombres".
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2. Variables aléatoires
a) Définition
Considérons un événement comportant un certain nombre d’issues.
Si on associe un nombre à chaque issue, ou à chaque ensemble d’issues, ce nombre est appelé
variable aléatoire ou aléa numérique. On la note par une lettre majuscule X, par contre les valeurs
particulières de la variable aléatoire sont notées x ou xi.
Exemple :
jeu de pile ou face :
Les issues du jeu sont "pile" ou "face".
On peut associer à "pile" X = 1 et à "face" X = -1 ou encore 0 et 1 ou tout autre nombre.
X est alors une variable aléatoire.
b) Continuité et discontinuité d’une variable aléatoire, notion de densité de probabilité
♦ Variable discontinue ou discrète
C’est une variable qui ne peut prendre que des valeurs isolées séparées par un intervalle fini,
c’est-à-dire non infinitésimal. Elle est généralement représentée par un entier.
On peut associer une probabilité à une variable aléatoire discrète.
♦ Variable continue
C’est une variable qui peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle fini ou infini. Cela signifie que
la différence entre deux valeurs voisines peut être aussi petite que l’on peut l’imaginer. C’est un
nombre réel.
On ne peut pas associer une probabilité à une variable aléatoire continue. La probabilité pour
que X prenne une valeur particulière x dans R (l'ensemble des nombres réels) est toujours nulle. Par
contre on peut associer à x une densité de probabilité f(x) et on peut associer à un intervalle [x,
x+∆x] une probabilité non nulle.
La densité de probabilité est définie de la même manière que la densité d’un milieu continu.
Fig.1
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f(x) = lim
P(x ≤ X ≤ x + ∆x)
∆x→0
∆x
Si l’intervalle est assez petit pour qu’on puisse considérer f(x) comme constant :
P(x ≤ X ≤ x + ∆x) = f(x) ∆x
On constate bien que cette probabilité tend vers 0 lorsque ∆x tend vers 0.
Exemple :
On s’intéresse à la taille des personnes d’un certain âge. Si la taille est considérée comme une
variable aléatoire continue, donc un nombre réel (un nombre réel est un nombre infiniment précis),
rien n’empêche d’examiner la probabilité pour rencontrer un individu de taille 1,7500 m ou même
1,7543 m.
La probabilité de rencontrer dans la population une valeur numérique aussi précise est nulle. Il est
d’ailleurs impossible de mesurer la taille d’une personne avec une telle précision. Par contre il existe
un certain nombre d’individus ayant une taille comprise entre 1,75 et 1,76 m si l’échantillon est
suffisamment grand. Il faut donc "discrétiser" une variable aléatoire continue pour pouvoir en définir
une probabilité non nulle.
3. Généralités sur les lois de probabilités
a) Définition
Une loi de probabilité est une relation permettant d’associer une probabilité ou une densité de
probabilité à chaque valeur d’une variable aléatoire.
b) Représentation d’une loi de probabilité
Si la variable est discrète : représentation comme un diagramme en bâtons.
p(x)
X
Fig. 2
Diagramme en bâtons
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- Pour une variable continue on représente la fonction densité de probabilité (voir figure 1)
c) Fonction de répartition d’une loi de probabilité
La fonction cumulative de distribution, ou plus simplement fonction de distribution F ou fonction de
répartition F est définie par :
F(x) = P(X < x)
d) Représentation graphique de la fonction de répartition
La courbe est encore appelée "courbe des probabilités cumulées". Dans le cas d’une loi continue F(x)
représente la surface délimitée par la courbe représentation de la loi entre - ∞ et l’abscisse x.
Fig. 3
Lois de probabilité et fonctions de répartition (variables discrètes et continues)
e) Fractile d'ordre α : t(α)
Dans le cas d’une loi continue le fractile t(α) est l’abscisse x telle que la surface délimitée par la loi de
probabilité entre - ∞ et t(α) soit égale à α. Les fonctions F(t) et t(α) sont des fonctions réciproques
l’une de l’autre.
