Espaces vectoriels normés : Exemples (666) 1) Dans R a) Q dense

Espaces vectoriels normés : Exemples (|||)
1) Dans R
a) Qdense dans R:8x2R,x= limn!+1
E(nx)
n:En e¤et, on a k nx < k+ 1 n, avec k=E(nx):
Remarque : On en déduit que p2 + Qest aussi dense, donc RnQest dense.
b) Soit ARnon vide et majoré. Alors = sup Assi (majore A
2Ai.e. (8x2A,x
8" > 0,9x2A,"x
Donc sup A= max A. En particulier, toute partie non vide fermée et majorée admet un maximum.
c) L’ensemble  = fx2Ijf(x) = 0gdes zéros d’une fonction continue (sur un intervalle fermé I) est fermé .
En e¤et, est stable par passage à la limite : Si x= limn!+1xn, avec f(xn) = 0, alors x2Iet f(x) = 0:
Exemple : Pour f: [0;+1[!Rx7! xsin( 1
x)si x > 0, et 0si x= 0, on a  = f0g[f1 n ; n 2Ng.
Corollaire : Si n’est pas vide, il existe un plus petit zéro.
Exemple : (F) Supposons f: [a; +1[!Rde classe C1, telle que f(a) = f(b) = 0, avec a<b. Il n’existe pas
nécessairement de plus petit zéro de fsur ]a; +1[.
En revanche, si f0(a)6= 0, alors f(x)af0(a)(xa), donc fne s’annule pas sur un intervalle ]a; a +]. Et le plus
petit zéro de fsur [a+; b]est le plus petit zéro de fsur ]a; +1[.
2) Dans les espaces de matrices
a) Continuité du déterminant : det : Mn(R)!RA7! det Aest continue, car det Aune fonction polynomiale des
coe¢ cients : Si limk!+1Ak=A, alors 8(i; j)2 f1;2; :::; ng2,limk!+1a(k)
ij =aij , donc limk!+1det(Ak) = det(A):
Conséquence :GLn(R) = det1(R)est une partie ouverte de Mn(R)(son complémentaire est fermé).
De façon générale, si fest continue, l’image réciproque d’un fermé par une fonction continue est un fermé, et
l’image réciproque d’un ouvert par une fonction continue est un ouvert (par passage aux complémentaires).
b) GLn(R)est dense dans Mn(R). Montrons que toute matrice A2 Mn(R)est limite de matrices inversibles.
On sait que AI est inversible ssi  =2Sp(A)l’ensemble des valeurs propres de A:
Comme Sp(A)est …ni, il existe une suite (k)k2Nconvergeant vers 0avec k=2Sp(A): il su¢ t de prendre une
suite strictement décroissante et de supprimer les termes appartenant à Sp(A)(qui sont en nombre …ni).
On obtient donc A= limk!+1(AkI)et les matrices (AkI)sont bien inversibles (pour tout k2N).
Exemple d’utilisation : Pour toutes matrices Aet B2 Mn(R), on a AB =BA:
- En e¤et, si Aest inversible, AB et BA sont semblables (avec P=A), donc AB =BA:
- Sinon, Aest limite d’une suite (Ak)k2Nde matrices inversibles. On a alors AkB=BAkpour tout k2N.
Or, par continuité du déterminant, M7! Mest continue. De plus, limn!+1AkB=AB et limn!+1BAk=BA:
On en déduit par passage à la limite que AB =BA:
Remarque : De façon générale, deux fonctions continues qui coïncident sur une partie dense sont égales.
c) Pour P2GLn(K), avec K=Rou C, l’application u:M7! P1MP dans Mn(K)est linéaire donc continue .

