Mouvement des satellites et des planètes

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne
Chapitre n° 5 : MOUVEMENT DES SATELLITES ET DES PLANETES
Le début de la leçon est une introduction historique des interactions de gravitation et montre
comment la loi de Newton a permis de comprendre les lois empiriques de Kepler.
La loi d'attraction universelle résulte d'une déduction révolutionnaire de Newton qui a fait naître la
"légende de la pomme".
Le but de la leçon est d'introduire la notion de champ vectoriel à propos du champ de gravitation.
Nous ferons ensuite la distinction entre gravitation (radiale) et pesanteur (uniforme), ce qui nous
permettra dans des leçons ultérieures d'étudier séparément le mouvement dans un champ
uniforme et le mouvement circulaire dans un champ radial.
I) La loi de la gravitation universelle :
1) Les 3 lois empiriques de Kepler :
Johannes KEPLER (astronome et physicien Allemand, 1571-1630), fut l'assistant de Tycho
BRAHE (astronome Danois, 1546-1601) à la fin de sa vie.
Après la mort de son maître en 1601, il étudia avec minutie les relevés des positions des
planètes établis par celui-ci.
Par un travail acharné d'analyse et de réflexion, mené pendant une quinzaine d'années, il
mit en évidence trois lois, largement en accord avec les observations, et qui décrivent le
mouvement des planètes. Il faut souligner que ces lois résultent non de l'application d'une
théorie générale, mais de l'observation de régularités dans les valeurs numériques résultant
de longs calculs : ce ne sont pas des lois théoriques, mais des lois empiriques.
a) Les deux premières lois de Kepler :
- Loi des orbites elliptiques (1605) :
Dans un référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des ellipses dont le centre S
du Soleil est l'un des foyers. Ces orbites sont planes.
Remarque : Le cercle est une orbite elliptique particulière dont S est le centre.
- Loi des aires (1604) :
→
Pendant une durée ∆t, le rayon vecteur SP qui joint le
centre S du Soleil au centre d'une planète balaie une aire A
constante, quelle que soit la position de la planète.
Remarque : Le rapport A/∆t ne dépend que de la planète
considérée.
b) Troisième loi de Kepler :
- Loi des périodes (1618) :
Le carré de la période de révolution T d'une planète est proportionnel au cube de la
2
longueur du demi-grand axe de l'ellipse a : T3 = KS
a
Où KS est une constante indépendante de la planète considérée.
2) Satellite d'une planète :
Les trois lois de Kepler s'appliquent également aux satellites d'une planète.
La troisième loi s'écrit : T2/a3 = KP où KP est une constante qui dépend de la planète
considérée mais pas des caractéristiques des satellites en orbite autour de la planète.
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3) Loi d'attraction universelle :
a) La pomme et la Lune :
- Les prédécesseurs de Newton et notamment Kepler, pensaient à tort que le mouvement
d'une planète est dû à une action mécanique exercée dans la direction du mouvement.
- Tout le monde connaît l'histoire de la pomme de Newton : une pomme se détache de la
branche sur laquelle elle est accrochée et tombe. D'une façon générale tout objet situé
près de la Terre et privé d'attache ou de support tombe vers le centre de la Terre.
Qu'en est-il de la Lune ? Dépourvue d'attache elle doit également tomber vers la terre !
- Analogie avec la "fronde" : la pierre tenue par la fronde tourne autour de la main du
lanceur. Le mouvement est pratiquement circulaire uniforme. Si le lanceur lâche un brin
de la fronde, la pierre quitte tangentiellement sa trajectoire circulaire. De même, si la
Lune n'était pas attirée par la terre elle poursuivrait son chemin tout droit dans l'espace.
- Newton pense que c'est l'attraction terrestre qui incurve la trajectoire de la Lune. La Lune
"tombe" vers la Terre mais sa vitesse tangentielle est si grande que sa chute incurve
juste assez sa course pour la maintenir à la même distance de la Terre.
