25.4 Fondements de la g´eom´etrie alg´ebrique 267
25.3 L’histoire du s´eminaire
La premi`ere annonce de Chevalley eut lieu pendant le Congr`es Bourbaki
de juin 1956, `aDie,o`u il donna en pr´esence de Borel, Godement, Serre,
Bruhat et moi-mˆeme, parmi d’autres participants, un long expos´ed´ecrivant
ses m´ethodes. Il s’appuyait de mani`ere essentielle sur les r´esultats de Borel [1]
obtenusunanplustˆot, concernant en particulier les sous-groupes r´esolubles
connexes maximaux (appel´es depuis “sous-groupes de Borel”). Je laisse `a
Borel [2] le soin d’expliquer la gestation de ses r´esultats, qui sont d’ailleurs
l’objet des chapitres 4 `a7dupr´esent ouvrage, ´ecrits par A. Grothendieck.
Je voudrais d´ecrire rapidement l’atmosph`ere math´ematique du temps `a
Paris. Entre 1947 et 1960, l’activit´e de recherche en math´ematiques “pures”
´etait centr´ee sur le S´eminaire Cartan, qui se tenait traditionnellement le lundi
`a l’Ecole Normale Sup´erieure, de 14 `a16heures
2. Cartan s’int´eressait `ade
multiples aspects de la topologie, des fonctions de variables complexes, des
fonctions automorphes ...Borel et Grothendieck y avaient particip´eaud´ebut,
mais Serre ´etait le principal acteur – hormis Cartan bien sˆur. Lorsque Che-
valley s’installa `aParis,`a l’automne 1955, le S´eminaire Cartan devint (pour
une ann´ee) le “S´eminaire Cartan-Chevalley” et se consacra aux fondements
de la g´eom´etrie alg´ebrique (voir la section suivante). Parmi les conf´erenciers,
outre Chevalley, on trouve en particulier Godement et moi-mˆeme. Dans la
mouvance du S´eminaire Cartan, j’avais en 1954-55, et en collaboration avec
Michel Lazard, dirig´eunS´eminaire consacr´e`al’´etude de la structure et de
la classification des alg`ebres de Lie complexes. Nous utilisˆames largement
des documents internes de Bourbaki. En fait, toutes ces manifestations par-
ticipaient de l’´elan donn´e par Bourbaki et qui allait se concr´etiser par la
publication des volumes de Bourbaki sur les groupes de Lie (entre 1965 et
1975).
Le terrain ´etait donc favorable, et Chevalley s’assura de la collaboration
de Grothendieck, Lazard et moi-mˆeme pour un S´eminaire qui d´ebuta `a l’au-
tomne 1956 et dura jusqu’en f´evrier 1958. Le S´eminaire de Chevalley continua
encore deux ann´ees, sur d’autres th`emes plus li´es `alag´eom´etrie alg´ebrique,
et non plus centr´es sur un objectif unique.
25.4 Fondements de la g´eom´etrie alg´ebrique
Les ann´ees 1950 furent une ´epoque de changements tr`es rapides dans ce
sujet. A partir de 1935, s’appuyant sur les acquis de l’“alg`ebre moderne” (titre
de son ouvrage fameux), B.L. van der Waerden entreprit de donner des fonde-
ments alg´ebriques rigoureux `alath´eorie des vari´et´es alg´ebriques de dimension
2A partir de 1955, L. Schwartz d´eveloppa un autre pˆole, plus tourn´e vers l’Ana-
lyse, et qui devait donner naissance au courant des math´ematiques “appliqu´ees”
autour de J.-L. Lions.