Systèmes Linéaires I Définitions II Systèmes

15 janvier 2014
Systèmes Linéaires
I Définitions
On appelle système linéaire de néquations à pinconnues (à coefficients dans K) tout ensemble d’équations de
la forme :
(S) : 
a1,1x1+a1,2x2+ ·· · + a1,pxp=b1
a2,1x1+a2,2x2+ ·· · + a2,pxp=b2
.
.
.
an,1x1+an,2x2+ · ·· + an,pxp=bn
Pour 1 ÉiÉnet 1 ÉjÉp,ai,j,bi∈Ksont les coefficients,xj∈Kles inconnues du système.
Le système est dit homogène si b1=b2=...=bn=0.
Définition 1
Écriture matricielle : Avec les notations précédentes, on définit :
A=
a1,1 a1,2 ... a1,p
a2,1 a2,2 ... a2,p
.
.
..
.
..
.
.
an,1 an,2 ... an,p
∈Mn,p(K)
la matrice du système (S) (ou H)). On note également :
X=
x1
x2
.
.
.
xp
et B=
b1
b2
.
.
.
bn
Résoudre le système (S) revient à résoudre l’équation matricielle :
(S) : AX =B
On appelle système linéaire homogène associé au système (S) le système : (H) : AX =0
Définition 2
II Systèmes équivalents et opérations élémentaires sur un système
Les opérations suivantes sont appelées opérations élémentaires sur le système :
1. Échanger deux lignes
2. Multiplier une ligne par un scalaire non nul
3. Remplacer la ligne Lipar Li+λLjce que l’on note souvent Li←Li+λLj, avec λ∈K
Définition 3
i) Deux systèmes sont dits équivalents si l’on passe de l’un à l’autre par une suite d’opérations élémentaires.
ii) Deux systèmes équivalents ont le même ensemble de solution.
Propositions 1
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Remarque 1 : De la même façon, on dira que deux matrices sont équivalentes si l’on passe de l’une à l’autre par une
suite d’opérations élémentaires.
III Échelonnement et algorithme du pivot de Gauss-Jordan
Un système linéaire (ou une matrice) est dit échelonné si il vérifie les deux propriétés suivantes :
i) Si une ligne est entièrement nulle, les lignes suivantes sont nulles
ii) à partir de la deuxième ligne, dans chaque ligne non entièrement nulle, le premier coefficient non nul à
partir de la gauche est situé à droite du premier coefficient non nul de la ligne précédente.
Définition 4
Un système linéaire (ou une matrice) (S)est dit triangulaire supérieur si i>j⇒ai,j=0
Définition 5
Tout système linéaire ayant au moins un coefficient non nul est équivalent à un système échelonné
Théorème 1 (Algorithme du pivot de Gauss)
On appelle rang du système (S) le nombre de ligne non nulles après échelonnement.
Définition 6
Mise en oeuvre (principe de démonstration) : algorithme de Jordan-Gauss
On considère un système de néquations à pinconnues dont on suppose qu’il admet au moins une solution :
(S) : 
a1,1x1+a1,2x2+ ·· · + a1,pxp=b1(L1)
a2,1x1+a2,2x2+ ·· · + a2,pxp=b2(L2)
.
.
.
an,1x1+an,2x2+ · ·· + an,pxp=bn(Ln)
On suppose a1,1 6= 0 par exemple (quitte à permuter les équations ou les inconnues). On remplace, pour 2 ÉiÉn,
la ligne (Li) par la ligne :
(L′
i)=a1,1(Li)−ai,1(L1)
On obtient alors un nouveau système :
(S1)
a1,1x1+a1,2x2+ ·· · + a1,pxp=b1
(∗) : 
a′
2,2x2+a′ 2,3x3+ ·· · + a′ 2,pxp=b′ 2
a′
3,2x2+a′ 3,3x3+ ·· · + a′ 3,pxp=b′ 3
.
.
.
a′
n,2x2+a′
n,3x3+ ·· · + a′
n,pxp=b′ n
Il est clair que le système (S1) est équivalent au précédent système (S), car on peut reconstituer (Li) à partir de
(L1) et (L′
i) par combinaisons linéaires.
On reprend le procédé avec le système (∗) (les (n−1) dernières lignes du système (S1)). En itérant le procédé, on finit
par obtenir un système triangulaire du type :
(S′) : 
α1,1x1+α1,2x2+·········+α1,pxp=β1(L1)
α2,2x2+·········+α2,pxp=β2(L2)
.
.
.
