SLAIMAN Maher - 5ème postulat d`Euclide

Master Informatique
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Master Informatique
Épistémologie de l’Informatique
TRAVAIL d’ÉTUDE & de RECHERCHE
Par
Maher SLAIMAN
Sujet proposé par
Richard G. Terrat
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postulat
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postulat
d’Euclide
d’Euclided’Euclide
d’Euclide
Novembre 2007

Master Informatique
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LE 5EME POSTULAT D’EUCLIDE
proposé par Richard G. Terrat
Maher SLAIMAN
RESUME
Euclide est un des mathématiciens les plus célèbres de
l'Antiquité, connu pour son traité de géométrie "Les
Eléments". Cet œuvre regroupe des propositions à
prouver, des problèmes à résoudre, des définitions
d'objets mathématiques, des axiomes et des postulats, en
particulier le fameux cinquième postulat des parallèles,
qui affirme que par un point existe une unique parallèle à
une droite donnée. Ce postulat est resté longtemps
fondateur de la géométrie, Puis les mathématiciens,
après Euclide ont essayé de le « démontrer » essayant de
le déduire des autres postulats. Ces nombreuses
tentatives de démonstration ont marqué trois grandes
périodes de l’histoire: l’antiquité, les propositions des
arabes ou orientaux ainsi que les essais occidentaux. Les
mathématiciens se sont donnés du mal pour résoudre ce
5ème Postulat, mais tous leurs efforts se sont soldés par
un échec, ce qui a donné naissance à la géométrie non-
euclidienne, et ce ne fut qu'au 19ème siècle par des
mathématiciens qui ont découvert tour à tour que la
chose est logiquement possible dans un espace courbe.
Ils ont ainsi crée les géométries hyperboliques et
elliptiques.
1. INTRODUCTION
Euclide est un des plus grands mathématiciens de
l’Antiquité et pourtant on ne connaît pas grand chose de
sa vie. L’œuvre phénoménale, « Les éléments », que nous
laisse Euclide, servira de base à toute la géométrie
pendant plus de 2000 ans. Une vraie encyclopédie,
composée de 13 livres, qui aborde des thèmes
mathématiques assez variés, regroupant toutes les
connaissances mathématiques de l’époque. Les livres 1 à
6, géométrie plane, les livres 7 à 9, théorie des rapports,
le livre 10, la théorie de nombres irrationnels d'Eudoxe,
et enfin les livres 11 à 13 de géométrie dans l'espace.
Dans cinq postulats énoncés dans le livre I, Je
m’intéresse particulièrement au dernier, dont on déduit le
postulat des parallèles: « en un point extérieur à une
droite, ne passe qu'une unique droite qui lui est
parallèle », puisque ce postulat a toujours semblé moin
évident que les autres.
La première partie de mon exposé commence par un peu
d’histoire sur la vie d’Euclide et son œuvre "Les
Eléments".
La deuxième partie concerne la composition de son
œuvre « les éléments » et les différents thèmes
mathématiques qu’il aborde.
Dans la 3ème partie, je présente les différents outils de la
géométrie d’Euclide, ainsi que les axiomes et postulats
dont le 5ème qui a resté un sujet de nombreux débats et
controverses.
La 4ème partie illustre les nombreuses tentatives de
démonstration au cours des différentes périodes de
l’histoire.
Finalement, et après l'échec des résolutions de ce 5ème
postulat, je présente ce 5
ème
postulat du point de vue des
mathématiciens des géométries non euclidiennes.
2. EUCLIDE GREC -330/-275
A l’aube du troisième siècle avant Jésus-Christ, les
mathématiques grecques sont à leur apogée. C’est à cette
époque que vit Euclide, un des mathématiciens les plus
célèbres de l’Antiquité. On ne sait rien de précis sur sa
vie ni sur la période précise où il vécut. Tout juste pense-
t-on qu'il étudia à l'école des successeurs de Platon à
Athènes, avant de s'établir à Alexandrie, sous l'invitation
de Ptolémée II, roi d'Égypte. Il était l'un des premiers
mathématiciens de l'école d'Alexandrie. Ce que l'on
connait bien d'Euclide, ce sont les ouvrages qui nous sont
parvenus signés de son nom, surtout les 13 volumes des
Éléments qui sont considérés comme l'un des textes
fondateurs des mathématiques modernes. Cet œuvre
rassemble toute la connaissance mathématique de
l'époque mais a aussi jeté les bases de la pratique
scientifique de la pensée en regroupant des propositions
à prouver, des problèmes à résoudre, et les définitions
d'objets mathématiques, comme la ligne et le point.
