Faculté des Sciences Dhar El Mehrez Département de

Facult´e des Sciences Dhar El Mehrez
D´epartement de Math´ematiques et Informatique
Chapitre 5
Espaces topologiques compacts
Abdelaziz Kheldouni
0.0.1 §V.1.D´efinitions et propri´et´es
Soit (T, τ) un epace topologique, soit (Uλ)λ∈Lun recouvrement de T( i.e. T=∪
λ∈LUλ). On dira que c’est un
recouvrement ouvert de Tsi chaque Uλest un ouvert de T. On dira que c’est un recouvrement finni si Lest
fini. Un recouvrement (Vµ)µ∈Mde Test dit extrait du recouvrement (Uλ)λ∈L, si chaque Vµest un Uλ( i.e.
s’il existe une application µ→σ(µ) de Mdans Ltelle que pour tout µ∈M, on a Vµ=Uσ(µ)).
Proposition 1 : Soit Tun espace topologique; les deux assertions suivantes sont ´equivalentes
i) Pour tout recouvrement ouvert de T, il existe un recouvrement extrait fini de T
ii) Si une famille de ferm´es de Test d’intersection vide, alors il en existe une sous- famille finie dont
l’intersection est dej`a vide.
D´emonstration : Soient (Uλ)λ∈Lune famille de parties de T, et Fλle compl´ementaire de Uλ. l’aquivalence des
deux assertions d´ecoule du fait que :
- (Uλ)λ∈Lest un recouvrement de Tsi et seulement si ∩
λ∈LFλ=∅.
-Uλet un ouvert de Tsi et seulement si Fλest un ferm´e de T.
Un espace toplogique Tqui v´erifie l’une des conditions de la proposition 1 est dit espace quasi-compact
D´efinition 2 : Un espace topologique est dit compact s’il est s´epar´e, et s’il v´erifie l’une des propri´et´es (i) et
(ii) de la proposition pr´ec´edente.
Exemples :
1) Rn’est pas compact; en effet, la famille de ferm´es de R, (Fn= [n, +∞[)n∈Nest une famille d’intersection
vide, mais aucune de ses sous familles finie n’est d’intersection vide.
2) Tout espace topologique s´epar´e fini est compact
3) Les compacts de Rnsont les ferm´es borm´es (Voir MP2)
Un sous-ensemble Xd’un espace topologique s´epar´e Test dit relativement compact ou pr´e-compact, si sa
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fermeture Xest compacte.
La notion de pr´e-compacit´e contrairement `a celle de la compacit´e, est li´ee `a l’espace topologique Tdans lequel
l’espace est plong´e. Par exemple, l’intervalle ]0,1[ est relativement compact dans Rmais ne l’est pas dans lui
mˆeme.
Remarque 3 : 1) La propri´et´e (i) de la proposition 1 est appel´ee axiome de Borel-Lebesgue. Cet axiome a un
int´erˆet th´eorique consid´erable, il permet de passer du local au global en utilisant l’argument de compacit´e. Par
exemple, Soit Eun espace topologique compact, et fune fonction de Edans Rlocanlement born´ee dans E,
alors fest born´ee dans E. Comme toute fonction continue est localement born´ee, on voit bien qu’une fonction
continue sur un compact est born´ee.
2) Une famille (Ai)i∈Iest dite centr´ee, si aucune intersection finie ∩
finieAin’est vide.
La condition (i) dans la proposition 1 est ´equivalente `a : (ii’) Toute famille centr´ee de ferm´es de Tadmet
une intersection non vide vide. En effet Soit (Ai)i∈Iune famille cent´ee de ferm´es de T(compact), Les parties
Ui=T\Aisont des ouverts de Tet comme aucune intersection ∩
finieAin’est vide, on d´eduit qu’aucune sous-
famille finie de (Ui) ne rencontre T. Mais en vertu de la compacit´e de T, la famille (Ui)i∈Ine peut constituer
un recouvrement de T, ce qui contredit ∩
i∈IAinon vide.
Proposition 4 : Si Test un espace topologique compact alors tout sous-ensemble fini de Tposs`ede un point
d’accumulation
D´emonstration : Supposons que Tcontient un sous-ensemble infini Xne poss`edant aucun point d’accumulation.
Consid`erons Xk={xk, xk+1, ....}un sous-ensemble d´enombrable extrait de T. La famille (Xn) est alors une
famille centr´ee de sous-ensembles ferm´es de T, dont l’intersection est vide. Ceci contredit le fait que Test
compact.