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Si tα est le fractile d’ordre α on a les relations :
P( X ≤ t α) = α
P( X ≥ t α ) = 1 - α ou F(t α) = α
Fig. 4
Fractile tα d’une loi statistique encore appelé
“ fractile inférieur ”
Fig. 5
Fractile t(1-α) d’une loi statistique encore appelé
“ fractile supérieur ”
On s’intéresse également au fractile t(1-α) qui joue le même rôle que tα sur la partie des x élevés (Fig5).
On démontre que :
P( X ≥ t 1-α) = α
P( X ≤ t 1-α) = 1 - α ou 1 - F(t 1-α) = α
Si la loi statistique est symétrique et centrée on a la relation tα = -t(1-α)
Les fractiles symétriques délimitent chacun une surface extérieure de α/2. La surface totale
intérieure à l’intervalle interfractile est 1-α.
Fig. 6
Fractiles symétriques
Remarques :
les fractiles des lois de probabilités ont une importance considérable dans les
tests statistiques.
Les lois de probabilités discrètes n’ont pas de fractiles
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4. Paramètres statistiques des variables aléatoires
a) Espérance mathématique
♦ Définition
L'espérance mathématique est un paramètre de position (ou paramètre de tendance centrale)
défini par les relations
♦ Variable discrète
N
E(X) =
∑ Xi .P(Xi )
i =1
Les indices 1 à N doivent englober tout le domaine de variation de X. Variable continue
♦ Variable continue
+∞
E(X) =
∫ X f(X)
dX
−∞
Physiquement, l'espérance mathématique est le centre de gravité de la loi de probabilité.
Fig. 7
Signification physique de l’espérance mathématique
•
Quelques propriétés de l’espérance mathématique
E (α) = α
(α est une constante)
E (αX + βY) = αE(X) + βE(Y)
Par contre E(XY) = E(X) . E(Y) uniquement si les variables x et y sont indépendantes.
La variable Z = X - E(X) est appelée variable aléatoire centrée. Son espérance mathématique est
nulle.
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b) Variance et écart-type
♦ Définitions
La variance est l’espérance du carré de la variable centrée.
V(X) = E((X - E(X))2)
Pour une variable discrète
n
V(X) =
∑ P(Xi )(Xi − E(X))2
i =1
Pour une variable continue
∞
V(X) =
∫ (x − E(x)) 2 f(x)dx
−∞
Enfin, l’écart-type est la racine carrée de la variance.
σ = V(X)
La variance et l’écart-type sont des paramètres de dispersion. Physiquement, la variance est
assimilable à un moment d'inertie (les masses étant égales aux probabilités) et l’écart-type est
assimilable à un rayon de giration.
•
Quelques propriétés de l’espérance mathématique
V(αX) = α2 V(X)
Pour deux variables aléatoires indépendantes
V(X + Y) = V(X) + V(Y)
V(X - Y) = V(X) + V(Y)
Les propriétés d’additivité ne s’appliquent qu’aux variances ; Elles ne s’appliquent pas aux écarttypes. (une somme σ(X) + σ(Y) n’a aucun sens statistique)
La variable aléatoire Z =
X − E( X )
admet une espérance nulle et une variance de 1, Z est appelée
σ
variable centrée et réduite (ou variable normalisée).
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c) Moments d’ordre supérieur, dissymétrie et aplatissement
♦ Définitions
On appelle moment d’ordre n la grandeur :
Mn = E (Xn)
Le moment centré d’ordre n est le moment d’ordre n de la variable centrée :
µn = E[(X - E(X))n]
On a donc
M1 = E(X) , µ1 = 0 et µ2 = V(X)
Tous les moments centrés d’ordre impair (>1) donnent une indication sur la dissymétrie de la loi de
probabilité. On n’utilise que le moment d’ordre 3 et on appelle coefficient d’asymétrie le coefficient :
β =
µ3
µ2
µ3
=
3 2
σ3
Le coefficient d’asymétrie est une grandeur sans dimension, sa valeur donne une idée de l’importance
de la dissymétrie et son signe montre si la dissymétrie provient de valeurs élevées de X (dissymétrie à
droite ) ou des valeurs petites de X (dissymétrie à gauche).