- Traitement mathématique du problème :
La période de révolution TL de la Lune dans sa rotation autour de la Terre est
TL = 27 j 7 h 43 min 11 s = 2360591 s et la distance moyenne Terre-Lune est
8
rL = 3,8.10 m. Sur sa trajectoire la Lune a donc une vitesse linéaire de
vL = 2.π.rL/TL ≈ 1,0.103 m.s−1.
En ∆t = 1 s la Lune parcourt un arc de longueur d = vL.∆t ≈ 1,0.103 m
sur sa trajectoire et tourne autour de la Terre d'un petit angle α tel
que α = d/rL ≈ 2,6. 10−6 rad.
Selon le raisonnement de Newton, durant ∆t = 1 s la Lune "tombe"
d'une hauteur :
2
hL = rL
− rL ≈ rL 2 − rL ≈ rL.( 1 + α ) − rL
2
cos α
1− α
2
2
soit
hL ≈ rL. α ≈ 1,3.10−3 m
2
D'autre part, près du sol, durant la première seconde (∆t = 1 s) une
pomme tombe d'une hauteur hp :hp = 21 .g0.∆t2 ≈ 0,5x9,8x12 = 4,9 m
Newton pose que ces distances sont proportionnelles aux
"attractions" correspondantes exercées par la Terre. De plus, il pose
que ces attractions sont inversement proportionnelles à une certaine
puissance n de la distance du centre de la Terre au centre de la Lune
rL, et du centre de la Terre à la pomme RT (rayon de la Terre) :
n
hp
r

L 
Soit
 =

hL
 RT 
n
h
En prenant le logarithme népérien des deux membres on a : ln(  rL  ) = ln( p ) et en
R
h
 T
L
h
utilisant une propriété caractéristique des logarithmes : n.ln( rL ) = ln( p )
RT
hL
h
ln p 
8,23
h
D'où
n=  L ≈
≈ 2,0
r

4
,
08
L 
ln

 RT 
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Les données numériques sur le mouvement de la Lune et les expériences réalisées sur
la chute des corps permettent à Newton de montrer que :
L'attraction terrestre est inversement proportionnelle au carré de la distance de l'objet
(Lune ou pomme) au centre de la Terre.
Newton érige en loi universelle ses conclusions énoncées pour la terre. Les lois de Kepler
trouvent leur explication dans cette loi. Des mesures de la constante de gravitation ont été
effectuées par Cavendish en 1798, et des mesures plus précises par Boys en 1895.
b) Interaction de gravitation :
- On considère deux objets ponctuels (A) et (B), de masses mA et mB et placés en des
points A et B à une distance r l'un de l'autre.
→
L'objet (A) exerce sur l'objet (B) une force attractive F A →B et l'objet (B) exerce sur l'objet
→
(A) une force attractive FB → A . Ces deux forces sont appelées forces gravitationnelles.
→
→
→
→
D'après le principe d'interaction : F A →B = -- FB → A et F A →B et FB → A sont colinéaires.
La mesure commune des deux forces gravitationnelles est donnée par l'expression :
FA →B = FB → A = K. m A .2mB
r
K est la constante de gravitation universelle : K = 6,67259.10−11 N.m2.kg−2
→
- Désignons par uAB le vecteur unitaire de la droite (AB) orienté de A vers B.
→
La force FA →B qu'exerce l'objet (A) sur l'objet (B)
→
→
s'écrit :
F A →B = -- K. m A .2mB . u AB
r
c) Objet à symétrie sphérique :
On considère un objet "étendu" sphérique (S) et homogène ou constitué de couches
sphériques concentriques et homogènes (cas de la plupart des astres).
Nous admettrons que (S) est équivalent, au point de vue des forces de gravitation qu'il
exerce ou qu'il subit, à un objet quasi-ponctuel de même masse, placé en son centre.
Un objet pourra être considéré comme ponctuel s’il est observé à une grande distance.
