Mouvement des satellites et des planètes

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne
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Chapitre n° 5 : MOUVEMENT DES SATELLITES ET DES PLANETES
Le début de la leçon est une introduction historique des interactions de gravitation et montre
comment la loi de Newton a permis de comprendre les lois empiriques de Kepler.
La loi d'attraction universelle résulte d'une déduction révolutionnaire de Newton qui a fait naître la
"légende de la pomme".
Le but de la leçon est d'introduire la notion de champ vectoriel à propos du champ de gravitation.
Nous ferons ensuite la distinction entre gravitation (radiale) et pesanteur (uniforme), ce qui nous
permettra dans des leçons ultérieures d'étudier séparément le mouvement dans un champ
uniforme et le mouvement circulaire dans un champ radial.
I) La loi de la gravitation universelle
1)
:
Les 3 lois empiriques de Kepler
Johannes KEPLER (astronome et physicien Allemand, 1571-1630), fut l'assistant de Tycho
BRAHE (astronome Danois, 1546-1601) à la fin de sa vie.
:
Après la mort de son maître en 1601, il étudia avec minutie les relevés des positions des
planètes établis par celui-ci.
Par un travail acharné d'analyse et de réflexion, mené pendant une quinzaine d'années, il
mit en évidence trois lois, largement en accord avec les observations, et qui décrivent le
mouvement des planètes. Il faut souligner que ces lois résultent non de l'application d'une
théorie générale, mais de l'observation de régularités dans les valeurs numériques résultant
de longs calculs : ce ne sont pas des lois théoriques, mais des lois empiriques.
a) Les deux premières lois de Kepler :
- Loi des orbites elliptiques (1605) :
Dans un référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des ellipses dont le centre S
du Soleil est l'un des foyers. Ces orbites sont planes.
Remarque : Le cercle est une orbite elliptique particulière dont S est le centre.
- Loi des aires (1604) :
Pendant une durée ∆t, le rayon vecteur
→
SP
qui joint le
centre S du Soleil au centre d'une planète balaie une aire A
constante, quelle que soit la position de la planète.
Remarque : Le rapport A/∆t ne dépend que de la planète
considérée.
b) Troisième loi de Kepler :
- Loi des périodes (1618) :
Le carré de la période de révolution T d'une planète est proportionnel au cube de la
longueur du demi-grand axe de l'ellipse a :
3
2
a
T
= KS
Où KS est une constante indépendante de la planète considérée.
2) Satellite d'une planète
Les trois lois de Kepler s'appliquent également aux satellites d'une planète.
:
La troisième loi s'écrit : T2/a3 = KP où KP est une constante qui dépend de la planète
considérée mais pas des caractéristiques des satellites en orbite autour de la planète.

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3) Loi d'attraction universelle
a) La pomme et la Lune :
:
- Les prédécesseurs de Newton et notamment Kepler, pensaient à tort que le mouvement
d'une planète est dû à une action mécanique exercée dans la direction du mouvement.
- Tout le monde connaît l'histoire de la pomme de Newton : une pomme se détache de la
branche sur laquelle elle est accrochée et tombe. D'une façon générale tout objet situé
près de la Terre et privé d'attache ou de support tombe vers le centre de la Terre.
Qu'en est-il de la Lune ? Dépourvue d'attache elle doit également tomber vers la terre !
- Analogie avec la "fronde" : la pierre tenue par la fronde tourne autour de la main du
lanceur. Le mouvement est pratiquement circulaire uniforme. Si le lanceur lâche un brin
de la fronde, la pierre quitte tangentiellement sa trajectoire circulaire. De même, si la
Lune n'était pas attirée par la terre elle poursuivrait son chemin tout droit dans l'espace.
- Newton pense que c'est l'attraction terrestre qui incurve la trajectoire de la Lune. La Lune
"tombe" vers la Terre mais sa vitesse tangentielle est si grande que sa chute incurve
juste assez sa course pour la maintenir à la même distance de la Terre.
