Fiche 1 : Exercices L3 – Alg`ebre 2 2016

Fiche 1 : Exercices L3 – Alg`ebre 2
2016-2017
Tous les anneaux consid´er´es unitaires.
Exercice 1 :
(a) Soit n∈Navec n≥2. Montrer que Z/nZest un anneau.
(b) Montrer qu’il existe un et un seul anneau (`a isomorphisme pr`es) `a 2 ´el´ements. D´eterminer cet
anneau.
(c) Montrer qu’il existe un et un seul anneau (`a isomorphisme pr`es) `a 3 ´el´ements. D´eterminer cet
anneau.
(d) Etude des cas d’anneaux `a 4 ´el´ements : Montrer qu’il y a au plus 5 anneaux `a 4 ´el´ements. (Plus
tard, on va montrer qu’il y en a exactement 4.)
(e) Soit pun nombre premier, et soit Aun anneau `a p´el´ements. Montrer que Aest isomorphe `a
Z/pZ.
Exercice 2 : D´ecrire le groupe U(A) d’´el´ements inversibles des anneaux suivants :
(a) A=Z;
(b) A=Z/pZo`u pest premier ;
(c) A=Z/8Z.
(d) A=R[X] l’anneau de polynˆomes `a une variable et `a coefficients r´eels.
(e) Soit n∈N∗. Montrer que U(Z/nZ) = {[a]|a∧n= 1}. L’ordre de ce groupe, not´ee ϕ(n) est
appel´e l’indicatrice d’Euler de n.
(i) Montrer que ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) si n∧m.
(ii) D´eterminer ϕ(pr) o`u pest un nombre premier.
(iii) Soit n=pr1
1pr2 2···prk
kla d´ecomposition en produit de nombres premiers de n, o`u p1, p2,...pr
sont de nombres premiers distincts. D´eterminer la valeur de ϕ(n).
Exercice 3 :
(a) Est-ce que {−1,0,1}est un sous-anneau de Z?
(b) Trouver tous les sous-anneaux de Z.
(c) Soit n∈Navec n≥2. Trouver tous les sous-anneaux de Z/nZ.
(d) Montrer que l’ensemble
D={x∈Q| ∃ n∈Navec 10nx∈Z}
est un sous-anneau de Q.
(d) Montrer que chaque sous-anneau de Qcontient Z. Montrer que l’ensemble
{x∈Q| ∃ n∈Navec 2nx∈Z}
est un sous-anneau de Q.
Exercice 4 : Soit Aun anneau. Montrer que Mn(A) est un anneau (non commutatif si n≥2).
Pour les sous-ensembles suivants, d´eterminer lesquels sont des sous anneaux de Mn(A).
(a) L’ensemble des matrices triangulaires sup´erieurs ;
(b) L’ensemble des matrices de trace ´egal `a 0 ;
(c) GLn(R) (o`u A=R) ;
(d) Mn(Z) (o`u A=R).

Exercice 5 : Soit Aun anneau. On consid`ere l’application ϕ:Z→Adonn´ee par
ϕ(k) = k·1 = 1 + ··· + 1
| {z }
k fois
.
(a) Montrer que ϕest un homomorphisme d’anneaux.
(b) Montrer qu’il existe n∈Ntel que le noyau de ϕest de la forme nZ. On dit que nest le
caract´eristique de A.
(c) Si Aest un anneau commutatif int`egre, montrer que nest premier ou n= 0.
Exercice 6 : Trouver tous les id´eaux de Z. Pour n∈Navec n≥2, trouver tous les id´eaux de
Z/nZ.
Exercice 7 : Soit ppremier, et soit Aun anneau commutatif de caract´eristique p. Montrer que
l’application ψ:A→Ad´efinie par ψ(a) = apest un homomorphisme d’anneaux. Si Aest int`egre
et fini, montrer que ψest un automorphisme. (Terminologie : ψest appel´e l’homomorphisme de
Frobenius.)
Exercice 8 : Soit Aun anneau commutatif, et soient a, b ∈A.
(a) Montrer que ab est inversible si et seulement si aet bsont inversibles. Montrer que l’ensemble
d’´el´ements inversibles de Aforme un groupe.
(b) Soit Z[i] l’ensemble de nombres complexes de la forme x+iy avec x, y ∈Z. Montrer que Z[i]
est un sous anneau de C. D´eterminer les ´el´ements inversibles de Z[i]. (Terminologie : les ´el´ements
de Z[i] sont appel´es les entiers de Gauss.)
(c) Soit A=Z[√2] l’ensemble de nombres r´eels de la forme x+√2yavec x, y ∈Z. Montrer que
Aest un sous anneau de R. Montrer que le groupe d’´el´ements inversibles de Aest de cardinal
infini.
(d) Soit Z[j] l’ensemble de nombres complexes de la forme x+jy avec x, y ∈Zo`u j=e2πi/3.
Montrer que Z[j] est un sous anneau de C. D´eterminer les ´el´ements inversibles de Z[j].
Exercice 9 : Soit {Ai|i∈I}une collection d’anneaux commutatifs, et soit i0∈I.
(a) Montrer que la projection π0:Qi∈IAi→Ai0d´efinie par π0((ai)i∈I) = ai0est un homomor-
phisme surjectif d’anneaux.
(b) Considerer l’application ι0:Ai0→Qi∈IAid´efinie par ι0(a)=(bi)i∈Io`u bi=asi i=i0, et
bi= 0 sinon. Est-ce que ι0est un homomorphisme d’anneaux ?
Exercice 10 : Soit Aun anneau int`egre.
(a) Soit a, b, c ∈Aavec c6= 0. Montrer que ac =bc si et seulement si a=b. Est-ce que ce r´esultat
est vrai pour un anneau non int`egre ?
(b) Soit a∈A, et n∈Navec n≥1. Montrer que a= 0 si et seulement si an= 0.
(c) Montrer que a2=asi et seulement si a= 0 ou a= 1.
(d) Montrer que a2= 1 si et seulement si a= 1 ou a=−1.
Exercice 11 : Soit Aun anneau commutatif de cardinal fini. Montrer que tout ´el´ement non nul
de Aest soit inversible, soit diviseur de z´ero. En d´eduire que Aest int`egre si et seulement si Aest
un corps.