STATISTIQUES IUT PREMIERE PARTIE

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PREMIERE PARTIE
NOTIONS ELEMENTAIRES DE STATISTIQUE
PROBABILISTE
1. Définitions de la probabilité
Afin d'éviter des démonstrations très théoriques, nous donnons les définitions tirées de la norme NF
X06-002.
a) Définition déterministe de la probabilité (ou à priori)
Lors de la réalisation d’un événement dont le nombre d’issues favorables peut être calculé au moyen
de l’analyse combinatoire (compte tenu de l’hypothèse d’équiprobabilité des issues), on définit la
probabilité de cet événement par le rapport du nombre d'issues favorables (h) au nombre d'issues
possibles (n) :
Ph
n
=
C’est la définition classique que l’on utilise pour évaluer les issues d’un jeu de hasard.
Exemple : La probabilité pour obtenir "pile" après un lancé d’une pièce parfaitement symétrique est de
0,5.
b) Définition empirique de la probabilité
Si après un grand nombre de réalisations d’une expérience (n réalisations) on observe h fois l’issue
souhaitée, la probabilité de cet événement est la limite de la fréquence des observations de l'issue
souhaitée :
P=→∞
lim
n
h
n
En réalité, la fréquence observée en fonction de n oscille autour de sa valeur théorique et s'en
rapproche indéfiniment lorsque n→∞ conformément à la "loi des grands nombres".
Pierre Jost Statistiques à l’usage des ingénieurs et des techniciens

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2. Variables aléatoires
a) Définition
Considérons un événement comportant un certain nombre d’issues.
Si on associe un nombre à chaque issue, ou à chaque ensemble d’issues, ce nombre est appelé
variable aléatoire ou aléa numérique. On la note par une lettre majuscule X, par contre les valeurs
particulières de la variable aléatoire sont notées x ou xi.
Exemple :
jeu de pile ou face :
Les issues du jeu sont "pile" ou "face".
On peut associer à "pile" X = 1 et à "face" X = -1 ou encore 0 et 1 ou tout autre nombre.
X est alors une variable aléatoire.
b) Continuité et discontinuité d’une variable aléatoire, notion de densité de probabilité
♦ Variable discontinue ou discrète
C’est une variable qui ne peut prendre que des valeurs isolées séparées par un intervalle fini,
c’est-à-dire non infinitésimal. Elle est généralement représentée par un entier.
On peut associer une probabilité à une variable aléatoire discrète.
♦ Variable continue
C’est une variable qui peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle fini ou infini. Cela signifie que
la différence entre deux valeurs voisines peut être aussi petite que l’on peut l’imaginer. C’est un
nombre réel.
On ne peut pas associer une probabilité à une variable aléatoire continue. La probabilité pour
que X prenne une valeur particulière x dans R (l'ensemble des nombres réels) est toujours nulle. Par
contre on peut associer à x une densité de probabilité f(x) et on peut associer à un intervalle [x,
x+∆x] une probabilité non nulle.
La densité de probabilité est définie de la même manière que la densité d’un milieu continu.
Fig.1
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f(x) = lim P(x ≤ X ≤ x + ∆x)
∆x→0 ∆x
Si l’intervalle est assez petit pour qu’on puisse considérer f(x) comme constant :
P(x ≤ X ≤ x + ∆x) = f(x) ∆x
On constate bien que cette probabilité tend vers 0 lorsque ∆x tend vers 0.
Exemple :
On s’intéresse à la taille des personnes d’un certain âge. Si la taille est considérée comme une
variable aléatoire continue, donc un nombre réel (un nombre réel est un nombre infiniment précis),
rien n’empêche d’examiner la probabilité pour rencontrer un individu de taille 1,7500 m ou même
1,7543 m.
La probabilité de rencontrer dans la population une valeur numérique aussi précise est nulle. Il est
d’ailleurs impossible de mesurer la taille d’une personne avec une telle précision. Par contre il existe
un certain nombre d’individus ayant une taille comprise entre 1,75 et 1,76 m si l’échantillon est
suffisamment grand. Il faut donc "discrétiser" une variable aléatoire continue pour pouvoir en définir
une probabilité non nulle.
3. Généralités sur les lois de probabilités
a) Définition
Une loi de probabilité est une relation permettant d’associer une probabilité ou une densité de
probabilité à chaque valeur d’une variable aléatoire.
b) Représentation d’une loi de probabilité
Si la variable est discrète : représentation comme un diagramme en bâtons.
p(x)
X
Fig. 2
Diagramme en bâtons
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- Pour une variable continue on représente la fonction densité de probabilité (voir figure 1)
c) Fonction de répartition d’une loi de probabilité
La fonction cumulative de distribution, ou plus simplement fonction de distribution F ou fonction de
répartition F est définie par :
F(x) = P(X < x)
d) Représentation graphique de la fonction de répartition
La courbe est encore appelée "courbe des probabilités cumulées". Dans le cas d’une loi continue F(x)
représente la surface délimitée par la courbe représentation de la loi entre - ∞ et l’abscisse x.
Fig. 3
Lois de probabilité et fonctions de répartition (variables discrètes et continues)
e) Fractile d'ordre α : t(α)
Dans le cas d’une loi continue le fractile t(α) est l’abscisse x telle que la surface délimitée par la loi de
probabilité entre - ∞ et t(α) soit égale à α. Les fonctions F(t) et t(α) sont des fonctions réciproques
l’une de l’autre.
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Si tα est le fractile d’ordre α on a les relations :
P( X ≤ t α) = α P( X ≥ t α ) = 1 - α ou F(t α) = α
Fig. 4
Fractile tα d’une loi statistique encore appelé
“ fractile inférieur ”
Fig. 5
Fractile t(1-α) d’une loi statistique encore appelé
“ fractile supérieur ”
On s’intéresse également au fractile t(1-α) qui joue le même rôle que tα sur la partie des x élevés (Fig5).
On démontre que :
P( X ≥ t 1-α) = α P( X ≤ t 1-α) = 1 - α ou 1 - F(t 1-α) = α
Si la loi statistique est symétrique et centrée on a la relation tα = -t(1-α)
Les fractiles symétriques délimitent chacun une surface extérieure de α/2. La surface totale
intérieure à l’intervalle interfractile est 1-α.
Fig. 6
Fractiles symétriques
Remarques : les fractiles des lois de probabilités ont une importance considérable dans les
tests statistiques.
Les lois de probabilités discrètes n’ont pas de fractiles
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