- Traitement mathématique du problème :
La période de révolution TL de la Lune dans sa rotation autour de la Terre est
TL = 27 j 7 h 43 min 11 s = 2360591 s et la distance moyenne Terre-Lune est
rL = 3,8.108 m. Sur sa trajectoire la Lune a donc une vitesse linéaire de
vL = 2.π.rL/TL ≈ 1,0.103 m.s−1.
En ∆t = 1 s la Lune parcourt un arc de longueur d = vL.∆t ≈ 1,0.103 m
sur sa trajectoire et tourne autour de la Terre d'un petit angle α tel
que α = d/rL ≈ 2,6. 10−6 rad.
Selon le raisonnement de Newton, durant ∆t = 1 s la Lune "tombe"
d'une hauteur :
hL =
αcos
rL
− rL ≈
2
1r
2
L
α
−
− rL ≈ rL.(
2
12
α
+
) − rL
soit hL ≈ rL.
2
2
α
≈ 1,3.10−3 m
D'autre part, près du sol, durant la première seconde (∆t = 1 s) une
pomme tombe d'une hauteur hp :hp =
2
1
.g0.∆t2 ≈ 0,5x9,8x12 = 4,9 m
Newton pose que ces distances sont proportionnelles aux
"attractions" correspondantes exercées par la Terre. De plus, il pose
que ces attractions sont inversement proportionnelles à une certaine
puissance n de la distance du centre de la Terre au centre de la Lune
rL, et du centre de la Terre à la pomme RT (rayon de la Terre) :
Soit
n
T
L
R
r
=
h
hp
L
En prenant le logarithme népérien des deux membres on a : ln(
n
T
L
R
r
) = ln(
L
p
h
h
) et en
utilisant une propriété caractéristique des logarithmes : n.ln(
T
L
R
r
) = ln(
L
p
h
h
)
D'où n =
T
L
L
p
R
r
ln
h
h
ln
≈
08,423,8
≈ 2,0

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Les données numériques sur le mouvement de la Lune et les expériences réalisées sur
la chute des corps permettent à Newton de montrer que :
L'attraction terrestre est inversement proportionnelle au carré de la distance de l'objet
(Lune ou pomme) au centre de la Terre.
Newton érige en loi universelle ses conclusions énoncées pour la terre. Les lois de Kepler
trouvent leur explication dans cette loi. Des mesures de la constante de gravitation ont été
effectuées par Cavendish en 1798, et des mesures plus précises par Boys en 1895.
b) Interaction de gravitation :
- On considère deux objets ponctuels (A) et (B), de masses mA et mB et placés en des
points A et B à une distance r l'un de l'autre.
L'objet (A) exerce sur l'objet (B) une force attractive
→
→BA
F
et l'objet (B) exerce sur l'objet
(A) une force attractive
→
→AB
F
. Ces deux forces sont appelées forces gravitationnelles.
D'après le principe d'interaction :
→
→BA
F
= --
→
→AB
F
et
→
→BA
F
et
→
→AB
F
sont colinéaires.
La mesure commune des deux forces gravitationnelles est donnée par l'expression :
BA
F
→
=
AB
F
→
= K.
2BA
rm.m
K est la constante de gravitation universelle : K = 6,67259.10−11 N.m2.kg−2
- Désignons par
→
AB
u
le vecteur unitaire de la droite (AB) orienté de A vers B.
La force
→
→BA
F
qu'exerce l'objet (A) sur l'objet (B)
s'écrit :
→
→BA
F
= -- K.
2BA
rm.m
.
→
AB
u
c) Objet à symétrie sphérique :
On considère un objet "étendu" sphérique (S) et homogène ou constitué de couches
sphériques concentriques et homogènes (cas de la plupart des astres).
Nous admettrons que (S) est équivalent, au point de vue des forces de gravitation qu'il
exerce ou qu'il subit, à un objet quasi-ponctuel de même masse, placé en son centre.