II) Champ de gravitation :
1) Notion de champ de gravitation :
Amenons, par la pensée, en un point P de l'espace un objet quasi-ponctuel de masse m.
→
Si un objet-test est soumis à une force gravitationnelle F nous dirons qu'il existe en P un
→
champ de gravitation G(P) . Ce champ gravitationnel est produit par différentes masses
réparties dans l'espace et appelées sources du champ. Le champ caractérise les propriétés
gravitationnelles de l'espace liées à la présence des sources.
2) Définition :
→
→
→
→
→
Le vecteur champ de gravitation G(P) est défini par : G(P) = . F /m ou F = m. G(P)
→
La mesure G(P) de G(P) s'exprime en N.kg−1 ou en m.s−2.
On considère un objet à symétrie sphérique de masse M dont le centre est en un point O.
→
Plaçons en un point P un objet-test de masse m. La force gravitationnelle F subit par l'objet
test est donnée par la loi de Newton :
→
→
→
→
FO →P = -- K. m.2M . u O P = m.(-- K. M2 . u O P ) = m. G(P)
r
r
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D’où l'expression du champ de gravitation créé en P par l'objet de masse M centré en O :
→
→
G(P) = -- K. M2 . u O P
r
Le champ de gravitation créé en P par l'objet de masse M centré en O a pour :
- direction : celle de la droite (OP),
- sens : de O vers P,
2
3
- valeur : G(P) = K.M/r où G s'exprime m.s−2, M en kg, r en m et K en m .kg−2.s−2.
3) Lignes de champ :
D'une façon générale, on appelle ligne de champ une
courbe admettant comme tangente en chaque point la
droite de même direction et même sens que le champ.
Les lignes de champ, du champ gravitationnel créé par
un objet à symétrie sphérique, centré en un point O, sont
des demi-droites "rentrantes", passant par O.
III) Champ de pesanteur :
1) Force gravitationnelle et poids :
On considère un objet de masse m suspendu à un ressort, en équilibre par rapport au
référentiel du laboratoire (référentiel
terrestre).
→
→
→
On peut écrire :
T +P = 0
→
→
Où T est la tension du ressort et P est le poids de l'objet.
Or le référentiel terrestre n'est pas galiléen par rapport au référentiel géocentrique
(qui est très galiléen). Par rapport au référentiel géocentrique, l'objet est en
mouvement de rotation uniforme (il tourne avec la terre autour de son axe), on a
→
→
donc :
→
→
→
T + F = m. a
→
Où T est la tension du ressort, F la force de gravitation qu'exerce la Terre et a
est l'accélération due à la rotation de la Terre (accélération centripète).
On vérifie que l'accélération a une valeur petite et que m.a est négligeable devant F et T.
A l'équateur,→où l'accélération
prend→ sa valeur
maximale, on trouve a ≈ 0,033 m.s−2.
→
→
→
→
On a donc T + F = ε ou T = − (F − ε )
→
F est la force de gravitation, mais, par définition le poids d'un objet est la force qu'exerce la
→
→
→
Terre sur cet objet vue dans le référentiel terrestre, donc : P = F − ε
→
→
Soit
P ≈F
En première approximation, le poids d'un objet au voisinage de la surface de la Terre est
égal à la force gravitationnelle qu'il subit.
Remarque : Le poids est légèrement différent de la force de gravitation, la verticale du lieu
ne coïncide pas avec la radiale pour un point situé à une latitude quelconque.
2) Champ de gravitation et champ de pesanteur :
→
→
→
→
Le champ de gravitation G est défini par F = m. G où F est la force de gravitation définie
dans un référentiel galiléen. Pour les mêmes raisons que ci-dessus le champ de pesanteur
→
→
→
→
→
g défini dans le référentiel terrestre par P = m. g . g est différent de G .
→
→
Mais pour les mêmes raisons nous admettrons que g ≈ G
En première approximation, le champ de pesanteur et le champ de gravitation au voisinage
de la surface d'un astre en rotation sont égaux.