αr,rxr+ ·· · + αr,pxp=βr(Lr)
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où αi,i∈K∗pour 1 ÉiÉr. On pose alors :
A′=
α1,1 α1,2 ··· ··· α1,p
0α2,2 α2,p
.
.
........
.
.
0··· 0αr,r··· αr,p
et B′=
β1
β2
.
.
.
βp
Remarque 2 : Le système ainsi obtenu (S′) : A′X=B′est donc équivalent au système (S) : AX =B, et donc les
systèmes (S′) et (S) ont même rang d’après la remarque 2. Comme la matrice A′a clairement pour rang r, on a donc
les conséquences suivantes :
1. Le rang d’un système linéaire est le nombre de lignes non nulles restant après application du pivot de Gauss.
2. Le rang d’une matrice peut être déterminé en appliquant la méthode du pivot sur ses lignes (ou ses colonnes).
Exercice III.1 : Résoudre le système suivant par la méthode du pivot (on donnera au passage le rang du système et
la dimension du R-ev des solutions) :
(S)
x+y+z+t=1
x+2y−z+3t=4
x−y+2z−2t=2
x+3y−3z+5t=7
Solution. Le système se résout par équivalences à l’aide de la méthode du pivot de Gauss. La première ligne en pivot sert à éliminer la variable x
dans les autres lignes à l’aide des opérations indiquées entre parenthèses :
(S)⇔
x+y+z+t=1 (L1)
y−2z+2t=3 (L2−L1)
−2y+z−3t=1 (L3−L1)
2y−4z+4t=6 (L4−L1)
On élimine ensuite la variable yà l’aide de la deuxième ligne dans les lignes restantes :
(S)⇔
x+y+z+t=1 (L1)
y−2z+2t=3 (L2)
−3z+t=7 (L3+2L2)
0=0 (L4−2L2)
On constate qu’il ne reste que 3 lignes non nulles après application du pivot, ce qui prouve que le rang du système est 3 compte tenu de la remarque
2, et donc que le sous-espace vectoriel des solutions du système homogène associé est de dimension 1 d’après le théorème 2. Le système équivalent
obtenu est un système triangulaire dont les solutions se déduisent rapidement :
(S)⇔
t=3z+7 (L3)
y=3+2z−2t=3+2z−2(3z+7) (L2)
= −4z−11
x=1−y−z−t=1−(−4z−11)−z−(3z+7) (L1)
x=5 (L1)
L’ensemble des solutions du système est donc :
S={(5,−4λ−11,λ,7+3λ),λ∈R}
On reconnait la forme des solutions du système Sdécrite au théorème 3, c’est à dire que toute solution est la somme d’une solution particulière
du système et d’une solution du système homogène asocié à ce système :
S={(5,−11,0,7)
|{z }
X0
+λ(0,−4,1,3)
|{z }
XH
,λ∈R}={(5,−11,0,7)}+Vect(0;−4;1;3)
Exemple 1 :
2x+4y−z+t=2
x−2y+3z−t=1
x+y+z
2+t 2=0
⇔
2x+4y−z+t=2
8y−5z+3t=0 (L1)−2(L2)→L2)
2y−2z= −2 (L1)−2(L3)→(L3)
⇔
x= −z+1
3
t= −z−8
3
y=z+1
Ce système admet donc une infinité de solutions. On peut remarquer que ( 1
3,1,0,−8 3) est une solution particulière, et
que l’espace vectoriel des solutions de l’équation homogène associée est défini par :
x= −z
t= −z
y=z
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(Il suffit de reprendre les équations du système, en enlevant les constantes). On remarque que le système comporte
p=4 inconnues, et que son rang est r=3 (il reste trois équations après application du pivot), donc d’après le théo-
rème 2, l’espace vectoriel des solutions est de dimension p−r=4−3=1 (c’est la droite vectorielle R(−1,1,1,−1)).
Finalement, on obtient l’ensemble des solutions de (S) à l’aide du théorème 3 :
n¡1
3,1,0,−8 3¢+λ(−1,1,1,−1),λ∈Ro
Remarque 3 : Par le même procédé, on peut déterminer le rang d’une matrice :
rg
112
−1 1 −1
−2 4 −1
=rg
1 1 2
0 2 1
0 6 3 
=rg
1 1 2
0 2 1
0 0 0 
=2
Exercice III.2 : Discuter, suivant les valeurs de λ∈R, la
rang de la matrice : A=
11
2
1
3
1
2
1
3
1
4
1
3
1
4λ
Exemple 2 :
2x+3y+z=1
x+y−z=2
x+y+z= −1
⇔
2x+3y+z=1
y+3z= −3 (L1)−2(L2)→(L2)
y−z=3 (L1)−2(L3)→(L3)
⇔
2x+3y+z=1
y+3z= −3
4z= −6 (L2)+3(L3)→(L3)
⇔
z= − 3
2
y= −3+3
2×3=3 2
2x=1−9
2+3 2= −2
Le système a donc pour unique solution µ−1, 3
2,−3 2¶(son rang est égal à 3, c’est donc un système de Cramer).