Tous les moments centrés d’ordre pair sont des variables de dispersion. On n’utilise que le moment
µ4 et son coefficient associé, le coefficient coefficient de Kurtosis ou aplatissement comparé à la loi
Normale qui est également sans dimension:
µ
µ
δ = 4 − 3= 4 − 3
µ 22
σ4
Ce facteur permet donc de montrer qu’une distribution est plus aplatie ou moins aplatie qu’une
distribution gaussienne, toutes choses égales par ailleurs (même espérance et même variance).
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d) Autres paramètres de position
♦ Mode
Le mode est la valeur de X dont la probabilité est maximale. Cette valeur peut ne pas être unique.
Une distribution unimodale est une distribution n’ayant qu’un seul mode, sinon elle est bimodale,
trimodale ou multimodale.
♦ Médiane
La médiane Med est la valeur de x pour laquelle
P (X ≤ x) = P (X ≥ x) =
1
2
Pour une distribution continue c’est la valeur qui sépare la courbe de densité de probabilité en deux
portions de surface égale. La médiane est le fractile d'ordre
1
2
5. Etude de quelques lois de probabilités discrètes
a) Loi de Binomiale
♦ Réalisation
On considère un jeu comportant 2 issues :
- une issue favorable S avec la probabilité p
- une issue défavorable S avec la probabilité q = 1 - p
On fait n réalisations du jeu de façon que les épreuves soient indépendantes. On veut calculer la
probabilité pour avoir k issues favorables appelées S, sans tenir compte de l’ordre de leur réalisation.
Probabilité pour la réalisation de S : pk
Probabilité pour n - k réalisations de S : (1 - p)n-k
Probabilité pour que S se réalise k fois et S
n - k fois : pk (1 - p) n-k
(Si on n’associe pas n-k réalisations de S à k réalisations de S, le nombre total de réalisations est
variable et ne dépend pas de n, parce que l’ordre des réalisations est indifférent)
k
Nombre de combinaisons de k objets parmi n : C n
P(X = k) = Cknpk (1− p)n−k
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♦ Paramètres statistiques
E(X) = np
V(X) = np(1- p)
σ = np(1- p)
♦ Coefficients d’asymétrie et d’aplatissement
β=
q−p
npq
γ = 3+
1 − 6pq
npq
♦ Représentation graphique
On représente la loi binomiale à l’aide d’un diagramme en bâtons. Le diagramme est symétrique
lorsque p = q = 0,5 .
Dans ce cas, la médiane et le mode sont égaux à E(X). Lorsque p Ì et q Ê la dissymétrie augmente
et la médiane et le mode deviennent < E(X)
Nous verrons ultérieurement l’importance de cette propriété. La figure ci-dessous représente le
diagramme en bâtons de la loi binomiale pour n = 40 et p = 0,1 (m = 4, σ = 1,9)
Enfin, lorsque n est grand et p petit, les valeurs de P(X=k) diminuent très vite à partir d’une certaine
valeur de k, ce qui signifie que le diagramme en bâtons ne dépasse jamais une vingtaine de valeurs .
Fig. 8
Diagramme en bâtons de la loi binomiale
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b) Loi de Poisson
♦ Expression de la loi de probabilité
On obtient la loi de Poisson à partir de la loi binomiale lorsque n est très grand et p très petit, le
produit np n’étant pas très grand, (1 < np < 20)
Exemple : p = 0,05 et n = 100 fournit une très bonne approximation d’une loi de Poisson.
Moyennant quelques approximations, on meut démontrer :
P(k) =
mk −m
e
k!
♦ Paramètres statistiques
On tire ces valeurs de la loi binomiale dont la loi de Poisson est une approximation. En posant np = m
dans les équations correspondantes de la loi binomiale on obtient :
E(X)
V(X)
= m
= m
σ
m
1
=
β =
γ = 3 +
m
1
m
♦ Représentation graphique
Le diagramme est toujours dissymétrique vers les valeurs élevées de X, la médiane et le mode sont
inférieurs à la moyenne.
