SLAIMAN Maher - 5ème postulat d`Euclide

Master Informatique
Master Informatique
Épistémologie de l’Informatique
TRAVAIL d’ÉTUDE & de RECHERCHE
Par
Maher SLAIMAN
Sujet proposé par
Richard G. Terrat
Le 5ème postulat
d’Euclide
Novembre 2007
1
Master Informatique
LE 5EME POSTULAT D’EUCLIDE
proposé par Richard G. Terrat
Maher SLAIMAN
La deuxième partie concerne la composition de son
œuvre « les éléments » et les différents thèmes
mathématiques qu’il aborde.
RESUME
Euclide est un des mathématiciens les plus célèbres de
l'Antiquité, connu pour son traité de géométrie "Les
Eléments". Cet œuvre regroupe des propositions à
prouver, des problèmes à résoudre, des définitions
d'objets mathématiques, des axiomes et des postulats, en
particulier le fameux cinquième postulat des parallèles,
qui affirme que par un point existe une unique parallèle à
une droite donnée. Ce postulat est resté longtemps
fondateur de la géométrie, Puis les mathématiciens,
après Euclide ont essayé de le « démontrer » essayant de
le déduire des autres postulats. Ces nombreuses
tentatives de démonstration ont marqué trois grandes
périodes de l’histoire: l’antiquité, les propositions des
arabes ou orientaux ainsi que les essais occidentaux. Les
mathématiciens se sont donnés du mal pour résoudre ce
5ème Postulat, mais tous leurs efforts se sont soldés par
un échec, ce qui a donné naissance à la géométrie noneuclidienne, et ce ne fut qu'au 19ème siècle par des
mathématiciens qui ont découvert tour à tour que la
chose est logiquement possible dans un espace courbe.
Ils ont ainsi crée les géométries hyperboliques et
elliptiques.
Dans la 3ème partie, je présente les différents outils de la
géométrie d’Euclide, ainsi que les axiomes et postulats
dont le 5ème qui a resté un sujet de nombreux débats et
controverses.
La 4ème partie illustre les nombreuses tentatives de
démonstration au cours des différentes périodes de
l’histoire.
Finalement, et après l'échec des résolutions de ce 5ème
postulat, je présente ce 5ème postulat du point de vue des
mathématiciens des géométries non euclidiennes.
2. EUCLIDE GREC -330/-275
A l’aube du troisième siècle avant Jésus-Christ, les
mathématiques grecques sont à leur apogée. C’est à cette
époque que vit Euclide, un des mathématiciens les plus
célèbres de l’Antiquité. On ne sait rien de précis sur sa
vie ni sur la période précise où il vécut. Tout juste penset-on qu'il étudia à l'école des successeurs de Platon à
Athènes, avant de s'établir à Alexandrie, sous l'invitation
de Ptolémée II, roi d'Égypte. Il était l'un des premiers
mathématiciens de l'école d'Alexandrie. Ce que l'on
connait bien d'Euclide, ce sont les ouvrages qui nous sont
parvenus signés de son nom, surtout les 13 volumes des
Éléments qui sont considérés comme l'un des textes
fondateurs des mathématiques modernes. Cet œuvre
rassemble toute la connaissance mathématique de
l'époque mais a aussi jeté les bases de la pratique
scientifique de la pensée en regroupant des propositions
à prouver, des problèmes à résoudre, et les définitions
d'objets mathématiques, comme la ligne et le point.
L'échec des résolutions d'un de ses postulats a donné
naissance à la géométrie non-euclidienne.
1. INTRODUCTION
Euclide est un des plus grands mathématiciens de
l’Antiquité et pourtant on ne connaît pas grand chose de
sa vie. L’œuvre phénoménale, « Les éléments », que nous
laisse Euclide, servira de base à toute la géométrie
pendant plus de 2000 ans. Une vraie encyclopédie,
composée de 13 livres, qui aborde des thèmes
mathématiques assez variés, regroupant toutes les
connaissances mathématiques de l’époque. Les livres 1 à
6, géométrie plane, les livres 7 à 9, théorie des rapports,
le livre 10, la théorie de nombres irrationnels d'Eudoxe,
et enfin les livres 11 à 13 de géométrie dans l'espace.