Un objet pourra être considéré comme ponctuel s’il est observé à une grande distance.
II) Champ de gravitation
1)
:
Notion de champ de gravitation
Amenons, par la pensée, en un point P de l'espace un objet quasi-ponctuel de masse m.
:
Si un objet-test est soumis à une force gravitationnelle
→
F
nous dirons qu'il existe en P un
champ de gravitation
→
)P(G
. Ce champ gravitationnel est produit par différentes masses
réparties dans l'espace et appelées sources du champ. Le champ caractérise les propriétés
gravitationnelles de l'espace liées à la présence des sources.
2) Définition
Le vecteur champ de gravitation
:
→
)P(G est défini par :
→
)P(G
= .
→
F
/m ou
→
F
= m.
→
)P(G
La mesure G(P) de
→
)P(G
s'exprime en N.kg−1 ou en m.s−2.
On considère un objet à symétrie sphérique de masse M dont le centre est en un point O.
Plaçons en un point P un objet-test de masse m. La force gravitationnelle
F
→
subit par l'objet
test est donnée par la loi de Newton :
→
→PO
F
= -- K.
2
rM.m
.
→
PO
u
= m.(-- K. 2
r
M.
→
PO
u
) = m.
→)P(G

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D’où l'expression du champ de gravitation créé en P par l'objet de masse M centré en O :
→)P(G
= -- K. 2
r
M.
→
PO
u
Le champ de gravitation créé en P par l'objet de masse M centré en O a pour :
- direction : celle de la droite (OP),
- sens : de O vers P,
- valeur : G(P) = K.M/r2 où G s'exprime m.s−2, M en kg, r en m et K en m3.kg−2.s−2.
3) Lignes de champ
D'une façon générale, on appelle ligne de champ une
courbe admettant comme tangente en chaque point la
droite de même direction et même sens que le champ.
:
Les lignes de champ, du champ gravitationnel créé par
un objet à symétrie sphérique, centré en un point O, sont
des demi-droites "rentrantes", passant par O.
III) Champ de pesanteur
1)
:
Force gravitationnelle et poids
On considère un objet de masse m suspendu à un ressort, en équilibre par rapport au
référentiel du laboratoire (référentiel terrestre).
:
On peut écrire :
→
T
+
→
P
=
→
0
Où
→
T
est la tension du ressort et
→
P
est le poids de l'objet.
Or le référentiel terrestre n'est pas galiléen par rapport au référentiel géocentrique
(qui est très galiléen). Par rapport au référentiel géocentrique, l'objet est en
mouvement de rotation uniforme (il tourne avec la terre autour de son axe), on a
donc :
→
T
+
→
F
= m.
→
a
Où
T
→
est la tension du ressort,
F
→
la force de gravitation qu'exerce la Terre et
a
→
est l'accélération due à la rotation de la Terre (accélération centripète).
On vérifie que l'accélération a une valeur petite et que m.a est négligeable devant F et T.
A l'équateur, où l'accélération prend sa valeur maximale, on trouve a ≈ 0,033 m.s−2.
On a donc
T
→
+
F
→
=
ε
→
ou
T
→
= − (
F
→
−
ε
→
)
F
→
est la force de gravitation, mais, par définition le poids d'un objet est la force qu'exerce la
Terre sur cet objet vue dans le référentiel terrestre, donc :
P
→
=
F
→
−
ε
→
Soit
P
→
≈
F
→
En première approximation, le poids d'un objet au voisinage de la surface de la Terre est
égal à la force gravitationnelle qu'il subit.
Remarque : Le poids est légèrement différent de la force de gravitation, la verticale du lieu
ne coïncide pas avec la radiale pour un point situé à une latitude quelconque.
2) Champ de gravitation et champ de pesanteur
Le champ de gravitation
:
G
→ est défini par
F
→ = m.