L'échec des résolutions d'un de ses postulats a donné
naissance à la géométrie non-euclidienne.
Son influence sur le monde scientifique a été
considérable, on a ainsi pu retrouver le style et la
structure des treize livres dans 'Principia' d’Isaac
Newton.
Euclide aurait aussi participé, comme beaucoup de
mathématiciens de son époque, à la vie politique. Il
travailla au Musée d'Alexandrie et y mena de nombreux
travaux de recherche. Il mourut vers 265 avant J.C.

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3. LES ELEMENTS
"Les Eléments" est une compilation du savoir
géométrique et reste le noyau de l’enseignement
mathématique pendant près de 2000 ans. Il y classe les
propositions (propriétés) dans un ordre logique,
rassemble de manière rationnelle en allant des plus
simples aux plus compliquées les découvertes de ses
prédécesseurs et ses propres découvertes.
Il est divisé en treize livres. Les livres 1 à 6, géométrie
plane, les livres 7 à 9, théorie des rapports, le livre 10, la
théorie de nombres irrationnels d'Eudoxe, et enfin les
livres 11 à 13 de géométrie dans l'espace. Le livre se
termine par l'étude des propriétés des cinq polyèdres
réguliers et une démonstration de leur existence.
"Les Eléments" est remarquable par la clarté avec
laquelle les théorèmes sont énoncés et démontrés en
posant des vérités admises sans démonstrations et sur
lesquelles se fondent les théories mathématiques : ce sont
les axiomes
1
.
La géométrie euclidienne commence avec "Les
Eléments" d'Euclide, qui est à la fois une somme des
connaissances géométriques de l'époque et une tentative
de formalisation mathématique de ces connaissances.
L'objet de la "géométrie euclidienne" (appelée plus
communément "géométrie plane") est, en principe,
l'étude des formes et des propriétés des corps naturels.
Sa méthode consistant d'axiomes, de postulats et de
définitions, pour déduire un maximum de propriétés des
objets considérés, le tout dans un ensemble organisé,
était nouvelle pour l'époque. Les objets considérés sont
les points, les segments, les droites, les demi-droites, et
leurs propriétés d'incidence (la règle), ainsi que les
cercles (le compas). Les enjeux essentiels sont l'étude de
figures et la mesure.
4. LES OUTILS DE LA GEOMETRIE
D'EUCLIDE
Le premier livre des éléments d’Euclide commence par
35 définitions, postulats de base de la géométrie
"euclidienne", et les propositions relatives à la notion de
parallélisme.
Euclide définit d’abord point, courbe et surface, à partir
des notions de mesure de longueur d’aire et de volume,
puis le plan et la droite, les angles et les figures …
Le point : Le point est infiniment petit. Il n’a ni
épaisseur ni longueur. On le représente généralement par
une croix faite au crayon.
La droite : La droite est un trait infini sans épaisseur
c’est le plus court trajet entre deux points. On peut
représenter une droite par un trait de crayon droit.
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Axiome : du grec axioma = j'estime, je crois vrai : conduisant au sens
d'irréfutable, d'évident. Un axiome est un postulat. Mais il est de
nature plus évidente.
Le segment : Le segment est une portion de droite
comprise entre deux points. On peut le représenter par un
trait droit délimité par deux petits traits aux extrémités.
La demi-droite : La demi-droite est la portion d’une
droite qui se trouve d’un coté d’un point de celle-ci.
Le cercle : Le cercle est l’ensemble des points qui se
situe à une même distance d’un point particulier appelé
centre. On peut le représenter par un rond avec une croix
en son milieu.
Figure 1. Quelques Objets de la Géométrie Euclidienne.
Ensuite Euclide a donné la définition suivante des
parallèles: (la 35ème définition dans le livre Les
Eléments)
« Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans
un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et
d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre. »
Cette définition met en lumière les points suivants :
1 – Les parallèles sont des droites.
2 – Les parallèles sont dans le même plan.
3 – Les parallèles ne se rencontrent jamais.
4.1. Les Postulats d’Euclide
Tout d’abord, un postulat est une proposition
mathématique admise sans démonstration, mais
susceptible d’être éventuellement démontrée à partir
d’axiomes, principes premiers non démontrés mais
considérés comme évidents, vrais, universels et communs
à tous les domaines mathématiques, et plus généralement
à toutes les disciplines de la pensée.
Le raisonnement, fondé sur une déduction logique
subséquente aux postulats et aux axiomes, permet de
démontrer, par la suite, des énoncés mathématiques sous
formes de théorèmes, en cohérence avec l’ensemble de la
théorie développée.