Dans cinq postulats énoncés dans le livre I, Je
m’intéresse particulièrement au dernier, dont on déduit le
postulat des parallèles: « en un point extérieur à une
droite, ne passe qu'une unique droite qui lui est
parallèle », puisque ce postulat a toujours semblé moin
évident que les autres.
Son influence sur le monde scientifique a été
considérable, on a ainsi pu retrouver le style et la
structure des treize livres dans 'Principia' d’Isaac
Newton.
Euclide aurait aussi participé, comme beaucoup de
mathématiciens de son époque, à la vie politique. Il
travailla au Musée d'Alexandrie et y mena de nombreux
travaux de recherche. Il mourut vers 265 avant J.C.
La première partie de mon exposé commence par un peu
d’histoire sur la vie d’Euclide et son œuvre "Les
Eléments".
2
Le segment : Le segment est une portion de droite
comprise entre deux points. On peut le représenter par un
trait droit délimité par deux petits traits aux extrémités.
La demi-droite : La demi-droite est la portion d’une
droite qui se trouve d’un coté d’un point de celle-ci.
Le cercle : Le cercle est l’ensemble des points qui se
situe à une même distance d’un point particulier appelé
centre. On peut le représenter par un rond avec une croix
en son milieu.
3. LES ELEMENTS
"Les Eléments" est une compilation du savoir
géométrique et reste le noyau de l’enseignement
mathématique pendant près de 2000 ans. Il y classe les
propositions (propriétés) dans un ordre logique,
rassemble de manière rationnelle en allant des plus
simples aux plus compliquées les découvertes de ses
prédécesseurs et ses propres découvertes.
Il est divisé en treize livres. Les livres 1 à 6, géométrie
plane, les livres 7 à 9, théorie des rapports, le livre 10, la
théorie de nombres irrationnels d'Eudoxe, et enfin les
livres 11 à 13 de géométrie dans l'espace. Le livre se
termine par l'étude des propriétés des cinq polyèdres
réguliers et une démonstration de leur existence.
"Les Eléments" est remarquable par la clarté avec
laquelle les théorèmes sont énoncés et démontrés en
posant des vérités admises sans démonstrations et sur
lesquelles se fondent les théories mathématiques : ce sont
les axiomes1.
La géométrie euclidienne commence avec "Les
Eléments" d'Euclide, qui est à la fois une somme des
connaissances géométriques de l'époque et une tentative
de formalisation mathématique de ces connaissances.
Figure 1. Quelques Objets de la Géométrie Euclidienne.
Ensuite Euclide a donné la définition suivante des
parallèles: (la 35ème
définition dans le livre Les
Eléments)
« Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans
un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et
d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre. »
L'objet de la "géométrie euclidienne" (appelée plus
communément "géométrie plane") est, en principe,
l'étude des formes et des propriétés des corps naturels.
Sa méthode consistant d'axiomes, de postulats et de
définitions, pour déduire un maximum de propriétés des
objets considérés, le tout dans un ensemble organisé,
était nouvelle pour l'époque. Les objets considérés sont
les points, les segments, les droites, les demi-droites, et
leurs propriétés d'incidence (la règle), ainsi que les
cercles (le compas). Les enjeux essentiels sont l'étude de
figures et la mesure.
Cette définition met en lumière les points suivants :
1 – Les parallèles sont des droites.
2 – Les parallèles sont dans le même plan.
3 – Les parallèles ne se rencontrent jamais.
4.1.
Les Postulats d’Euclide
Tout d’abord, un postulat est une
proposition
mathématique admise sans démonstration, mais
susceptible d’être éventuellement démontrée à partir
d’axiomes, principes premiers non démontrés mais
considérés comme évidents, vrais, universels et communs
à tous les domaines mathématiques, et plus généralement
à toutes les disciplines de la pensée.