G
→ où
F
→ est la force de gravitation définie
dans un référentiel galiléen. Pour les mêmes raisons que ci-dessus le champ de pesanteur
g
→
défini dans le référentiel terrestre par
P
→
= m.
g
→
. g
→
est différent de
G
→
.
Mais pour les mêmes raisons nous admettrons que
g
→
≈
G
→
En première approximation, le champ de pesanteur et le champ de gravitation au voisinage
de la surface d'un astre en rotation sont égaux.

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3) Champ de pesanteur uniforme
Un champ de pesanteur est dit uniforme, dans une région d'espace donnée, lorsque le
vecteur champ de pesanteur est le même dans toute la région considérée (
:
g
→
≈
→te
c
).
Dans un volume restreint, au voisinage de la Terre :
- la variation de la direction de
g
→
d’un point de la surface de la Terre à un autre est faible.
Un mille nautique (1 Nm = 1852 m) est la longueur de l'arc de grand cercle de la Terre,
sous-tendu par un angle au centre de la Terre de 1 minute d'angle.
Exemple : En deux points de la surface de la Terre, séparés par une distance de l'ordre du
kilomètre, les verticales font entre elles un angle inférieur à 1 minute d'angle.
On peut donc considérer que le champ de pesanteur
g
→
garde la même direction sur toute
une surface carrée de l'ordre de 1 km de coté.
- la variation de la mesure de
→
g
avec l’altitude est donnée par g = g0.
2
2)zR( R
+
≈ g0.(1 – 2.
R
z
)
Exemple : Avec R = 6380 km (rayon de la Terre), et z = 1 km la variation relative de la
mesure g0 du champ de pesanteur est de : -- 3,1.10−4 = -- 0,031 %.
Entre une altitude z = 0 où g = g0 et une altitude z = 1 km = 1000 m, on peu considérer
que la mesure du champ de pesanteur garde la même valeur g0.
Dans un volume cubique de l'ordre de 1 km d'arrête, situé à la surface de la Terre, on pourra
considérer le champ de pesanteur
→
0
g
comme uniforme.
IV) Mouvement d’un satellite dans le champ d’un astre
1)
:
Mouvement d’une planète et lois de Kepler
- Cas général : on étudie le mouvement d'une planète (P), de masse
mP, en orbite autour du Soleil (S) de masse mS dans le référentiel
héliocentrique d'origine S, le centre du Soleil.
:
La planète (P) n'est soumise qu'à la force de gravitation
F
→
qu'exerce
le Soleil et qui est une force centrale (toujours dirigée vers S).
L'étude mathématique complète montre que la trajectoire d'une
planète est une conique : ellipse, parabole, hyperbole ou cercle.
- Orbite circulaire : supposons que la planète décrive un mouvement circulaire de centre S.
La deuxième loi de Newton s'écrit :
F
→ = mP.
a
→ où
a
→
comme
F
→ est dirigé suivant SP et
tourné vers S. La vitesse
v
→
de la planète est tangente au cercle
trajectoire donc orthogonale à SO. L'accélération
a
→
étant radiale (et pas
seulement centrale) n'a pas de composante tangentielle, donc :
aT = 0 =
dv
dt
et a = aN, la mesure de la vitesse est constante v = cte :
La planète a donc un mouvement circulaire uniforme.
On peut mettre la deuxième loi de Newton sous la forme : F = mP.aN
D’où K. 2PS
rm.m
= mP.
r
v2
et on déduit la relation : r = K. 2
S
v
m
indépendante de mP.
Soit T la période de rotation de la planète de mouvement circulaire uniforme : v = 2.π.r/T
d'où r = K.
22
2
Sr..4 T.mπ
soit 3
2
r
T
=
S
2
m.K.4 π
= cte
C'est l'expression de la 3° loi de Kepler ou loi des périodes dans laquelle on retrouve que la
constante ne dépend pas des caractéristiques de la planète.