Econométrie 1. Matière du cours 2. Questions / exercices

Econométrie
Cours 7
1. Matière du cours
•Syllabus : p. 117 - 136.
•Bouquin HGL (2008) : p. 124 - 126 + p. 167 - 169 + p. 183 - 184 + p. 186 + p. 135 -
138.
2. Questions / exercices
1- Lorsque le nombre d’observations d’une régression est égal au nombre de ses
variables explicatives (y compris l’intercept), le R
2
de la régression est néces-
sairement égal à 1.Expliquez pourquoi (conseil : considérez d’abord le cas d’une
régression simple (1 variable + intercept) avec 2 observations, puis le cas d’un
régression sur 3 variables (2 variables + intercept) avec 3 observations, etc...).
2- Lorsqu’on augmente le nombre de variables explicatives d’une régression, le R
2
de cette régression ne peut faire qu’augmenter, ou au pire rester inchangé. Ex-
pliquez pourquoi (conseil : il s’agit de voir que la SCR des résidus de la régression
ne peut faire que diminuer, ou au pire rester inchangée).
3- Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Expliquez.
a- Si, dans le modèle de régression multiple : y
i
=β
1
+β
2
x
i2
+β
3
x
i3
+e
i
, on
modifiait (simultanément) les unités de mesure de x
i2
et de x
i3
, seule la
valeur estimée de l’intercept du modèle serait affectée.
b- Si, dans le modèle de régression multiple : y
i
=β
1
+β
2
x
i2
+β
3
x
i3
+e
i
, on
modifiait l’unité de mesure de y
i
, les valeurs estimées des paramètres β
2
et
β
3
, le R
2
de la régression et les t-tests de H
0
:β
2
= 0 contre H
1
:β
2
= 0
et de H
0
:β
3
= 0 contre H
1
:β
3
= 0 resteraient inchangés.
1

2
c- Si, dans le modèle de régression multiple : y
i
=β
1
+β
2
ln x
i2
+β
3
ln x
i3
+e
i
,
on modifiait (simultanément) les unités de mesure de x
i2
et de x
i3
, seule
la valeur estimée de l’intercept du modèle serait affectée.
d- Si, dans le modèle de régression multiple : ln y
i
=β
1
+β
2
x
i2
+β
3
x
i3
+e
i
,
on modifiait l’unité de mesure de y
i
, les valeurs estimées des paramètres
β
2
et β
3
, le R
2
de la régression et les t-tests de H
0
:β
2
= 0 contre H
1
:
β
2
= 0 et de H
0
:β
3
= 0 contre H
1
:β
3
= 0 resteraient inchangés.
e- Si, dans le modèle de régression multiple : ln y
i
=β
1
+β
2
ln x
i2
+β
3
ln x
i3
+
e
i
, on modifiait (simultanément) les unités de mesure de y
i
, de x
i2
et de
x
i3
, seule la valeur estimée de l’intercept du modèle serait affectée.
4- Soit q=f(x)une fonction de production où qest la quantité produite et xest
la quantité d’input (on suppose qu’il y a un seul input). Pour une telle fonction
de production, on admet généralement que la productivité marginale du facteur
de production xest d’abord croissante, puis ensuite décroissante (cf. Figure 7.1
(b) p. 167 dans le bouquin HGL (2008)). Une fonction de production ayant ces
caractéristiques (productivité marginale croissante puis décroissante) peut être
modélisée par un modèle de régression polynomiale de troisième degré :
q
i
=β
1
+β
2
x
i
+β
3
x
i2
+β
4
x
i3
+e
i
a- Quel est la signification précise des paramètres β
1
,β
2
,β
3
et β
4
de ce
modèle ?
b- Quel est a priori le signe que devrait avoir les paramètres β
1
,β
2
,β
3
et β
4
?
c- Un modèle de régression polynomiale du deuxième degré (càd. y
i
=β
1
+
β
2
x
i
+β
3
x
i2
+e
i
)aurait-il pu convenir pour représenter une fonction de
production ayant ces caractéristiques (productivité marginale croissante
puis décroissante) ?
5- Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Expliquez.
a- Dans le modèle de régression multiple : y
i
=β
1
+β
2
(x
i
−x
∗
) +
β
3
(x
i
−x
∗
)
2
+β
4
(x
i
−x
∗
)
3
+e
i
,β
2
s’interprète comme l’effet marginal
de x
i
sur y
i
en x
i
=x
∗
.
b- Dans le modèle de régression multiple : ln y
i
=β
1
+β
2
(ln x
i
−ln x
∗
) +
β
3
(ln x
i
−ln x
∗
)
2
+e
i
,β
2
s’interprète comme l’élasticité de ypar rapport
àxpour x
i
= ln x
∗
.
c- On peut tester l’hypothèse de linéarité (dans les variables) du modèle de
régression multiple : y
i
=β
1
+β
2
x
i2
+β
3
x
i3
+e
i
en testant à l’aide d’un
F-test H
0
:β
4
=β
5
=β
6
= 0 contre H
1
:β
4
= 0 et/ou β
5
= 0 et/ou
β
6
= 0 dans le modèle de régression multiple : y
i
=β
1
+β
2
x
i2
+β
3
x
i3
+
β
4
x
2
i2
+β
5
x
2
i3
+β
6
(x
i2
x
i3
) + e
i
.
6- Soit le modèle d’équation de salaire :
ln sal
i
=β
1
+β
2
´educ
i
+β
3
expe
i
+β
4
´educ
2
i
+β
5
expe
2
i
+β
6
(´educ
i
×expe
i
) + e
i