Pour les grandes valeurs de n, β → 0 et γ → 3, la loi se rapproche d’une loi de Gauss.
La figure ci-dessous représente la loi de Poisson pour m = 3 (σ = 1,73).
Fig. 9
Diagramme en bâtons de la loi de Poisson
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♦ Intérêt de la loi de Poisson
la loi de Poisson est la loi suivie par les désintégrations radioactives ainsi que par d’autres
événements rares comme les pannes sur les chaînes de fabrication ou les objets défectueux dans
une production. Les files d’attente suivent également une loi de Poisson.
6. Etude de quelques lois de probabilités continues utiles pour l’interprétation de
données expérimentales
a) Loi de Gauss (Loi Normale et Loi Normale Réduite)
♦ Expression de la densité de probabilité
La loi Normale est une fonction continue dépendant des deux paramètres m et σ
g(x) =
1
e
σ 2π
− (x− m)2
2σ 2
♦ Loi Normale Réduite N(0,1)
Si on remplace x par la variable aléatoire réduite
x−m
la fonction g devient :
σ
g(x) =
1
2π
e
−
x2
2
C’est l’équation de la loi Normale Réduite. On a évidemment E(x) = 0, V(x) = 1, β = 0 et γ = 3
♦ Paramètres statistiques
Loi Normale N(m,σ)
Loi Normale réduite N(0,1)
E(X) = m
E(X) = 0
V(X) = σ2
V(X) = 1
La loi est donc symétrique et le mode et la médiane sont égaux à la moyenne.
L’aplatissement prend une valeur caractéristique, γ = 3 qui est prise comme référence lorsqu’on veut
comparer les autres lois statistiques à la loi Normale.
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Fig.10
Représentation graphique de la loi Normale réduite et valeur des surfaces S(u)
♦ Valeurs remarquables de g(x) et de la surface comprises entre –u et u
+u
S(u) =
∫ f(x)dx = F(u) - F(-u)
-u
F est la fonction de répartition de g(x). Ces valeurs ont une importance majeure pour la
compréhension des tests statistiques.
u
g(u)
S(u)
Remarque
0
0.40
0
Maximum de la courbe
0.6740
0.318
0.5
Erreur équiprobable
1
0.242
0.68
Point d'inflexion
2 ln 2
0.20
0.75
Largeur à mi-hauteur
2
0.054
0.95
Intervalle de confiance à 95 %
2.6
0.014
0.99
Intervalle de confiance à 99 %
0.995
Intervalle de confiance à 99.5 %
3
4.4 10
-3
♦ Intérêt de la Loi Normale
Beaucoup de mesures physiques se distribuent suivant une loi Normale. Il existe des tests
statistiques permettant de prouver le caractère normal d’un ensemble de mesures et la normalité
d'une distribution expérimentale est souvent une condition nécessaire pour l'application des
tests statistiques sur les moyennes ou sur les variances.
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b) Loi de Student
Sa densité de probabilité dépend d’un paramètre ν, appelé "nombre de degrés de liberté".
Elle est symétrique et a pour représentation graphique la famille de courbes dont quelques unes
sont représentées ci-dessous :
Fig. 11
représentation graphique de la loi de Student
Les courbes présentent la même allure qu’une courbe de Gauss mais elles sont plus aplaties.
Lorsque ν → ∞ (en pratique lorsque ν > 40) la loi de Student est quasiment équivalente à la loi de
Gauss.
♦ Fractiles de la loi de Student
Les valeurs des fractiles t(ν,α) et t(ν,1-α) de la loi de Student sont données dans les tables de
Student-Fisher. Puisque la loi est symétrique t(ν,α) = -t(ν,1-α).
Comme pour toute loi statistique, la valeur t(ν,1-α) à ν constant augmente lorsque α diminue, mais à α
constant les valeurs de t(ν,1-α) augmentent sensiblement lorsque ν diminue (voir fig 11 et 12).