Exemple où le système n’est pas de Cramer : On peut avoir deux cas de figure pour un même système homogène
associé, comme illustré dans les exemples suivants (on passe les détails de la résolution).
Exemples 3 : Les deux systèmes ci-dessous présentent la même partie homogène, la seule différence réside dans la
constante de la troisième équation :
•Premier cas :
2x+y−z=1
x+3y+z=3
4x+7y+z=7
⇔
x=4
5z
y= − 3
5z+1
•Deuxième cas :
2x+y−z=1
x+3y+z=3
4x+7y+z= −1
⇔
x+3y+z=3
5y+3z=5
5y+3z=13
⇔
x+3y+z=3
5y+3z=5
0=8
Ces systèmes ont pour rang 2, et l’ensemble des solutions de leur système homogène associé (commun) est un
espace vectoriel de dimension 1. Seulement, le premier contient au moins une solution (on dit qu’il est compatible)
alors que le second n’en contient aucune (on dit qu’il est incompatible).
IV Résolution d’un système linéaire - Description de l’ensemble des solutions
Tout système linéaire à néquations et pinconnues admet soit :
i) Une unique solution
ii) Aucune solution
iii) Une infinité de solution
Proposition 2
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On dit que le système est de Cramer s’il admet une unique solution
Définition 7
Remarque 4 : Soit Sun système linéaire de matrice A, et f:Kp→Knl’application linéaire canoniquement as-
sociée à A. On constate que résoudre le système S(c’est à dire l’équation AX =B) équivaut à résoudre l’équation
f((x1,x2,...,xp)) =(b1,b2,...,bn) ou encore à déterminer f−1((b1,b2,...,bn)).
Un système linéaire homogène de néquations à pinconnues admet toujours au moins une solution : la solution
nulle. De plus, si rest le rang du système, l’ensemble des solutions est un s.e.v. de dimension p−rde Kp.
Théorème 2
Démonstration. On veut résoudre l’équation (H) : A X =0. On a vu que la résolution de (H) est équivalente à la recherche de f−1((0,0,... ,0)) =
Ker f. Comme fest linéaire, Ker fest un s.e.v. de Kp. Or, d’après le théorème du rang :
dimKp=dim Ker f+rg f
donc p=dim Ker f+r, et dim Ker f=p−r.
Remarques 5 : 1. Si r=p, le système admet une et une seule solution (la solution nulle). Pour qu’un système
linéaire homogène admette une solution non nulle, il faut et il suffit que r<p.
2. Une conséquence du théorème précédent est que deux systèmes équivalents ont même rang. En effet, les sys-
tèmes homogènes associés ont même ensemble de solutions.
Supposons que le système (S) : AX =Badmette au moins une solution X0. Alors l’ensemble des solutions de
(S) est :
{X=X0+XH,XHsolution du système homogène associé (H) : AX =0}
Théorème 3
Démonstration. On sait que Xest solution de (S) si et seulement si AX =B. Or, sachant que X0est solution de (S) :
AX =B⇔AX −AX0=B−B=0⇔A(X−X0)=0
Donc Xest solution de (S) si et seulement si X−X0est solution de (H), ce qui équivaut à :
X−X0=XHavec XHsolution de (H)
où encore à X=XH+X0avec XHsolution de (H).
V Famille de vecteurs de Rn
V.A Familles libres de Rn
Dans Rn, on dit que le vecteur ~ u∈Rnest combinaison linéaire de la famille (~
u1,~ u2,... ,~
up) de vecteurs (ou des p
vecteurs ~ u1,~ u2,...,~
up), s’il existe des réels λ1,λ2,...,λptels que :
u=
n
X
i=1
λi
~
ui=λ1
~
u1+λ2
~
u2+ ·· · + λp
~
up
Cette écriture est également appelée décomposition du vecteur ~
usuivant la famille de vecteurs (~
u1,~
u2,...,~ up).
Définition 8
Exemples 4 :
1. Dans C(considéré comme R2puisque z=a+ıb∈C⇔(a,b)∈R2), tout nombre est combinaison linéaire de 1 et
ı.
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