Dans le cas particulier des espaces m´etriques nous avons :
Proposition 5 : Soit (E, d)un espace m´etrique. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
a) Eest compact
b) De toute suite (xn)dans E, on peut extraire une sous-suite convergente
c) Eest complet et v´erifie la condition dite du ε-recouvrement suivante : ∀ε > 0 , il existe un recouvrement
fini de Epar des boules de rayon ε(On dit dans ce cas que Eest pr´ecompact).
D´emonstration : (a) ⇒(b) : Soient (xn) une suite dans E, et Fn={xk;k≥n}. Les Fnsont des ferm´es de E
et toute sous-famille finie extraite de (Fn) est d’intrsection non vide, donc l’ensemble des valeurs d’adh´erences
de (xn) qui n’est rien d’autre que ∩Fnest non vide.
(b) ⇒(c) : Eest complet car, si (xn) est une suite de Cauchy qui poss`ede une sous-suite convergente alors
elle est elle mˆeme convergente. Par ailleurs, Supposons qu’on a un α > 0 tel qu’il n’existe aucun recouvrement
fini de Epar des boules de rayon α, il existe alors une suite de boules B(xn, α) de Edeux `a deux disjointes.
La suite (xn) form´ee des centres de ces boules est une suite qui ne poss`ede aucune sous-suite convergente.
(c) ⇒(a) : Soit (Ul)l∈Lun recouvrement ouvert de Etel que aucune sous-famille finie de ce recouvrement
ne recouvre E. Posons B0=E, Supposons la boule Bnd´efinie. Parmi les boules, en nombre fini d’un 1
2n+1 -
recouvrement de E, qui rencontre Bn, il y en a au moins une qui n’est recouverte par aucune sous-famille finie
de (Ul)l∈L; c’est Bn+1. Soit xnle centre de Bn. La suite (xn) est de Cauchy, car
d(xn, xm)≤d(xn, xn+1) + ... +d(xm−1, xm)≤2( 1
2n+... +1 2m−1)≤4 2n
comme Eest complet, cette suite a une limite x. Soit l0∈Ltel que x∈Ul0et soit r > 0, tel que B(x, r)⊂Ul0.
Si pest un entier positif tel que d(x, xp)<r
3, et 1 2p<r 3, on a Bp⊂B(x, r)⊂Ul0
ce qui est contraire `a notre hypoth`ese.
Proposition 6 : Si Test un espace topologique compact, alors tout sous-ensemble ferm´e de Test un espace
compact.
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D´emonstration : Soit Fun ferm´e de T, et soit {Fλ}une famille centr´ee quelconque de sous-ensembles ferm´es de
F. Comme Fest ferm´e, les Fλsont aussi des ferm´es de T, donc {Fλ}est aussi une famille centr´ee quelconque
de sous-ensembles ferm´es de Tqui est compact. D’o`u ∩
λFλ6=∅. Etant s´epar´e, l’espace Fest donc compact
Proposition 7 : Un espace topologique compact est ferm´e dans tout espace de Hausdorff qui le contient.
D´emonstration : Soit Kun sous-ensemble compact d’un espace de Hausdorff T⊃K, et soit y /∈K. Alors
pour tout x∈K, il existe Ux∈v(x) et Vx∈v(y) tels que Ux∩Vx=∅. La famille (Ux)x∈Kforme un
recouvrement ouvert de KOn peut donc en extraire un sous-recouvrement fini (Uxi)i=1..n. Posons V=n ∩
i=1Vxi.
C’est unvoisinage de yqui ne rencontre pas n ∪
i=1Uxi=K. Donc y /∈K.
Remarque 8 : Un compact est un espace normal; en effet, soient Kest un compact, et F1,F2deux ferm´es
disjoints de K. Pour tout y∈F2,∃Uy∈v(y) et il existe un ouvert Oy⊃F1tels que Uy∩Oy=∅(Pour le
voir on utilise un raisonnement analogue `a celui utilis´e dans la d´emonstration de la proposition 7). Ainsi tout
compact est un espace r´egulier. Supposons maintenant que yparcours F2, et consid´erons un sous-recouvrement
fini (Uyi)i=1..n du recouvrement (Uy)y∈F2, Les ouverts θ1=n ∩
i=1Oyiet θ2=n
∪
i=1Uyiv´erifient F1⊂θ1,et F2⊂θ2
avec θ1∩θ2=∅. D’o`u la normalit´e de K.