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3) Champ de pesanteur uniforme :
Un champ de pesanteur est dit uniforme, dans une région d'espace donnée, lorsque le
→
→ te
vecteur champ de pesanteur est le même dans toute la région considérée ( g ≈ c ).
Dans un volume restreint, au voisinage de la Terre :
→
- la variation de la direction de g d’un point de la surface de la Terre à un autre est faible.
Un mille nautique (1 Nm = 1852 m) est la longueur de l'arc de grand cercle de la Terre,
sous-tendu par un angle au centre de la Terre de 1 minute d'angle.
Exemple : En deux points de la surface de la Terre, séparés par une distance de l'ordre du
kilomètre, les verticales font entre elles un angle inférieur à 1 minute d'angle.
→
On peut donc considérer que le champ de pesanteur g garde la même direction sur toute
une surface carrée de l'ordre de 1 km de coté.
→
2
- la variation de la mesure de g avec l’altitude est donnée par g = g0. R 2 ≈ g0.(1 – 2. z )
(R + z )
R
Exemple : Avec R = 6380 km (rayon de la Terre), et z = 1 km la variation relative de la
mesure g0 du champ de pesanteur est de : -- 3,1.10−4 = -- 0,031 %.
Entre une altitude z = 0 où g = g0 et une altitude z = 1 km = 1000 m, on peu considérer
que la mesure du champ de pesanteur garde la même valeur g0.
Dans un volume cubique de l'ordre de 1 km d'arrête, situé à la surface de la Terre, on pourra
→
considérer le champ de pesanteur g0 comme uniforme.
IV) Mouvement d’un satellite dans le champ d’un astre :
1) Mouvement d’une planète et lois de Kepler :
- Cas général : on étudie le mouvement d'une planète (P), de masse
mP, en orbite autour du Soleil (S) de masse mS dans le référentiel
héliocentrique d'origine S, le centre du Soleil.
→
La planète (P) n'est soumise qu'à la force de gravitation F qu'exerce
le Soleil et qui est une force centrale (toujours dirigée vers S).
L'étude mathématique complète montre que la trajectoire d'une
planète est une conique : ellipse, parabole, hyperbole ou cercle.
- Orbite circulaire : supposons que la planète
décrive
un→ mouvement
circulaire de centre S.
→
→
→
La deuxième loi de Newton s'écrit : F = mP. a où a comme F est dirigé suivant SP et
→
tourné vers S. La vitesse v de la planète est tangente au cercle
→
trajectoire donc orthogonale à SO. L'accélération a étant radiale (et pas
seulement centrale) n'a pas de composante tangentielle, donc :
dv
aT = 0 =
et a = aN, la mesure de la vitesse est constante v = cte :
dt
La planète a donc un mouvement circulaire uniforme.
On peut mettre la deuxième loi de Newton sous la forme : F = mP.aN
m .m
v2
m
D’où K. S 2 P = mP.
et on déduit la relation : r = K. 2S indépendante de mP.
r
r
v
Soit T la période de rotation de la planète de mouvement circulaire uniforme : v = 2.π.r/T
m .T 2
T 2 = 4.π2 = cte
d'où r = K. S 2 2 soit
K.mS
r3
4 .π .r
C'est l'expression de la 3° loi de Kepler ou loi des périodes dans laquelle on retrouve que la
constante ne dépend pas des caractéristiques de la planète.
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2) Satellite de la Terre :
a) Généralités :
On considère le cas particulier d'un satellite de la
terre de masse m dont le centre d'inertie A est en
mouvement circulaire de rayon r = RT + h et
uniforme de vitesse de mesure v, autour de la
Terre de masse MT et de rayon RT. Le mouvement
est étudié dans le référentiel géocentrique supposé
galiléen.
L'altitude du satellite est suffisante (h > 200 km) pour que les frottements de l'atmosphère
soient négligeable : seule la force de gravitation terrestre est à considérer : le satellite est
en chute libre !
