PUC-SP. Juin 2006 me Autour du 5 Postulat Pr sentation de Mich el HENRY, IREM de Besan on (Fra nce) D’Euclide à Legendre, autour du 5ème Postulat IV - 35 énoncés équivalents au 5ème Postulat Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide E0 - 5ème demande ou postulat d’Euclide: Si une droite, tombant sur deux droites, A fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se C rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits. At-Tùsì, Nasìr ad-Dìn (1201 - 1274); Girolamo Saccheri (1667 - 1733) : E B D F Fˆ Eˆ 2 droits (AB) et (CD) concourantes Une perpendiculaire et une oblique à une sécante commune se coupent. A d B d' O Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide E1 - Angles déterminés par deux parallèles et une sécante : Proposition I-29 d’Euclide : 1a Si deux droites coupées par une sécante, des angles intérieurs A côté est égale à deux droits. parallèles la d’un E 1b Si deux coupées par une alternes internes sont égaux. parallèles F les droites sécante, C sont somme même B sont angles D ˆ +E ˆ = 2 droits [ AB] // [CD] F 1c Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants d’un même côté sont égaux. Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide E2 - Parallèles et perpendiculaires Proposition I-30 d’Euclide : d d' Les droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. d" d // d' et d // d" d' // d" Legendre, André-Marie (1752 - 1833) : Si 2 droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. ∂ si d // d' et d ∂, alors d' ∂ d d' B Bolyai, Janos (1802 - 1860) : Par trois points non alignés il passe un cercle. A O C Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide E3 - Droite passant par un point donné et parallèle à une droite donnée Axiome de John Playfair (début du XIXè), déjà énoncé par Proclus de Lycie (412 - 485 ap. J.C.) : M Par un point extérieur à une droite passe au plus une parallèle à cette droite. d' d'//d est unique d Ibn Al-Haytam (965 - 1041) : Deux droites qui se coupent ne peuvent être toutes deux parallèles M à une même droite. d Proclus (Vè siècle ap. J.C.) : Lorsqu’une droite coupe l’une des parallèles elle coupe l’autre aussi. A d d' B d//d', si [AB] coupe d, prolongée, (AB) coupe d' Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide E4 - Somme des angles d’un triangle Proposition 32 d’Euclide, Al-Haytam (Xè-XIè siècles), Nasìr ad-Dìn at-Tùsi (XIIIè siècle), A Saccheri (XVIIIè ) : Les trois angles d’un triangle sont égaux à deux droits. A+B+C = 2 droits C B Proposition 32 d’Euclide : Un angle extérieur d’un triangle est égal aux deux angles intérieurs et opposés. Legendre (XIXè siècle) : A C C = A+B B Il existe un triangle dont la somme des trois angles est égale à deux droits Axiome de Worpitzki : Il n’existe pas de triangle dans lequel chaque angle peut être choisi aussi petit que l’on veut Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide E4 - Somme des angles d’un quadrilatère Girolamo Saccheri (XVIIIè) : A La somme des angles d’un quadrilatère est égale à quatre angles droits. D B C Alexis Claude Clairaut (1713 - 1765) : A Si dans un quadrilatère, 3 angles sont des angles droits, le quatrième est un angle droit. B A+B+C+D = 4 droits D si A, B et C sont droits, alors D est C droit Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide E5 - Symétrie centrale Giuseppe Veronese (1854 - 1917) : Si deux droites sont parallèles, elles sont symétriques l’une de l’autre par rapport au milieu M de tout segment joignant un point de l’une à un point de l’autre. P Q d si d//d' et M millieu de PP' d' alors d et d' sont sym p.r. à M M Ingrami (1904) : Q' Pour toute autre sécante QQ’ passant par M, M est aussi le millieu de [QQ’] P' 6 - Équidistance des parallèles Posidonius d’Apamée (135 - 50 av. J.C.), An-Nayrìzi (900) : Les droites parallèles sont équidistantes. d M' Posidonius, Geminus (Ier siècle av. J.C.) : Il existe l’une de l’autre. des droites qui M sont AA' = MM' d' pour tout M de d ou de d' A' équidistantes A Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide E6 - Équidistance des parallèles Omar Al-Khayyam (1040 - 1131) : A Deux perpendiculaires droite sont équidistantes si d et d' sont perpendiune à (AB), alorsmême culaires d et d' sont équidistantes d d' à B Proclus (Vè siècle); Al-Khayyâm (XIè siècle) : La distance entre deux parallèles est bornée. Proclus (Vè siècle) : d M' o d' sécantes, Si deux droites sont d’un point de l’une à l’autre n’est pas bornée. M MM' non bornée quand M s'éloigne de o laindéfiniment distance Aganis (VIè siècle ?) : Par un point extérieur à une droite équidistante de la première. une droite il passe toujours Posidonius (Ier siècle av. JC.); Al - Haytam (Xè-XIè) : Le lieu des points équidistants d’un même côté de cette droite est une droite d’une Giardano Vitale (1633 - 1711) : Q Il existe équidistants d’une droite. P trois d P' Q' droite et situés R il existe P, Q, R, points alignés, tels quealignés PP' = QQ' = RR' R' Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide E7 - Propriétés du rectangle Omar Al Khayyam (XIè-XIIè) ; Saccheri (XVIIIè ): A Un quadrilatère isocèle ayant deux angles droits a tous ses angles droits D B Si A et B sont droits et si AD = BC, alors C C et D sont droits Thalès (VIè siècle av. J.C.) Un angle droit est inscrit dans un demi-cercle. M Saccheri (XVIIIè ) : A Thalès : si AMB est droit, (AB) est un diamètre du B cercle passant par A, M, B. Saccheri : si (AB) est un diamètre, alors pour tout M du cercle, AMB est droit Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit. Al - Gauharì (VIIIè - IXè) : La médiane d’un triangle rectangle est égale à la moitié de l’hypothénuse B AM = BM = MC M C A Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide E8 - Existence de figures semblables John Wallis (1616 - 1703) : Pour une figure quelconque, il y en a toujours une autre, de grandeur quelconque, qui lui soit semblable. John Wallis (1616 - 1703) : Pour tout triangle, il en existe un autre ayant un côté de longueur donnée et des angles égaux à ceux du triangle initial. Girolamo Saccheri (XVIIIè) : Il existe deux triangles non égaux ayant leurs angles égaux deux à deux. Carl Friedrich Gauss (1774 - 1855) : Il existe des triangles d’aire aussi grande que l’on veut. « Si je pouvais montrer qu’on peut construire un triangle contenant une aire donnée, je serais capable de prouver rigoureusement toute la géométrie. » Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide E9 - Positions relatives d’une droite et d’un angle Al Gauhari As - Samarkandi (XIIIè) : (VIIIè P Par chaque point à l’intérieur d’un angle passe une droite qui coupe les deux côtés de l’angle. d O M Q d' IXè); Si dOd' n'est pas plat, si M est à l'intérieur, alors il existe P sur d tel que (PM) coupe d'. Adrien-Marie Legendre (XIXè) : D’un point quelconque intérieur d’un angle plus petit que deux tiers d’un angle droit, on peut mener une droite qui rencontre les deux côtés de l’angle. d O M d' dOd' < š/3 : il existe une droite passant par M qui rencontre les deux demi-droites ]Od) et ]Od').