Espaces vectoriels normés : Exemples (666) 1) Dans R a) Q dense

Espaces vectoriels normés : Exemples (|||)
1) Dans R
E(nx)
k
k+1
a) Q dense dans R : 8x 2 R, x = limn!+1
: En e¤et, on a
x<
, avec k = E(nx):
n
n
n
p
Remarque : On en déduit que 2 + Q est aussi dense, donc R n Q est dense.
(
(
majore A
8x 2 A, x
b) Soit A R non vide et majoré. Alors
= sup A ssi
i.e.
8" > 0, 9x 2 A,
2A
"
x
Donc sup A = max A . En particulier, toute partie non vide fermée et majorée admet un maximum.
c) L’ensemble
En e¤et,
= fx 2 I j f (x) = 0g des zéros d’une fonction continue (sur un intervalle fermé I) est fermé .
est stable par passage à la limite : Si x = limn!+1 xn , avec f (xn ) = 0, alors x 2 I et f (x) = 0:
Exemple : Pour f : [0; +1[! R x 7 ! x sin( x1 ) si x > 0, et 0 si x = 0, on a
Corollaire : Si
= f0g [ f n1 ; n 2 N g.
n’est pas vide, il existe un plus petit zéro.
Exemple : (F) Supposons f : [a; +1[! R de classe C 1 , telle que f (a) = f (b) = 0, avec a < b. Il n’existe pas
nécessairement de plus petit zéro de f sur ]a; +1[.
En revanche, si f 0 (a) 6= 0, alors f (x)
a
f 0 (a)(x
a), donc f ne s’annule pas sur un intervalle ]a; a + ]. Et le plus
petit zéro de f sur [a + ; b] est le plus petit zéro de f sur ]a; +1[.
2) Dans les espaces de matrices
a) Continuité du déterminant : det : Mn (R) ! R A 7 ! det A est continue, car det A une fonction polynomiale des
(k)
coe¢ cients : Si limk!+1 Ak = A, alors 8(i; j) 2 f1; 2; :::; ng2 , limk!+1 aij = aij , donc limk!+1 det(Ak ) = det(A):
Conséquence : GLn (R) = det
1
(R ) est une partie ouverte de Mn (R) (son complémentaire est fermé).
De façon générale, si f est continue, l’image réciproque d’un fermé par une fonction continue est un fermé, et
l’image réciproque d’un ouvert par une fonction continue est un ouvert (par passage aux complémentaires).
b) GLn (R) est dense dans Mn (R) . Montrons que toute matrice A 2 Mn (R) est limite de matrices inversibles.
On sait que A
I est inversible ssi
2
= Sp(A) l’ensemble des valeurs propres de A:
Comme Sp(A) est …ni, il existe une suite (
k )k2N
convergeant vers 0 avec
k
2
= Sp(A) : il su¢ t de prendre une
suite strictement décroissante et de supprimer les termes appartenant à Sp(A) (qui sont en nombre …ni).
On obtient donc A = limk!+1 (A
k I)
et les matrices (A
k I)
sont bien inversibles (pour tout k 2 N).
Exemple d’utilisation : Pour toutes matrices A et B 2 Mn (R), on a
AB
=
BA :
- En e¤et, si A est inversible, AB et BA sont semblables (avec P = A), donc
AB
=
BA :
- Sinon, A est limite d’une suite (Ak )k2N de matrices inversibles. On a alors
Ak B
=
BAk
Or, par continuité du déterminant, M 7 !
M
On en déduit par passage à la limite que
AB
pour tout k 2 N.
est continue. De plus, limn!+1 Ak B = AB et limn!+1 BAk = BA:
=
BA :
Remarque : De façon générale, deux fonctions continues qui coïncident sur une partie dense sont égales.
c) Pour P 2 GLn (K), avec K = R ou C, l’application u : M 7 ! P
1M P
dans Mn (K) est linéaire donc continue .
Supposons B = P
1 AP .
Alors B k = P
1 Ak P .
Donc limk!+1 Ak = On ssi limk!+1 B k = On :
En particulier, si A est diagonalisable, alors limk!+1 Ak = On ssi les valeurs propres de A sont de module < 1 :
Remarque culturelle : En fait, la propriété est vraie pour toute matrice A (pour les valeurs propres complexes).
d) L’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn (C) : Toute matrice A est trigonalisable, de la forme
PTP
1:
Il su¢ t donc de prouver que toute matrice triangulaire T est limite d’une suite de matrices diagonalisables.
1
1
1
= limk!+1
, et
est diagonalisable. De façon générale, on
0
0
+ k1
0
+ k1
écrit T comme limite d’une suite de matrices triangulaires dont les coe¢ cients diagonaux sont deux à deux distincts.