La mise en orbite d'un satellite est effectuée par une fusée dont le rôle est double :
- amener le satellite à une altitude supérieure à 200 km où les effets de l'atmosphère sont
négligeables.
- communiquer au satellite une vitesse suffisante pour qu'il ne retombe pas sur Terre et
soit donc satellisé.
b) Satellite géostationnaire :
Un satellite est géostationnaire si son orbite est équatoriale, sa trajectoire circulaire et son
mouvement géosynchrone.
Pour que le satellite soit géosynchrone (même
période que la Terre) il faut que T = 1 j.
D'où un rayon de l'orbite circulaire
MT . T 2
r = K.
= 42,2.103 km
2
4. π
Si r = RT + h est la distance SO, h l'altitude du
satellite et RT le rayon de la Terre :
3
MT . T 2
− RT
4. π 2
Remarque : Un satellite géostationnaire A reste constamment à la verticale d'un point P
de l'équateur.
Les satellites géostationnaires servent en télécommunication ou en météorologie.
h = r − RT =
3
K.
V) Apesanteur et impesanteur :
Dans un référentiel galiléen, un solide isolé ne serait soumis, en particulier à aucune force de
gravitation : il serait en état d'apesanteur dans un référentiel galiléen.
Remarque : L'état d'apesanteur ne peut être réalisé que loin de tout astre, dans l'espace
intersidéral !
Dans une station spatiale, un objet flotte : le référentiel lié à la station spatiale n'est pas galiléen
(il est en mouvement de rotation).
Bien que l'objet soit immobile dans ce référentiel, on ne peut pas en conclure que la résultante
des forces qui lui sont appliquées est nulle : l'objet est en état d'impesanteur dans un référentiel
non galiléen.
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A RETENIR
I) La loi de la gravitation universelle :
1) Les 3 lois empiriques de Kepler :
- Loi des orbites elliptiques (1605) : Dans un référentiel héliocentrique, les planètes décrivent
des ellipses dont le centre S du Soleil est l'un des foyers. Ces orbites
sont planes.
→
- Loi des aires (1604) : Pendant une durée ∆t, le rayon vecteur SP qui joint le centre S du
Soleil au centre d'une planète balaie une aire A constante.
- Loi des périodes (1618) : Le carré de la période de révolution T d'une planète est
proportionnel au cube de la longueur du demi-grand axe de l'ellipse a : T2/a3 = KS
Où KS est une constante indépendante de la planète considérée.
2) Satellite d'une planète :
Les trois lois de Kepler s'appliquent également aux satellites d'une planète.
La troisième loi s'écrit : T2/a3 = KP où KP est une constante qui dépend de la planète
considérée mais pas des caractéristiques des satellites en orbite autour de la planète.
3) Loi d'attraction universelle :
→
L'objet (A) exerce sur l'objet (B) une force attractive F A →B et l'objet (B) exerce sur l'objet (A)
→
une force attractive FB → A . Ces deux forces sont appelées forces gravitationnelles.
→
→
→
→
D'après le principe d'interaction : F A →B = − FB → A et F A →B et FB → A sont colinéaires.
FA →B = FB → A = K. m A .2mB
r
K est la constante de gravitation universelle :
K = 6,67259.10−11 N.m2.kg−2
→
Désignons par u AB le vecteur unitaire de la droite (AB) orienté de A vers B.
→
La force F A →B qu'exerce l'objet (A) sur l'objet (B) s'écrit :
→
→
F A →B = − K. m A .2mB . u AB
r
Nous admettrons qu'un objet "étendu" sphérique (S) et homogène ou constitué de couches
sphériques concentriques et homogènes est équivalent, pour les forces de gravitation qu'il
exerce ou qu'il subit, à un objet quasi-ponctuel de même masse, placé en son centre.
