Classification des Groupes Algébriques Semi-simples - Beck-Shop

CollectedWorksofClaudeChevalley(closed)3
ClassificationdesGroupesAlgébriquesSemi-simples
TheClassificationofSemi-simpleAlgebraicGroups
Bearbeitetvon
ClaudeChevalley,PierreE.Cartier,P.Cartier
1.Auflage2004.Buch.XIV,276S.Hardcover
ISBN9783540230311
Format(BxL):15,5x23,5cm
Gewicht:1300g
WeitereFachgebiete>Mathematik>Algebra>AlgebraischeStrukturen,Galois
Theorie
ZuInhaltsverzeichnis
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25. Postface1
Sur les probl`emes de classification des groupes
25.1 De Galois `aLieetCartan
Dans ses travaux sur la th´eorie des ´equations alg´ebriques, Galois introduit
la notion de groupe, puis celle de sous-groupe invariant et enfin celle de groupe
simple ; d’une mani`ere qui sera pr´ecis´ee par Jordan et H¨older, il montre que
tout groupe fini est “compos´e” de groupes simples, et qu’en principe il suf-
fit de savoir r´esoudre les ´equations `a groupe de Galois simple. Les groupes
cycliques d’ordre premier ´etaient d´ej`a apparus (implicitement) dans les tra-
vaux de Lagrange et Gauss, et Galois introduit les premiers groupes simples
non commutatifs, `asavoirPSL
2(Fp)(pourppremier). Il reviendra ensuite
`a Jordan d’introduire les groupes lin´eaires classiques sur un corps premier
Fp: lin´eaire, orthogonal, symplectique (appel´e “ab´elien”, ou “hyperab´elien”
jusque vers 1935).
On en est l`a vers 1870 quand Sophus Lie commence `ad´evelopper la th´eorie
des groupes “finis et continus”. Son ambition est de cr´eer une th´eorie de Ga-
lois des ´equations diff´erentielles – mais de ce point de vue, c’est un essai
avort´e – ce qui l’am`ene naturellement `a l’id´ee de groupe de Lie simple. Les
groupes lin´eaires “classiques” sont assez rapidement reconnus, et leur sim-
plicit´eprouv´ee. Y en a-t-il d’autres ? La r´eponse est donn´ee par Killing [14]
en 1888, puis confirm´ee dans la th`ese d’Elie Cartan [4] en 1894. Pour prou-
ver cela, il faut introduire de nouvelles m´ethodes : au lieu de consid´erer les
groupes de Lie, on consid`ere les alg`ebres de Lie correspondantes – appel´ees
`al’´epoque “groupes infinit´esimaux”. On peut alors utiliser des m´ethodes
d’alg`ebre lin´eaire, en liaison avec la forme quadratique, dite de Killing, dont
la non-d´eg´en´erescence caract´erise, selon un crit`ere d’E. Cartan, les alg`ebres
de Lie semi-simples (c’est-`a-dire, les produits d’alg`ebres simples). La nomen-
clature An,Bn,Cn,Dnpour les groupes classiques s’impose apr`es E. Cartan,
et la nouveaut´er´eside dans les cinq groupes “exceptionnels” d´esign´es par
E6,E
7,E 8,F 4,G 2.
Les m´ethodes d’Elie Cartan sont compliqu´ees et peu transparentes. Entre
1930 et 1940, de nouvelles m´ethodes g´eom´etriques sont d´evelopp´ees par
1Postface de Pierre Cartier, ajout´ee en septembre 2004.

266 25. Postface
E. Witt, H.M.S. Coxeter, B.L. van der Waerden – sous l’influence d’Her-
mann Weyl. Ce dernier associe `a chaque groupe de Lie compact Gun groupe
fini W,legroupe de Weyl, qui admet une repr´esentation lin´eaire fid`ele dans
un espace vectoriel de dimension ´egale au rang de G. Ce groupe est engendr´e
par des r´eflexions orthogonales et laisse un r´eseau invariant. La classification
de ces groupes de r´eflexions est entreprise par Coxeter, et se trouve co¨ınci-
der avec celle des groupes de Lie simples. Il faudra attendre Chevalley [6] en
1948, puis Harish-Chandra [13], pour avoir une explication aprioride cette
co¨ıncidence.
25.2 Retour aux groupes finis
L’analogie entre les groupes de Lie classiques et les groupes finis obtenus
comme groupes classiques sur un corps fini ´etait patente. Il restait `aobtenir
les analogues finis des groupes de Lie exceptionnels. Dickson, au d´ebut du 20e
si`ecle, ne se contenta pas de d´efinir les groupes classiques sur un corps quel-
conque (et en particulier sur un corps fini) ; il construisit, par des m´ethodes
alg´ebriques, les analogues finis de G2et E6. En 1953, Chevalley construisit les
analogues des groupes exceptionnels F4,E6et E7sur un corps quelconque.