Par exemple,
e) L’ensemble On (R) est une partie compacte de Mn (R) : en e¤et, On (R) est fermée (car t AA = In est stable par
passage à la limite) et bornée (car pour A 2 On (R), on a kAj k = 1, donc a fortiori jaij j
1 pour tous i et j).
3) Dans les endomorphismes de dimension …nie (F)
a) Soit (E; k k) un evn de dimension …nie. La sphère unité S = fs 2 E j kxk = 1g est compacte.
On en déduit que jjjujjj = supx6=0
ku(x)k
= supx2S ku(x)k est atteinte.
kxk
La norme triple est une norme d’algèbre sur L(E). jjju vjjj
En particulier, jjjuk jjj
jjjujjj jjjvjjj:
jjjujjjk pour tout k 2 N . Ainsi, pour que limn!+1 uk = 0, il su¢ t que jjjujjj < 1 :
b) Norme d’algèbre sur Mn (R).
i n;1 j n jaij j
Remarque : La norme N (A) = sup1
n’est pas une norme d’algèbre.
En revanche, si on choisit une norme k k sur Rn , la norme jjjAjjj = supx6=0
Cas particuliers :
- On munit Rn de la norme euclidienne kXk =
On peut en déduire que jjjAjjj =
p
, où
- On munit Rn de la norme kXk1 = sup1
On en déduit aisément que jjjAjjj = supx6=0
3) Dans les espaces de fonctions
kAXk
est une norme d’algèbre.
kXk
qP
n
2
2
i=1 xi : On a jjjAjjj = supx6=0
kAXk2
(X j t AAX)
=
sup
:
x6
=
0
kXk2
kXk2
est la plus grande valeur propre de la matrice symétrique t AA.
i n jxi j :
On a kAXk1 = sup1 i n
Pn
kAXk1
= sup1 i n
j=1 jaij j .
kXk1
Pn
j=1 jaij xj j :
R
a) Espace L2 (I; R) des fonctions continues (par morceaux) de carré intégrable sur I (c’est-à-dire I f 2 < +1),
R
R
muni du produit scalaire (f j g) = I f (t)g(t) dt: La convergence de I f (t)g(t) dt résulte de jf gj 21 (jf j2 + jgj2 ) :
La structure d’espace-vectoriel de L2 (I; R) résulte de jf + gj2
La continuité de g 7 ! (f j g) résulte de j(f j g)j
jf j2 + jgj2 + 2 jf gj
2(jf j2 + jgj2 ) :
kf k kgk :
b) Approximation d’une fonction par un élément d’un sev de dimension …nie.
Il s’agit généralement d’approcher une fonction f par des fonctions appartenant à un sev F de dimension …nie, par
exemple le sous-espace des fonctions polynômes de degré
général pas expliciter le (ou les) meilleures approximations.
n. La distance est toujours atteinte, mais on ne sait en
D’où l’intérêt des normes euclidiennes : Si (g1 ; :::; gn ) est une BON de F dans l’espace préhilbertien E, alors
Pn
2
d(x; F ) est atteinte en le projeté orthogonal de f sur F , qui vaut
k=1 (gi j f )gi , et on a alors d(f; F ) =
Pn
2
kf k2
i=1 j(gi j f )j .
c) Théorème de Stone-Weierstrass : Notons F le sev des fonctions polynômes dans E = C 0 ([a; b]; R).
F est dense dans E muni de k k1 : il existe une suite (Pn )n2N de polynômes telle que limn!+1 kf Pn k1 = 0 :
p
Comme kf k1 (b a) kf k1 et kf k2
b a kf k1 , alors F est dense dans E aussi pour les normes k k1 et k k2 :
Rb
Dans E muni du ps (f j g) = a f (t)g(t) dt, on a F ? = f0g . En e¤et, supposons 8P 2 F , (f j P ) = 0.
Avec limn!+1 Pn = f pour k k2 , on a (f j f ) = limn!+1 (f j Pn ): Comme (f j Pn ) = 0, on obtient kf k2 = 0:
4) Dans les espaces de polynômes
Exemple : L’ensemble E des polynômes scindés de degré n à racines simples est un ouvert dans Rn [X]:
En e¤et, soit P 2 E, de racines a1 < a2 < ::: < an : Considérons y0 < a1 < y1 < a2 < y2 < ::: < an < yn :
Comme P change de signe en les ai , alors P (yk
de P (pour la norme N (P ) = sup0
k n jP (yk )j
1 )P (yk )
< 0 pour tout 1
par exemple), on a Q(yk
k
1 )Q(yk )
n. Pour Q 2 Rn [X] assez proche
< 0 pour tout 1
Donc tout polynôme Q de degré n assez proche de P est encore scindé à racines simples.
k
n.