Compacit´e et applications continues
Proposition 9 : L’image d’un espace compact par une application continue `a valeurs dans un espace s´epar´e
est un espace compact.
D´emonstration :Soit fune application continue d’un espace compact Xdans un espace topologique Y, Si (Vi)i∈I
est un recouvrement ouvert de f(X)⊂Y, alors (Ui=f−1(Vi))i∈Iest un recouvrement ouvert de X. Comme X
est compact, on peut extraire du recouvrement (Ui) un sous-recouvrement fini (Ui)n
i=1.Dans ce cas, la famille
(Vi=f(Ui))n
i=1 est un sous-recouvrement fini de (Vi)i∈I.
On d´eduit de cette proposition que toute application continue et bijective d’un compact Xsur un espace
s´epar´e Yest un hom´eomorphisme. En effet une telle application est ferm´ee.
Th´eor`eme10 : Un espace topologique produit X= ΠXiest compact si et seulement si chacun des espaces Xi
est compact.
D´emonstration : En exercice
D´efinition 11 : Un espace topologique Xest dit d´enombrablement compact si tout sous-ensemble infini de X
admet au moins un point d’accumulation.
On a vu que si Xest compact alors toute partie infinie poss`ede au moins un point d’accumulation. La
r´eciproque est fausse.
Proposition 12 : Pour q’un espace topologique Xsoit d´enombrablement compact il faut et il suffit que l’une
quelconque des conditions suivantes soit v´erifi´ee :
1) Tout recouvrement ouvert d´enombrable de Xposs`ede un sous-recouvrement fini
2) Toute famille centr´ee d´enombrable de ferm´es de Xest d’intersection non vide (i.e Toute famille d´enombrable
de ferm´es de Xd’intersection vide poss`ede une sous-famille finie d’intersection vide).
D´emonstration : Supposons que Xn’est pas d´enombrablement compact, donc Xcontient un sous-ensemble in-
fini ne poss`edant aucun point d’accumulation. Consid`erons Xk={xk, xk+1, ....}un sous-ensemble d´enombrable
extrait de . La famille (Xn) est alors une famille centr´ee de sous-ensembles ferm´es de X, dont l’intersection
est vide.
R´eciproquement, supposons que Xest d´enombrablement compact, et soit (Fn) une famille centr´ee d´enombrables
de ferm´es de X. Il s’agit de montrer que ∩Fn6=∅. Posons Φn=n ∩
k=1Fk, ce sont des ferm´es non vides de Xqui
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v´erifient Fn+1 ⊂Fn, et ∩Φn=∩Fn. Deux cas sont possibles
♦`a partir d’un certain rang n0on a Φn0= Φn0+1 =... et alors, ∩Φn6=∅
♦parmi les Φnil y en a une infinit´e qui sont deux `a deux disjoints; on prend alors xn∈Φn\Φn+1. La suite
(xn) constitue un ensemble infini de points distincts de Xdonc en vertue de la compacit´e d´enombrable cette
suite poss`ede un point d’accumulation x0. C’est aussi un point d’accumulatuion de Φn, et comme ce dernier
est ferm´e, x0∈Φnpour tout n.ainsi ∩Φn6=∅.
Remarque : Dans le cas des espaces `a base d´enombrable, il y a identit´e entre la compacit´e et la compacit´e
d´enombrable. En effet, quelque soit le recouvrement ouvert d’un espace T`a base d´enombrable, on peut en
extraire un sous-recouvrement d´enombrable qui `a son tour poss`ede un sous recouvrement fini.
0.0.2 §V.2.Espaces localement compacts
D´efinition 1 : Un espace topologique est dit localement compact s’il est s´epar´e et si chacun de ses points poss`ede
un voisinage compact.
Exemples :
1) Tout espace compact est localement compact.
2) Tout espace topologique discret est localement compact (par exemple Z)
3) L’ensemble Qconsid´er´e comme sous-espace toplogique de Rn’est pas localement compact; s’il l’´etait, 0
poss´ederait un voisinage compact V. Ce dernier contiendrait un sous-voisinage de la forme [−a, a]∩Q. Comme
[−a, a]∩Qest ferm´e c’est donc une partie compacte de Qce qui est faux car, pour tout irrationel α∈[−a, a]
la suite d´eccroissante de ferm´es [−a, a]∩Q∩[α−1
n, α+1 n] a une intersection vide.
Voici quelques r´esultats qui fournissent des methodes pratiques de construction d’espaces localement compacts.