Il m’a souvent expliqu´e que c’est `alasuited’´echecs r´ep´et´es dans la construc-
tion de E8–lacomplexit´e des calculs rebutant mˆeme un calculateur aussi
entraˆın´e que lui – qu’il se r´esolut `a chercher une m´ethode g´en´erale qui per-
mettrait d’associer directement un groupe `a toute alg`ebre de Lie simple g(sur
le corps des nombres complexes) et `a tout corps commutatif K. C’est l’ob-
jet d’un de ses articles les plus fameux [8]. Il y introduisit un grand nombre
d’outils nouveaux, mais les groupes alg´ebriques n’y apparaissaient pas explici-
tement. Cet article ouvrit la voie `a toute une s´erie de travaux (Tits, Steinberg,
Ono, ...) qui permirent la construction de nouveaux groupes finis simples –
les groupes de Chevalley et leurs variantes “tordues” [5].
On pouvait d`es lors songer `a reprendre la classification de tous les groupes
finis simples. Une fois compris comment un groupe alg´ebrique simple sur un
corps de caract´eristique p= 0 permet d’engendrer des groupes finis simples
(en prenant les points sur un corps fini Fq), il ´etait urgent d’explorer la classifi-
cation des groupes alg´ebriques simples en caract´eristique p.Lasituation´etait
peu encourageante : au niveau des alg`ebres de Lie, Witt avait introduit de
nouvelles alg`ebres de Lie simples ; au niveau des groupes, la classification des
groupes formels commutatifs en caract´eristique p, obtenue par J. Dieudonn´e,
nous d´ecouvrait un monde nouveau, qui n’est pas encore compl`etement ex-
plor´e. Ce fut donc un coup de tonnerre lorsque Chevalley annon¸ca qu’il avait
prouv´e que la classification des groupes alg´ebriques simples ´etait ind´ependante
de la caract´eristique, p=0ou p=0.
La classification des groupes finis simples se poursuivit par la construc-
tion des 26 groupes “sporadiques” qui ne semblent avoir aucun lien avec les
groupes alg´ebriques, et l’annonce que ceux-ci fermaient la classification [12].

25.4 Fondements de la g´eom´etrie alg´ebrique 267
25.3 L’histoire du s´eminaire
La premi`ere annonce de Chevalley eut lieu pendant le Congr`es Bourbaki
de juin 1956, `aDie,o`u il donna en pr´esence de Borel, Godement, Serre,
Bruhat et moi-mˆeme, parmi d’autres participants, un long expos´ed´ecrivant
ses m´ethodes. Il s’appuyait de mani`ere essentielle sur les r´esultats de Borel [1]
obtenusunanplustˆot, concernant en particulier les sous-groupes r´esolubles
connexes maximaux (appel´es depuis “sous-groupes de Borel”). Je laisse `a
Borel [2] le soin d’expliquer la gestation de ses r´esultats, qui sont d’ailleurs
l’objet des chapitres 4 `a7dupr´esent ouvrage, ´ecrits par A. Grothendieck.
Je voudrais d´ecrire rapidement l’atmosph`ere math´ematique du temps `a
Paris. Entre 1947 et 1960, l’activit´e de recherche en math´ematiques “pures”
´etait centr´ee sur le S´eminaire Cartan, qui se tenait traditionnellement le lundi
`a l’Ecole Normale Sup´erieure, de 14 `a16heures
2. Cartan s’int´eressait `ade
multiples aspects de la topologie, des fonctions de variables complexes, des
fonctions automorphes ...Borel et Grothendieck y avaient particip´eaud´ebut,
mais Serre ´etait le principal acteur – hormis Cartan bien sˆur. Lorsque Che-
valley s’installa `aParis,`a l’automne 1955, le S´eminaire Cartan devint (pour
une ann´ee) le “S´eminaire Cartan-Chevalley” et se consacra aux fondements
de la g´eom´etrie alg´ebrique (voir la section suivante). Parmi les conf´erenciers,
outre Chevalley, on trouve en particulier Godement et moi-mˆeme. Dans la
mouvance du S´eminaire Cartan, j’avais en 1954-55, et en collaboration avec
Michel Lazard, dirig´eunS´eminaire consacr´e`al’´etude de la structure et de
la classification des alg`ebres de Lie complexes. Nous utilisˆames largement
des documents internes de Bourbaki. En fait, toutes ces manifestations par-
ticipaient de l’´elan donn´e par Bourbaki et qui allait se concr´etiser par la
publication des volumes de Bourbaki sur les groupes de Lie (entre 1965 et
1975).