Ceci s’explique facilement par l ‘augmentation de l’aplatissement de la courbe. En effet, plus une
courbe est aplatie, plus il faut prendre une abscisse t(1-α) élevée pour que l’intégrale :
t(1−α )
∫
f(x)dx
−∞
ait une valeur donnée.
Lorsque ν = 0, la valeur de t est infinie pour toutes les valeurs de α, sauf pour α = 100 %.
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Fig. 12
Fractiles de la loi de Student (dispersion bilatérale)
en fonction de ν pour α = 10%, 5% et 1% et 0,5%
Remarque : Les tables de Student-Fisher sont présentées de différentes manières : les tables
de fractiles appelées encore "tables unilatérales" donnent t(1-α, ν) en fonction de
1-α et de ν pour des valeurs α < 0,5. Généralement on pose P = 1 - α (P > 0,5) et on
donne la table en fonction de P.
On trouve également des tables donnant la valeur de t(P) de façon que :
t(P)
∫
f(x)dx = P = 1 − α
− t(P)
Ces tables sont appelées "tables bilatérales de Student-Fisher"
♦ Intérêt de la loi de Student
On peut montrer que pour un échantillon de n observations indépendantes d’une grandeur X
distribuée aléatoirement suivant une loi Normale N(m,σ)
la grandeur
x−m
où s =
s
n
∑ ( xi − m )
i
n−1
2
suit une loi de Student à ν = n - 1 degrés de liberté.
Cette loi présente donc un intérêt considérable dans tous les tests statistiques relatifs aux
moyennes de petits échantillons.
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c) Loi de Fisher-Snédecor
♦ Expression de la densité de probabilité
C’est la loi d’une variable aléatoire continue appelée F dont la densité de probabilité dépend de
deux paramètres ν1 et ν2 (nombre de degrés de liberté) :
Les représentations graphiques sont données à la figure 13 en fonction de ses deux paramètres ν1 et
ν2. La loi est dissymétrique et d’autant plus aplatie que ν1 et ν2 sont petits.
Fig.13
Représentation graphique de la loi de Fisher-Snedecor
♦ Fractiles de la loi de Fisher
Les tables donnent les valeurs des fractiles supérieurs F(ν1, ν2, 1-α) pour une valeur donnée de α,
c’est à dire que les deux entrées de la table sont ν1 et ν2. On prend généralement α = 0,05 ou α =
0,01 et on a toujours P = 1 - α
Les fractiles inférieurs peuvent être calculés sachant que F ( ν 2 , ν1 , α) =
1
(attention
F ( ν1, ν2 ,1 − α)
à l’échange des degrés de liberté ν1, et ν2)
Comme pour toutes les lois statistiques, les fractiles deviennent infinis lorsque ν1 et ν2 sont nuls.
Numériquement, les valeurs sont très élevées lorsque ν2 < 3.
♦ Intérêt de la loi de Fisher-Snedecor
Par conséquent, la loi de Fisher-Snedecor intervient dans tous les problèmes qui font intervenir
des comparaisons de variances, c’est à dire les problèmes de précision et de qualité des
mesures physico-chimiques.
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d) Loi du Khi-deux
♦ Densité de probabilité
La densité de probabilité dépend d’un paramètre ν appelé "nombre de degrés de liberté".
La loi de Khi-deux, appelée aussi loi de Pearson, a pour représentation graphique en fonction de ν,
une famille de courbes représentées à la figure 14 :
fig.14
Représentation graphique de la loi du khi-deux
E(χ2) = ν
V(χ2) = 2ν
Elle est dissymétrique et d’autant plus aplatie que ν est plus élevé (évolution contraire par
rapport aux autres lois.)
♦ Fractiles de la loi du χ2
Comme pour la loi de Fisher, α représente la surface de la courbe entre χ2 et l’infini. On représente
les fractiles soit en fonction de P, soit en fonction de α = 1 - P
(α < 0,5 et P > 0,5).
♦ Intérêt de la loi de Khi-deux
Dans le cas d’un échantillon de ν observations indépendantes d’une grandeur X qui suit une loi
Normale N(m, σ), la somme :
n
2
 x − m
∑  i σ  suit une loi de χ2 à ν degrés de liberté.