3
où : sal
i
=le salaire de l’individu i
´educ
i
=le nombre d’années d’étude de l’individu i
expe
i
=le nombre d’années d’expérience professionnelle de l’individu i
a- Pourquoi peut-il être a priori préférable de considérer le logarithme du
salaire (i.e., ln sal
i
)plutôt que le salaire lui-même (i.e., sal
i
) comme vari-
able dépendante dans une telle équation de salaire ?
b- Pourquoi a priori considérer une forme polynomiale plutôt que linéaire
dans les variables ´educ et expe pour telle équation de salaire ? Comment
en pratique tester que cette forme polynomiale est bien pertinente ?
c- Quel est l’interprétation des paramètres β
1
àβ
6
de ce modèle ?
d- Si on centrait (par exemple autour de leur moyenne) les variables ´educ et
expe de cette régression, l’interprétation des paramètres de la (nouvelle)
régression (avec les variables centrées) s’en trouverait grandement facilitée.
Expliquez.
7- Soit le modèle de fonction de production Cobb-Douglas :
ln q
i
=β
1
+β
2
ln k
i
+β
3
ln l
i
+e
i
où : q
i
=l’output de la firme i
k
i
=le stock de capital de la firme i
l
i
=le nombre de travailleurs de la firme i
a- Quel est l’interprétation des paramètres β
2
et β
3
?
b- Proposez un moyen de tester au travers d’un F-test l’hypothèse implicite
de constance des élasticités partielles de q
i
par rapport à k
i
et l
i
de ce
modèle (conseil : pensez aux régressions polynomiales).
8- En vous appuyant sur le Graphique 42 de la p. 130 du syllabus, montrez que,
toute autre chose étant égale, la puissance d’un F-test tend vers 1lorsque la
taille d’échantillon tend vers l’infini.
9- Sachant que si t∼t(ν), alors t
2
∼F(1, ν), montrez qu’on a bien, en termes de
quantiles, que F
1,ν;1−α
=t
ν;1−
α
2
2
(cf. syllabus p. 135).
10- On considère le modèle :
y
i
=β
1
+β
2
x
i2
+β
3
x
i3
+e
i
L’estimation de ce modèle par MCO sur 20 observations a donné les résultats
suivants :
ˆ
β=
ˆ
β
1
ˆ
β
2
ˆ
β
3
=
0,96
0,69
1,77
ˆ
V(ˆ β) = 
0,218 0,019 −0,050
0,019 0,048 −0,031
−0,050 −0,031 0,037
Testez (à la main) au seuil de 5% à l’aide d’un F-test :
a- H
0
:β
3
−β
2
= 1 contre H
1
:β
3
−β
2
= 1.
b- H
0
:β
2
=β
3
= 0 contre H
1
:β
2
= 0 et/ou β
3
= 0.