Supposons B=P1AP . Alors Bk=P1AkP. Donc limk!+1Ak=Onssi limk!+1Bk=On:
En particulier, si Aest diagonalisable, alors limk!+1Ak=Onssi les valeurs propres de Asont de module <1:
Remarque culturelle : En fait, la propriété est vraie pour toute matrice A(pour les valeurs propres complexes).
d) L’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn(C):Toute matrice Aest trigonalisable, de la forme
PTP1:Il su¢ t donc de prouver que toute matrice triangulaire Test limite d’une suite de matrices diagonalisables.
Par exemple, 1
0= limk!+11 0+1
k, et 1
0+1
kest diagonalisable. De façon générale, on
écrit Tcomme limite d’une suite de matrices triangulaires dont les coe¢ cients diagonaux sont deux à deux distincts.
e) L’ensemble On(R)est une partie compacte de Mn(R): en e¤et, On(R)est fermée (car tAA =Inest stable par
passage à la limite) et bornée (car pour A2On(R), on a kAjk= 1, donc a fortiori jaij j  1pour tous iet j).
3) Dans les endomorphismes de dimension …nie (F)
a) Soit (E; k k)un evn de dimension …nie. La sphère unité S=fs2Ej kxk= 1gest compacte.
On en déduit que jjjujjj = supx6=0 ku(x)k
kxk= supx2Sku(x)kest atteinte.
La norme triple est une norme d’algèbre sur L(E).jjjuvjjj  jjjujjj jjjvjjj:
En particulier, jjjukjjj  jjjujjjkpour tout k2N.Ainsi, pour que limn!+1uk= 0, il su¢ t que jjjujjj <1:
b) Norme d’algèbre sur Mn(R).
Remarque : La norme N(A) = sup1in;1jnjaij jn’est pas une norme d’algèbre.
En revanche, si on choisit une norme k k sur Rn, la norme jjjAjjj = supx6=0 kAXk
kXkest une norme d’algèbre.
Cas particuliers :
- On munit Rnde la norme euclidienne kXk=qPn
i=1 x2
i: On a jjjAjjj2= supx6=0 kAXk2
kXk2= supx6=0
(XjtAAX)
kXk2:
On peut en déduire que jjjAjjj =p, où est la plus grande valeur propre de la matrice symétrique tAA.
- On munit Rnde la norme kXk1= sup1injxij:On a kAXk1= sup1inPn
j=1 jaij xjj:
On en déduit aisément que jjjAjjj = supx6=0 kAXk1
kXk1
= sup1inPn
j=1 jaij j.
3) Dans les espaces de fonctions
a) Espace L2(I; R)des fonctions continues (par morceaux) de carré intégrable sur I(c’est-à-dire RIf2<+1),
muni du produit scalaire (fjg) = RIf(t)g(t)dt: La convergence de RIf(t)g(t)dt résulte de jfgj  1
2(jfj2+jgj2):
La structure d’espace-vectoriel de L2(I; R)résulte de jf+gj2 jfj2+jgj2+ 2 jfgj  2(jfj2+jgj2):
La continuité de g7! (fjg)résulte de j(fjg)j  kfkkgk:
b) Approximation d’une fonction par un élément d’un sev de dimension …nie.
Il s’agit généralement d’approcher une fonction fpar des fonctions appartenant à un sev Fde dimension …nie, par
exemple le sous-espace des fonctions polynômes de degré n. La distance est toujours atteinte, mais on ne sait en
général pas expliciter le (ou les) meilleures approximations.

D’où l’intérêt des normes euclidiennes : Si (g1; :::; gn)est une BON de Fdans l’espace préhilbertien E, alors
d(x; F )est atteinte en le projeté orthogonal de fsur F, qui vaut Pn
k=1(gijf)gi, et on a alors d(f; F )2=
kfk2Pn
i=1 j(gijf)j2.
c) Théorème de Stone-Weierstrass : Notons Fle sev des fonctions polynômes dans E=C0([a; b];R).
Fest dense dans Emuni de k k1: il existe une suite (Pn)n2Nde polynômes telle que limn!+1kfPnk1= 0 :
Comme kfk1(ba)kfk1et kfk2pbakfk1, alors Fest dense dans Eaussi pour les normes k k1et k k2:
Dans Emuni du ps (fjg) = Rb
af(t)g(t)dt, on a F?=f0g. En e¤et, supposons 8P2F,(fjP) = 0.
Avec limn!+1Pn=fpour k k2, on a (fjf) = limn!+1(fjPn):Comme (fjPn) = 0, on obtient kfk2= 0:
4) Dans les espaces de polynômes
Exemple : L’ensemble Edes polynômes scindés de degré nà racines simples est un ouvert dans Rn[X]:
En e¤et, soit P2E, de racines a1< a2< ::: < an:Considérons y0< a1< y1< a2< y2< ::: < an< yn:
Comme Pchange de signe en les ai, alors P(yk1)P(yk)<0pour tout 1kn. Pour Q2Rn[X]assez proche
de P(pour la norme N(P) = sup0knjP(yk)jpar exemple), on a Q(yk1)Q(yk)<0pour tout 1kn.
Donc tout polynôme Qde degré nassez proche de Pest encore scindé à racines simples.