TD3_Physique2_corrigé

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TD 3 – Principe de Fermat
Exercice 1: Chemin optique
1. Enoncer le principe de Fermat.
2. A quelle condition la lumière se propage-t-elle en ligne droite entre 2 points A et B dans un milieu transparent
quelconque ?
La lumière se propage en ligne droite si ce milieu est homogène et isotrope.
3. Exprimer le chemin optique LAB pour un rayon allant du point A au point B dans l’air, assimilé ici au vide.
LAB = n0 AB = AB
4. On insère une fine lame de verre, d’épaisseur e et d’indice n, sur le trajet du rayon allant de A à B et
perpendiculairement à celui-ci. Exprimer le nouveau chemin optique L’AB.
LAB = n0 (AB - e) + n e = AB + (n-1) e
5. A.N : AB = 1 cm, e = 2 mm. n= 1,5.
a. Calculer les chemins optiques avec et sans lame de verre.
LAB = 1 cm et L’AB = 1,1 cm
b. Quelle distance dans l’air faudrait-il ajouter pour obtenir un parcours équivalent à l’introduction de la lame de
verre ?
Il faut ajouter L’AB - LAB = 1 mm d’air pour compenser la lame de verre.
Exercice 2 : Réflexion sur un miroir plan par le principe de Fermat
On étudie la réflexion, sur un miroir plan, de rayons
lumineux se propageant dans un milieu homogène et
isotrope.
Le miroir plan est situé dans le plan yOz. La lumière issue
d’un point A se propage vers un point C, après s’être
réfléchie sur le miroir en un point B. A priori, il existe
plusieurs chemins possibles pour aller de A à C, et on se
propose de déterminer la position (à priori quelconque) du
point de réflexion B sur le miroir, afin d’en déduire la loi de
Descartes en réflexion.
Pour simplifier, on ne considére ici que les rayons dans le plan (xOy). Les coordonnées des divers points dans ce
plan sont A(XA, 0), B (0, y), C(XC, YC).
1. Sur un schéma, tracer 5 trajets possibles de la lumière en variant la position du point B de manière régulière.
Mesurer la distance parcourue selon chacun des trajets. Tracer grossièrement le chemin optique en fonction de la
distance y. A quel résultat peut-on à priori s’attendre ?
Ce tracé approximatif montre qu’il existe un chemin pour lequel le chemin optique est minimum. Pour ce
chemin, on a : i = j. On se propose ensuite de démontrer rigoureusement ce résultats.
2. Exprimer les distances AB et BC en fonction des coordonnées des points.
𝐴𝐵 = √𝑋𝐴2 + 𝑦 2
𝐵𝐶 = √𝑋𝐶2 + (𝑌𝐶 − 𝑦)2
3. En déduire l’expression du chemin optique LAC en fonction des coordonnées des points.
𝐿𝐴𝐵 = √𝑋𝐴2 + 𝑦 2 + √𝑋𝐶2 + (𝑌𝐶 − 𝑦)2
4. D’après le principe de Fermat, le trajet réel du rayon est celui pour lequel le chemin optique est extrémal.
Démontrer l’expression suivante :
𝑑𝐿𝐴𝐵
𝑦
𝑌𝐶 − 𝑦
=
−
=0
𝑑𝑦
𝐴𝐵
𝐵𝐶
5. Exprimer sin i et sin j en fonction de AB et BC.
sin⁡(𝑖) =
sin⁡(𝑗) =
𝑦
𝐴𝐵
𝑌𝐶 − 𝑦
𝐵𝐶
6. En déduire la loi de Descartes en réflexion.
sin(i) = sin(𝑗) 𝑑𝑜𝑛𝑐⁡𝑖 = 𝑗
Exercice 3 : Propagation des rayons dans un milieu quelconque
C
1. La figure ci-dessus représente une rayon se propageant d’un point source A au point B en passant par C. Ce
type de rayon peut-il exister en réalité ? Expliquer en donnant un exemple.
Un rayon incurvé de la sorte peut exister dans un milieu hétérogène. Exemple du mirage.
2. Le point source est déplacé au point B. Justifier le chemin parcouru par le rayon issu de B, arrivant au point A
en passant par C.
Le principe du retour inverse de la lumière implique le trajet retour est identique.
Exercice 4 : Propagation de la lumière dans un milieu inhomogène
Une forte variation de température entre le sol et les basses couches de l’atmosphère peut provoquer une
variation de l’indice avec l’altitude z. C’est par exemple le cas au voisinage d’une route en bitume surchauffée
ou d’une surface d’eau beaucoup plus froide que l’air, dans des conditions de vent calmes. Cette hétérogénéité de
l’atmosphère se traduit par un effet de mirage : des objets proches du sol peuvent apparaître, à un observateur
éloigné, comme des images tremblantes, droites ou renversées (mirages supérieur ou inférieur) et parfois
multiples (Fata Morgana).
La loi de la réfraction de Descartes ou le principe de Fermat permettent de trouver le trajet lumineux
effectivement suivi par la lumière entre le point source O et l’observateur en A. On admet la loi d’indice suivante
selon l’altitude z :
𝑛2 (𝑧) = 𝑛02 − 𝑘. 𝑧
Le rayon lumineux issu d’un point objet O suit une trajectoire parabolique z(x) suivant la coordonnée x
horizontale :
𝑧(𝑥) = −
𝑘𝑥 2
2
(2𝑛0 sin(𝑖0 ))
+
𝑥
tan⁡(𝑖0 )
Le schéma ci-dessus représente une situation typique d’un sol chauffé et d’une atmosphère voisine plus froide.
1. Que voit l’observateur situé au point A ? S’agit-il d’un mirage inférieur ou supérieur ?
L’observateur voit une image dans la direction AO’ ie en dessous de la position réelle de l’objet. Il s’agit d’un
mirage inférieur
2. Quel est le signe du coefficient k ? En déduire si l’indice est croissant ou décroissant avec l’altitude.
Le rayon est au dessus de la droite z’(x)= x/tg(i0). k est nécessairement négatif. L’indice est donc croissant avec
l’altitude z.
3. En représentant l’atmosphère comme un empilement de fines couches horizontales d’indices différents, tenter
d’expliquer cette trajectoire parabolique.
Tracer un empilement de couches. Dessiner la réfraction entre deux couches et la réflexion totale au sommet de
la trajectoire.
La photo ci-dessous représente le trajet d’un faisceau laser dans une cuve remplie d’eau saturée en sel au fond de
la cuve.
4. Quelle différence voyez-vous par rapport au cas précédent ?
Le mirage est supérieur cette fois.
5. Exprimer la distance OA en fonction de n0, i0 et k.
𝑂𝐴 =
2009
2010
2𝑛02 sin⁡(2𝑖0 )
𝑘
6. Les indices de l’eau n et de l’eau salée n0 ont été mesurés au réfractomètre : n=1,33 et n0=1,38.
a. Déterminer k pour une distance OA = 28 cm et un angle i0 = 45°.
k = 13,6 m-1
LES MIRAGES
b. Sur quelle hauteur z, l’indice passe t-il de n0 à n ?
z = 1 cm
BRASSEUR Paul
DELAYE Cécile
QUERTINMONT Joelle
Lycée Hoche, Versailles
http:/apelh.free.fr
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