II) Champ de gravitation :
1) Notion de champ de gravitation :
→
Si un objet-test est soumis à une force gravitationnelle F nous dirons qu'il existe en P un
→
champ de gravitation G(P) . Ce champ gravitationnel est produit par différentes masses
réparties dans l'espace et appelées sources du champ. Le champ caractérise les propriétés
gravitationnelles de l'espace liées à la présence des sources.
2) Définition :
→
→
G(P) = − K. M2 . u O P
r
Le champ de gravitation créé en P par l'objet de masse M centré en O a pour :
- direction : celle de la droite (OP),
- sens : de O vers P,
- valeur : G(P) = K.M/r2 où G s'exprime m.s−2, M en kg, r en m et K en m3.kg−2.s−2.
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3) Lignes de champ :
D'une façon générale, on appelle ligne de champ une
courbe admettant comme tangente en chaque point la
droite de même direction et même sens que le champ.
Les lignes de champ, du champ gravitationnel créé par
un objet à symétrie sphérique, centré en un point O, sont
des demi-droites "rentrantes", passant par O.
III) Champ de pesanteur :
1) Force gravitationnelle et poids :
→
F est la force de gravitation, mais, par définition le poids d'un objet est la force qu'exerce la
→
→
→
Terre sur cet objet vue dans le référentiel terrestre, donc : P = F − ε
→
→
Soit
P ≈F
En première approximation, le poids d'un objet au voisinage de la surface de la Terre est
égal à la force gravitationnelle qu'il subit.
Remarque : Le poids est légèrement différent de la force de gravitation, la verticale du lieu
ne coïncide pas avec la radiale pour un point situé à une latitude quelconque.
2) Champ de gravitation et champ de pesanteur :
En première approximation, le champ de pesanteur et le champ de gravitation au voisinage
de la surface d'un astre en rotation sont égaux.
3) Champ de pesanteur uniforme :
→
- la variation de la direction de g d’un point de la surface de la Terre à un autre est faible.
Un mille nautique (1 Nm = 1852 m) est la longueur de l'arc de grand cercle de la Terre,
sous-tendu par un angle au centre de la Terre de 1 minute d'angle.
→
2
- la variation de la mesure de g avec l’altitude est donnée par g = g0. R 2 ≈ g0. (1 – 2. z )
R
(R + z )
Le facteur 2.z/R donne une idée de la variation relative de la mesure g0 du champ de
pesanteur avec l'altitude z.
Dans un volume cubique de l'ordre de 1 km d'arrête, situé à la surface de la Terre, on pourra
→
considérer le champ de pesanteur g0 comme uniforme.
IV) Mouvement d’un satellite dans le champ d’un astre :
1) Mouvement d’une planète et lois de Kepler :
2
T2
= 4.π = cte
3
K.mS
r
2) Satellite de la Terre :
L'altitude du satellite est suffisante (h > 200 km) pour que les frottements de l'atmosphère
soient négligeable : seule la force de gravitation terrestre est à considérer : le satellite est en
chute libre !
Un satellite est géostationnaire si son orbite est équatoriale, sa trajectoire circulaire et son
mouvement géosynchrone.
Les satellites géostationnaires servent en télécommunication ou en météorologie.
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POUR S'ENTRAÎNER
I) Interaction de gravitation.
Deux corps (1) et (2) sont en interaction de gravitation. Compléter le tableau en expliquant dans
un cas le calcul effectué.
(1) et (2)
en interaction
Terre et Soleil
Terre et Lune
Terre et pierre
rocher et pierre
masse m1
en kg
6,0.1024
6,0.1024
6,0.1024
masse m2
en kg
2,0.1030
distance entre
centres en m
3,8.108
6,4.106
1
valeur de la force
en N
3,56.1022
2,0.1020
9,77
6,67.10−5
On prendra K = 6,67.10−11 S.I. pour constante de gravitation.
II) Force de gravitation.