Après avoir défini les notions de point, segment, droite,
angle, cercle, droites parallèles, Euclide proposa ses cinq
postulats sous forme de « demandes » :

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Forme originale dans le
livre I des Eléments
(traduite du grec ancien)
Forme actuelle des postulats
1. Conduire une droite
d’un point quelconque à
un point quelconque.
Etant donnés deux points A et
B, il existe une droite et une
seule passant par A et B.
2.
Prolonger indéfiniment,
selon sa direction, une
droite finie.
Tout segment [AB] est
prolongeable en une droite
passant par A et B.
3.
D’un point quelconque,
et avec un intervalle
quelconque, décrire une
circonférence.
Pour tous points A et B, (B
différent de A), on peut
construire le cercle de centre
A et passant par B.
4. Tous les angles droits
sont égaux entre eux.
Tous les angles droits sont
égaux entre eux.
Table 1. Les postulats d’Euclide.
Le cinquième postulat concernant l'unicité de la
parallèle menée à une droite d'un point extérieur à cette
droite, Ce postulat s'énonce comme suit:
5. « Si une droite, tombant sur deux droites, fait les
angles intérieurs du même côté plus petits que deux
droits, ces droites, prolongées à l’infini, se
rencontreront du côté où les angles sont plus petits que
deux droits. »
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Figure 2. 5ème postulats d’Euclide.
On peut énoncer ce 5ème postulat d’une autre façon :
« Par un point extérieur à une droite, on peut mener
une parallèle et une seule à cette droite. »
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Ce 5ème postulat, dit postulat des parallèles, le plus
célèbre d'entre eux, stipule que par un point extérieur à
une droite donnée D, on ne peut mener qu'une droite E et
une seule qui ne rencontre jamais la droite D; cette droite
E est alors la parallèle de la droite D (D // E).
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Forme originale dans le livre I des Eléments (traduite du grec ancien).
3
Forme actuelle du 5ème postulat.
Figure 3. Postulats de parallèles.
Pendant des siècles, ce postulat, a fait l’objet de
multiples tentatives de démonstration. L’insuccès de ces
tentatives a abouti au XIXe siècle, à la remise en cause
de l’universalité de ce postulat et à l’élaboration de la
géométrie non euclidienne.
5. TENTATIVES DE DEMONSTRATION
4
Ce postulat est resté longtemps fondateur de la géométrie
en tant que sciences déductive, en accord avec l’usage
qui était fait de la géométrie comme instrument
d’exploration, de mesure et de connaissance du monde
« sensible ».
Puis les mathématiciens, après Euclide, se sont
interrogés sur les fondements des mathématiques. C’est
ainsi que de nombreux mathématiciens européens,
indiens, arabes, tous influencés par l’œuvre d’Euclide,
ont essayé de « démontrer » le cinquième postulat
d’Euclide, essayant de le déduire des autres postulats.
Ces nombreuses tentatives de démonstrations ont marqué
trois grandes périodes de l’histoire de ce Postulat :
– l’antiquité
– les multiples propositions des arabes ou orientaux
– les essais occidentaux
Ils ont ainsi proposé des énoncés équivalents à ce
postulat.
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5.1. Les commentateurs grecs
Dans ses "Commentaires sur le premier livre des
Eléments d'Euclide", le grand philosophe néo-platonicien
Proclus (410-485) se propose de montrer le cinquième
postulat à partir des autres. Il se sent en cela légitimé car
la réciproque est déjà montrée par Euclide, dans la
proposition 17 (deux angles d'un triangle quelconque, de
quelque manière qu'ils soient pris, sont moindres que
deux droits) sans utiliser le cinquième postulat. Or, pour
Proclus :
".. Comment ce dont la réciproque est consignée parmi
les théorèmes comme démontrable serait-il
indémontrable ?"
Pour cela, il commence par montrer une première
proposition qui veut que :
« Lorsqu'une droite coupe l'une des parallèles, elle
coupe l'autre aussi ».
Proclus est le premier mathématicien à donner la forme
équivalente de l'énoncé du cinquième postulat.
4
Les preuves des Tentatives de démonstration du Cinquième Postulat
d’Euclide sont illustrées dans l’annexe 1.
5
On trouvera en annexe 2 la présentation des énoncés équivalents au
5
ème
postulat.

5
Cette forme équivalente s'énonce ainsi:
« Dans un plan, par un point extérieur, passe une seule
droite parallèle à une droite donnée ».