Proposition 2 : Tout espace topologique localement compact Test r´egulier
D´emonstration : Dans §V.1, remarque 8 nous avons vu que tout espace compact est normal, donc `a fortiori
r´egulier. Supposons maintenant que notre espace Test localement compact, et soit U3x. Soit un ouvert
W3xtel que Wsoit compact, alors U∩West un ouvert dans W, donc il existe un ouvert Ode Tcontenant
xtel que la fermeture O∩W(dans Tou dans Wc’est la mˆeme chose) soit contenue dans U∩W. Posons,
V=O∩W; c’est un ouvert de T qui contiuent xet qui v´erifie V=O∩W⊂O∩W⊂U.
Proposition 3 : Soit Tespace topologique localement compact; soit Aune partie ouverte resp. ferm´ee 
de T. Alors le sous-espace topologique Ade Test localement compact.
D´emonstration : Si Aest ferm´ee, tout x∈A, poss`ede dans Tun voisinage compact V. Cependant, V∩Aest
ferm´e dans V, c’est donc un compact; comme c’est aussi un voisinage de xdans A, ce point poss`ede donc un
voisinage compact.
Supposons maintenant Aouvert dans ce cas, le r´esultat d´ecoule de la proposition 2 ci-dessus. En effet, Soit
x∈A⊂T,xposs`ede un voisinage compact Kdans T. Comme Kest compact , il est normal, donc xposs`ede
un syst`eme fondamental de voisinages compacts dans Ket donc aussi dans T. A ´etant ouvert de Tc’est un
voisinage de xet donc il va contenir un voisinage compact.
Proposition 3 : Si Aet Bsont deux sous-espaces topologiques localement compacts d’un espace topologique
s´epar´e T; alors leur intersection et leur produit sont localement compacts.
D´emonstration : - A∩Best localement compact: c’est imm´ediat!
-A×Best ´evidement s´epar´e, d’autre part, si (x, y)∈A×Bles points xet yont respectivement des voisinages
compacts Vet W. Le produit V×West un voisinage compact de (x, y) dans A×B . Cette d´emonstration
reste valable pour un produit gfini d’espaces localement compacts.
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Remarque : Il est faux que l’union des deux sous-espaces localement compact Aet Bsoit localement compact.
Prendre par exemple, A={(x, y)∈R2/ x > 0}et B={(0,0)}.A∪Bn’est pas localement compact car
(0,0) n’a aucun voisinage compact dans A∪B.
Compactification
Nous allons montrer que si (X, τX) est un espace topologique localement compact et non compact , on peut
joindre `a Xun singleton appel´e point `a l’infini, et mettre sur X+:= X∪ {1pt}une topologie d’espace compact
dot la trace sur Xcoincide avec la topologie τX. Ce resultat est du `a Alexandroff :
Th´eor`eme 4 : Soit Xun espace topologique localement compact et non compact. Il existe un espace topologique
compact not´e X+, et un hom´eomorphisme fde Xsur une partie dense f(X)de X, dont le compl´ementaire
contient un seul ´el´ement not´e . On dit que X+est le compactifi´e d’Alexandroff de X.
D´emonstration : Posons X+=X∪ {}. On munit X+d’une structure d’espace topologique comme suit :
les ouverts de X+sont les ouverts de X, et les compl´ementaires dans X+des parties donpactes de X
On consid`ere f:X →X+=X∪{}l’inclusion naturelle; c’est un hom´eomorphisme de Xsur son image f(X)
munie de la topologie induite par celle de X+.
De plus, f(X) est dense dans X+car tout voisinage de contient une partie de X+dont le compl´ementaire
est un compact de f(X) qui n’est pas f(X) (car Xest suppos´e non compact).
X+est s´epar´e : en effet, si x6=ysont deux points distincts de X+, lorsque ces deux points sont dans X
c’est gagn´e puisque Xest s´epar´e. Si maintenant, y=et x∈X, ce dernier a dans Xun voisinage compact
Kqui est aussi un voisinage de xdans X+. Le compl´ementaire de Kdans X+est un voisinage de qui ne
rencontre pas K.
Montrons que X+est compact. Soit pour cela (Oi)i∈Iun recouvrement ouvert de X+. Il existe un i0∈I
tel que ∈Oi0. Comme {Oi0est un comact de Xrecouvert par (Oi)i∈I\i0il va exister un sous-recouvrement
fini (Oik)p
k=1 de {Oi0et alors X+se trouve recouvert par (Oik)p k=1 ∪Oi0.
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