Le terrain ´etait donc favorable, et Chevalley s’assura de la collaboration
de Grothendieck, Lazard et moi-mˆeme pour un S´eminaire qui d´ebuta `a l’au-
tomne 1956 et dura jusqu’en f´evrier 1958. Le S´eminaire de Chevalley continua
encore deux ann´ees, sur d’autres th`emes plus li´es `alag´eom´etrie alg´ebrique,
et non plus centr´es sur un objectif unique.
25.4 Fondements de la g´eom´etrie alg´ebrique
Les ann´ees 1950 furent une ´epoque de changements tr`es rapides dans ce
sujet. A partir de 1935, s’appuyant sur les acquis de l’“alg`ebre moderne” (titre
de son ouvrage fameux), B.L. van der Waerden entreprit de donner des fonde-
ments alg´ebriques rigoureux `alath´eorie des vari´et´es alg´ebriques de dimension
2A partir de 1955, L. Schwartz d´eveloppa un autre pˆole, plus tourn´e vers l’Ana-
lyse, et qui devait donner naissance au courant des math´ematiques “appliqu´ees”
autour de J.-L. Lions.

268 25. Postface
sup´erieure (au moins ´egale `a 2) ; le cas des courbes ´etait d´ej`a bien compris,
grˆace aux efforts de Dedekind, Weber, Deuring, Hasse, qui d´evelopp`erent
l’analogie entre les nombres alg´ebriques et les fonctions alg´ebriques d’une va-
riable. En particulier, Chow et van der Waerden d´evelopp`erent une th´eorie
des multiplicit´es d’intersection.
Lorsqu’Andr´e Weil entreprit de r´ediger sur une base solide sa d´emonstra-
tion de l’hypoth`ese de Riemann-Artin pour les courbes alg´ebriques sur un
corps fini, les th´eories existantes avaient deux lacunes :
– une th´eorie des intersections en caract´eristique p= 0, qui tienne compte
des ph´enom`enes d’extensions alg´ebriques purement ins´eparables ;
– une construction de la jacobienne d’une courbe.
La th´eorie des intersections est locale ; Zariski et Samuel l’avaient for-
mul´ee en termes d’anneaux locaux, et la formule des “Tor” de Serre en est
le couronnement naturel. La construction de la jacobienne est un ph´enom`ene
global, qui for¸ca Weil `a introduire des vari´et´es “abstraites” par recollement
– en imitant une proc´edure famili`ere en g´eom´etrie diff´erentielle.
L’expos´edeWeiln’´etait gu`ere intrins`eque, et la notion de corps de
d´efinition d’une vari´et´en’´etait gu`ere maniable. Ceci fut corrig´edemani`ere
`apeupr`es simultan´ee par Serre [15] et Chevalley [9]. Serre utilisa les m´ethodes
d´ej`a´eprouv´ees en th´eorie des fonctions de plusieurs variables complexes : il
basait tout sur la topologie de Zariski, et les faisceaux correspondants. Sa
m´ethode fonctionnait bien si le corps de base Kest alg´ebriquement clos, car
on peut alors identifier une vari´et´ealg´ebrique Xsur K`a l’ensemble X(K)
de ses points rationnels. Chevalley se restreignait aux vari´et´es irr´eductibles,
mais ne supposait pas le corps de base Kalg´ebriquement clos. Pour lui, une
vari´et´eXsur K´etait d´ecrite par le sch´ema3correspondant :
–lecorpsFdes fonctions rationnelles sur X, une extension de type fini de
K;
– une collection d’anneaux locaux Ox, de corps des fractions F,etcontenant
K.
Chevalley accordait un rˆole mineur `a la topologie de Zariski, contrairement
`a Serre.
Pour les besoins de ma th`ese, j’essayai de faire une synth`ese des deux
points de vue, en n’obligeant pas le corps de base `aˆetre alg´ebriquement clos
comme Serre, et les vari´et´es `aˆetre irr´eductibles comme Chevalley. Les deux
premiers chapitres de cet ouvrage donnent un expos´eunpeumaladroitde
ma synth`ese. En fait, tout le reste de l’ouvrage ne s’int´eresse qu’aux corps de
base alg´ebriquement clos, et l’on aurait pu se contenter de la pr´esentation de
Serre.
3Attention : le sch´ema d’une vari´et´e n’est pas constitu´e par l’ensemble de ses
points, mais par l’ensemble ordonn´edessous-vari´et´es irr´eductibles.