Aganis (VI°siècle) modifie la définition des parallèles
qui sont alors des droites coplanaires et équidistantes, et
commence par vérifier que cette distance est obtenue par
la perpendiculaire commune. Le problème de l'existence
de telles droites équidistantes est traité par le fait que
deux droites perpendiculaires à une même troisième sont
bien équidistantes, mais montrer pour cela, Aganis
utilise, s'en rendre compte - en tout cas sans mettre en
doute - le fait que :
« Par un point extérieur à une droite, il passe toujours
une droite équidistante à cette droite ».
5.2. Les commentateurs Arabes
Les mathématiciens arabes qui ont commenté la théorie
des parallèles d'Euclide ont, en général, adopté
l'équidistance comme définition du parallélisme. Montrer
la proposition 29 des éléments d'Euclide sans recourir au
cinquième postulat revient alors à élaborer une théorie
du quadrilatère ayant deux angles droits.
Ibn al-Haytham (Bassorah 965 - Le Caire 1039) est un
mathématicien et un physicien arabo-islamique, a écrit un
ouvrage "Sur la résolution de ce qui est douteux dans les
Eléments d'Euclide" dans lequel il propose de remplacer
le postulat par un autre "qui joue le même rôle et qui est
plus clair" :
« Deux droites qui se coupent ne peuvent être parallèles
à une même droite ».
Cet énoncé est par ailleurs équivalent à l'assertion de
Proclus, déjà abordée :
« Lorsqu'une droite coupe l'une des parallèles, elle
coupe l'autre aussi ».
Omar al-Khayyam (1048 - vers 1123), célèbre
philosophe, poète, astronome est connu dans le monde
mathématique pour son œuvre "Commentaire sur les
postulats problématiques du Livre d'Euclide". Il
s'intéressa surtout aux difficultés contenues dans les
Éléments d'Euclide, notamment à la théorie des
proportions et à la théorie des parallèles.
Son œuvre mathématique marque l'histoire de la
discipline.
Il a établit dans l’équidistance des parallèles:
« Deux perpendiculaires à une même droite sont
équidistantes »
« La distance entre deux parallèles est bornée ».
At-Tùsì, Nasìr ad-Dìn (1201 - 1274) est un
mathématicien, astronome et philosophe, théologien et
médecin. Son œuvre la plus importante, synthèse de ses
travaux est le « Livre sur le théorème de la sécante »,
aujourd'hui appelé « traité sur le quadrilatère complet ».
Dans cet œuvre Il a écrit au sujet du postulat des
parallèles: «Une perpendiculaire et une oblique à une
sécante commune se coupent ».
5.3. Les commentateurs européen
Au 17ème siècle, le mathématicien anglais Wallis
(1616-1703) a abandonné l’idée d’équidistance des
parallèles pour la remplacer par l’axiome suivant:
« Pour une figure donnée, il en existe une autre de
grandeur quelconque qui lui soit semblable »
6
.
5.4. Les Précurseurs
Saccheri (1667 - 1733) est un jésuite et un
mathématicien italien. C’est le premier à prouver la
validité des axiomes d'Euclide par l'absurde. Il chercha à
obtenir une contradiction en supposant la fausseté du
postulat des parallèles. La figure fondamentale de sa
construction est le quadrilatère isocèle ayant deux angles
droits, plus précisément, un quadrilatère dont deux côtés
opposés sont égaux et perpendiculaires à la base.
Il a établie les trois hypothèses suivantes:
- l’hypothèse de l’angle droit
- l’hypothèse de l’angle obtus
- l’hypothèse de l’angle aigu
Figure 4. hypothèses de Saccheri.
Hors le cinquième axiome d’Euclide permet de dire que
ces angles sont droits (et que le quadrilatère est un
parallélogramme).
Que ce passe-t-il si on réfute cet axiome ?
Saccheri montre que la question qui se pose est la
suivante : La somme des angles est elle supérieure ou
inférieure à l’angle plat ? (L’égalité à l’angle plat
équivalent au cinquième axiome d’Euclide). Il démontre
que l’hypothèse de la supériorité à l’angle plat conduit à
une contradiction.
Reste l’hypothèse d’une somme inférieure à l’angle plat.
Saccheri développe ses raisonnements à partir de cette
hypothèse, sans rencontrer de contradiction, ce qui lui
pose problème car son objectif était de prouver la
nécessité du cinquième axiome d’Euclide. Il pense donc
que son raisonnement comporte une contradiction, en
6
axiome équivalent au 5ème postulat qui permet de transporter un
angle restant égal à lui-même.