1
La somme ci-dessus est d’autant plus petite que les valeurs de xi sont proches de la moyenne.
La loi du χ2 est donc utilisée dans les problèmes d’adéquation, c’est à dire lorsqu’il faut prouver que
des valeurs expérimentales xi sont proches de valeurs modèles (xi (théoriques).
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7. Calcul des lois de probabilités, Fonctions de répartition et fractiles à l’aide du logiciel
EXCEL.
Le logiciel EXCEL permet de calculer toutes les lois de probabilités classiques, leurs fonctions de
répartition et leurs fractiles. Toutefois les explications concernant ces lois sont souvent incomplètes ou
erronées.
On accède à ces fonctions par : Insertion d’une fonction/fonctions statistiques
Fonctions
Paramètres
Significations
Loi.Binomiale
k, n, p
n : nombre de tirages, p : probabilité d’un tirage
Si VRAI on renvoie la probabilité cumulée de 0 à k,
valeur P(X=k) comprise.
Si FAUX, on renvoie la probabilité, P(X=k)
Si VRAI on renvoie la probabilité cumulée de 0 à X
(entier) , valeur P(X) comprise.
Si FAUX, on renvoie la probabilité, P(X)
Si VRAI on renvoie la fonction de répartition pour
l’abscisse X.
Si FAUX, on renvoie l’ordonnée de la loi Normale
pour l’abscisse x
Renvoie la fonction de répartition de la loi Normale
VRAI/FAUX
Loi.Poisson
X, E(X),
VRAI/FAUX
Loi.Normale
X, E(X), σ,
VRAI/FAUX
Loi.Normale Standard
z
réduite pour l’abscisse z.
Loi.Normale.Inverse
P, E(x), σ
Fractile de la loi Normale d’espérance E et d’écarttype σ pour la probabilité P
Loi.Normale Standard.Inverse
P
Fractile de la loi Normale réduite pour la probabilité
P
Loi.Student
X, ν, 1 ou 2
Loi.Student.Inverse
P, ν
Loi.F
X, ν1, ν2
Inverse.loi.F
P, ν1, ν2
Loi.Khideux
ν, X
Renvoie la probabilité cumulée de X à l’infini pour
une loi de Student à ν degrés de liberté. Si 1 :
distribution unilatérale, si 2 : distribution bilatérale,
la fonction renvoie la probabilité totale extérieure
ATTENTION, cette fonction renvoie le fractile
bilatéral d’une loi de Student à ν degrés de liberté,
P étant la probabilité extérieure à l’intervalle
–X, +X . Pour le fractile unilatéral introduire 2P
Renvoie la probabilité cumulée de X à l’infini pour
une loi de Fisher à ν1, et ν2 degrés de liberté.
Renvoie le fractile unilatéral d’une loi de Fisher à
ν1, et ν2 degrés de liberté pour la probabilité 1-P.
Renvoie la probabilité cumulée de X à l’infini pour
une loi de Pearson à ν degrés de liberté.
Renvoie le fractile unilatéral d’une loi de Pearson à
ν degrés de liberté pour la probabilité 1-P
Khideux.inverse
P,
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ν
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STATISTIQUES PROBABILISTES
CE QU’IL FAUT ABSOLUMENT RETENIR
Calcul de l’Espérance mathématique
Calcul de la variance
Variable centrée réduite
Propriétés d’additivité de l’espérance et de la variance
E (αX + βY) = αE(X) + βE(Y)
V(αX) = α2 V(X)
V(X ± Y) = V(X) + V(Y) (X et Y : variables indépendantes)
Loi de probabilité
Fonction de répartition
Fractiles unilatéraux,
Fractiles bilatéraux
Allure générale des lois Binomiale, Poisson, Normale, Student,
Fisher-Snedecor, Khi-deux
Signification de: u(α), u(1-α), u(α/2), u(1-α/2)
t(α), t(1-α), t(α/2), t(1-α/2)
F(α), F(1-α), χ2 (α), χ2(1-α), χ2 (α/2), χ2(1-α/2)
Savoir lire les tables statistiques
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