Un objet de masse m = 10 kg est posé sur le sol de la Terre.
a) Calculer la valeur la force de gravitation FT qu'exerce la Terre sur cet objet (c'est
pratiquement la valeur de son poids).
b) Calculer les valeurs de la force de gravitation qu'exerce la Lune sur cet objet.
i. FLmax : dans le cas où l'objet est le plus proche de la Lune (la Lune au zénith de l'objet)
ii. FLmin : dans et le cas où il est le plus éloigné (la Lune au nadir).
c) i. Calculer les valeurs la force de gravitation FS qu'exerce le Soleil sur cet objet.
ii. Comparer l'influence de la Lune et celle du Soleil.
d) Ces forces sont-elles les seuls éléments qui interviennent pour expliquer le phénomène des
marées ? Expliquer et justifier.
On prendra K = 6,67.10−11 S.I. pour constante de gravitation.
30
On donne : masse du Soleil : MS = 2,0.10 kg
masse de la Terre : MT = 6,0.1024 kg
masse de la Lune : ML = 7,35.1022 kg
rayon de la Terre : RT = 6,38.106 m
distance Terre-Lune : rL = 3,85.108 m (de centre à centre)
11
distance Terre-Soleil : rS = 1,49.10 m (de centre à centre)
III) Mouvement d’un satellite.
On considère un point situé à l’altitude h audessus de la surface de la Terre. O est le
centre de la Terre, R son rayon et M sa
masse.
a) Exprimer et représenter le champ de
→
gravitation G(h) créé par la Terre en A.
Quelle hypothèse doit-on faire pour que
→
G(h) ait cette expression simple ? Pour
→
quelle raison le poids m. g(h) d’un objet de
→
masse m placé au point A n’est il pas exactement égal à m. G(h) ?
→
→
On admettra dans la suite que g(h) et G(h) sont deux vecteurs confondus pour les valeurs
de h considérées.
b) Déduire du résultat précédent la valeur de g(h) en fonction de g(0) = g0 au niveau du sol.
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Mouvement des satellites et des planètes
c) On considère un satellite de la Terre ayant une trajectoire circulaire (C).
i. Où est le centre de (C) ?
ii. Montrer que le satellite a un mouvement uniforme.
iii. Exprimer la mesure v de la vitesse de ce satellite en fonction de g0, R et h. En déduire
l’expression de sa période de révolution T en fonction des mêmes paramètres.
A.N. : calculer h dans le cas où T = 1 h 40 min.
On donne : g0 = 9,80 m.s−2 et R = 6400 km.
d) On suppose que (C) est dans le plan équatorial et que le satellite tourne autour de l’axe des
pôles dans le même sens que la Terre. Calculer la durée T’ entre 2 passages consécutifs du
satellite à la verticale d’un même point de la Terre en fonction de T et de la période τ de
rotation de la Terre sur elle-même.
A.N. : calculer T’ dans le cas où T = 1 h 40 min et τ = 23 h 56 min.
IV) Rotation et force centrifuge.
a) Une station orbitale (satellisée autour de la terre) est constituée d'un tore à section carrée,
de rayon moyen R (cf. le film "2001 l'Odyssée de l'espace"). Le personnel de la station serait
normalement en état très inconfortable d'impesanteur (microgravité).
Pour recréer une pesanteur artificielle, la station tourne
sur elle-même autour de son axe de révolution d'un
mouvement de rotation uniforme dont la période est T.
i. Quel est le poids apparent d'un astronaute de masse
m à l'intérieur de la station ?
Application numérique : R = 200 m; m = 80 kg; T = 40 s
ii. Quelle devrait être la période de rotation de cette station pour que le poids apparent soit
égal au poids sur Terre (où g0 = 9,8 m.s−2) ?
b) Certaines étoiles à neutrons tournent sur elle-même à la vitesse angulaire ω = 1,0 tour par
seconde. Le rayon de l'étoile est r = 20 km. En admettant que le champ de gravitation qui
règne à la surface de l'étoile est celui créé par toute l'étoile, calculer la masse minimale de
l'étoile. Comparer sa masse volumique moyenne à celle de la Terre, soit 5500 kg.m−3.
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Christian BOUVIER