TD 3 – Principe de Fermat
Exercice 1: Chemin optique
1. Enoncer le principe de Fermat.
2. A quelle condition la lumière se propage-t-elle en ligne droite entre 2 points A et B dans un milieu transparent
quelconque ?
La lumière se propage en ligne droite si ce milieu est homogène et isotrope.
3. Exprimer le chemin optique LAB pour un rayon allant du point A au point B dans l’air, assimilé ici au vide.
LAB = n0 AB = AB
4. On insère une fine lame de verre, d’épaisseur e et d’indice n, sur le trajet du rayon allant de A à B et
perpendiculairement à celui-ci. Exprimer le nouveau chemin optique L’AB.
LAB = n0 (AB - e) + n e = AB + (n-1) e
5. A.N : AB = 1 cm, e = 2 mm. n= 1,5.
a. Calculer les chemins optiques avec et sans lame de verre.
LAB = 1 cm et L’AB = 1,1 cm
b. Quelle distance dans l’air faudrait-il ajouter pour obtenir un parcours équivalent à l’introduction de la lame de
verre ?
Il faut ajouter L’AB - LAB = 1 mm d’air pour compenser la lame de verre.
Exercice 2 : Réflexion sur un miroir plan par le principe de Fermat
On étudie la réflexion, sur un miroir plan, de rayons
lumineux se propageant dans un milieu homogène et
isotrope.
Le miroir plan est situé dans le plan yOz. La lumière issue
d’un point A se propage vers un point C, après s’être
réfléchie sur le miroir en un point B. A priori, il existe
plusieurs chemins possibles pour aller de A à C, et on se
propose de déterminer la position (à priori quelconque) du
point de réflexion B sur le miroir, afin d’en déduire la loi de
Descartes en réflexion.
Pour simplifier, on ne considére ici que les rayons dans le plan (xOy). Les coordonnées des divers points dans ce
plan sont A(XA, 0), B (0, y), C(XC, YC).
1. Sur un schéma, tracer 5 trajets possibles de la lumière en variant la position du point B de manière régulière.
Mesurer la distance parcourue selon chacun des trajets. Tracer grossièrement le chemin optique en fonction de la
distance y. A quel résultat peut-on à priori s’attendre ?
Ce tracé approximatif montre qu’il existe un chemin pour lequel le chemin optique est minimum. Pour ce
chemin, on a : i = j. On se propose ensuite de démontrer rigoureusement ce résultats.
2. Exprimer les distances AB et BC en fonction des coordonnées des points.
3. En déduire l’expression du chemin optique LAC en fonction des coordonnées des points.
4. D’après le principe de Fermat, le trajet réel du rayon est celui pour lequel le chemin optique est extrémal.
Démontrer l’expression suivante :