Chapitre 4 CONSTRUCTION DES NOMBRES RgELS

Chapitre 4
CONSTRUCTION DES NOMBRES
RÉELS
Version du 8 février 2002
Claude Portenier ANALYSE 61

4.1 Partitions
4.1 Partitions
DEFINITION Soit Xun ensemble. Une famille (Xj)j2Jde parties non-vides de Xs’appelle
une partition de Xsi
X=[
j2J
Xj
et si, pour tout k; l 2J,
k6=l=)Xk\Xl=;.
EXEMPLE Soit f:X! Yune application. Alors
1
f(fyg)y2f(X)
est une partition de X.
Il est clair que 1 f(fyg)6=;si y2f(X)et on a
[
y2f(X)
1
f(fyg) = X
car, pour tout x2X, on a x21 f(ff(x)g). D’autre part, pour tout y; z 2f(X), si
x21 f(fyg)\1 f(fzg),
on a y=f(x) = z, d’où le résultat par contraposition. 
PROPOSITION Soit f:X! Yune application surjective. Il existe une application
injective g:Y! Xtelle que
fg= idY.
Puisque fest surjective, pour tout y2Y, on a 1 f(fyg)6=;. D’après l’axiome du choix
2.8 il existe
g2Y
y2Y
1
f(fyg)XY.
Pour tout y2Y, on a alors f(g(y)) = y, d’où notre assertion. 
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Relations d’équivalence 4.2
4.2 Relations d’équivalence
DEFINITION 1 Soient Xun ensemble et RXX. On dit que Rest une relation
d’équivalence si, pour tout x; y; z 2X, on a
(a) Transitivité x R y et y R z =)x R z
(b) Symétrie x R y ,y R x
(c) Ré‡exivité x R x .
On écrit souvent xymod Rà la place de x R y , et on pose
[x] := fy2Xjx R yg,X=R := f[x]2P(X)jx2Xg,
ainsi que
p:X! X=R :x7! [x].
On dit que [x]est la classe d’équivalence de xet que pest l’application quotient de Xsur
l’espace quotient X=R .
PROPOSITION Pour tout x; y 2X, on a
(i) y2[x]() x R y .
(ii) ([x] = [y]et x R y)ou ([x]\[y] = ;et :x R y).
(iii) 1
p(f[x]g) = [x].
Démonstration de (i) C’est évident.
Démonstration de (ii) Il nous su¢ t de montrer que
[x]\[y]6=;=)[x] = [y].
Soit alors z2[x]\[y]et u2[x], i.e.
x R z ,y R z et x R u .
Par symétrie il vient
y R z ,z R x et x R u ,
donc y R u par transitivité. Ceci prouve que u2[y], donc que [x][y]. L’autre inclusion
s’obtient en échangeant xet y.
Démonstration de (iii) On a
1
p(f[x]g) = fy2Xj[y] = [x]g=fy2Xjx R yg= [x].
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4.2 Relations d’équivalence
DEFINITION 2 On dit que 1 p(fcg)c2X=R est la partition de Xen classes d’équivalence
mod R. Tout x21 p(c)s’appelle un représentant de la classe d’équivalence c.
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Groupes 4.3
4.3 Groupes
DEFINITION 1 Soit Gun ensemble muni d’une opération associative
:GG! G: (s; t)7! st.
On dit que Gest un groupe si
(g1)Il existe e2Gtel que, pour tout s2G, on ait
es=se=s.
(g2)Pour tout s2G, il existe t2Gtel que
st=ts=e.
Un groupe Gest dit commutatif ou abélien si, pour tout s; t 2G, on a
st=ts.
REMARQUE 1 Soit Gun groupe.
(a) Un élément esatisfaisant à (g1)est univoquement déterminé et s’appelle l’élément neutre
de G.
En e¤et si e02Gsatisfait aussi à (g1), on a
e0=e0e=e.
(b) Soit s2G. Un élément t2Gsatisfaisant à (g2)est univoquement déterminé et s’appelle
l’inverse de s; on le note s1. On a s11=s.
En e¤et si t02Gsatisfait aussi à (g2), on a
t0=t0e=t0gt=et=t.
La seconde partie est immédiate puisqu’on a ss1=s1s=e.
(c) Soient s; t 2G. Les équations
sx=tet xs=t
possèdent une et une seule solution
x=s1tresp. x=ts1.
En e¤et
x=s1sx=s1tet x=xss1=ts1.
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