4. LES OUTILS DE LA GEOMETRIE
D'EUCLIDE
Le premier livre des éléments d’Euclide commence par
35 définitions, postulats de base de la géométrie
"euclidienne", et les propositions relatives à la notion de
parallélisme.
Euclide définit d’abord point, courbe et surface, à partir
des notions de mesure de longueur d’aire et de volume,
puis le plan et la droite, les angles et les figures …
Le raisonnement, fondé sur une déduction logique
subséquente aux postulats et aux axiomes, permet de
démontrer, par la suite, des énoncés mathématiques sous
formes de théorèmes, en cohérence avec l’ensemble de la
théorie développée.
Le point : Le point est infiniment petit. Il n’a ni
épaisseur ni longueur. On le représente généralement par
une croix faite au crayon.
La droite : La droite est un trait infini sans épaisseur
c’est le plus court trajet entre deux points. On peut
représenter une droite par un trait de crayon droit.
Après avoir défini les notions de point, segment, droite,
angle, cercle, droites parallèles, Euclide proposa ses cinq
postulats sous forme de « demandes » :
1
Axiome : du grec axioma = j'estime, je crois vrai : conduisant au sens
d'irréfutable, d'évident. Un axiome est un postulat. Mais il est de
nature plus évidente.
3
Forme originale dans le
livre I des Eléments Forme actuelle des postulats
(traduite du grec ancien)
1. Conduire une droite Etant donnés deux points A et
d’un point quelconque à B, il existe une droite et une
seule passant par A et B.
un point quelconque.
Figure 3. Postulats de parallèles.
Tout segment [AB] est
2. Prolonger indéfiniment,
prolongeable en une droite
selon sa direction, une
passant par A et B.
droite finie.
Pendant des siècles, ce postulat, a fait l’objet de
multiples tentatives de démonstration. L’insuccès de ces
tentatives a abouti au XIXe siècle, à la remise en cause
de l’universalité de ce postulat et à l’élaboration de la
géométrie non euclidienne.
3. D’un point quelconque, Pour tous points A et B, (B
et avec un intervalle
différent de A), on peut
quelconque, décrire une construire le cercle de centre
A et passant par B.
circonférence.
4. Tous les angles droits
sont égaux entre eux.
5. TENTATIVES DE DEMONSTRATION4
Tous les angles droits sont
égaux entre eux.
Ce postulat est resté longtemps fondateur de la géométrie
en tant que sciences déductive, en accord avec l’usage
qui était fait de la géométrie comme instrument
d’exploration, de mesure et de connaissance du monde
« sensible ».
Puis les mathématiciens,
après Euclide, se sont
interrogés sur les fondements des mathématiques. C’est
ainsi que de nombreux mathématiciens européens,
indiens, arabes, tous influencés par l’œuvre d’Euclide,
ont essayé de « démontrer » le cinquième postulat
d’Euclide, essayant de le déduire des autres postulats.
Ces nombreuses tentatives de démonstrations ont marqué
trois grandes périodes de l’histoire de ce Postulat :
– l’antiquité
– les multiples propositions des arabes ou orientaux
– les essais occidentaux
Ils ont ainsi proposé des énoncés équivalents à ce
postulat.5
Table 1. Les postulats d’Euclide.
Le cinquième postulat concernant l'unicité de la
parallèle menée à une droite d'un point extérieur à cette
droite, Ce postulat s'énonce comme suit:
5. « Si une droite, tombant sur deux droites, fait les
angles intérieurs du même côté plus petits que deux
droits, ces droites, prolongées à l’infini, se
rencontreront du côté où les angles sont plus petits que
deux droits. »2
5.1.
Les commentateurs grecs
Dans ses "Commentaires sur le premier livre des
Eléments d'Euclide", le grand philosophe néo-platonicien
Proclus (410-485) se propose de montrer le cinquième
postulat à partir des autres. Il se sent en cela légitimé car
la réciproque est déjà montrée par Euclide, dans la
proposition 17 (deux angles d'un triangle quelconque, de
quelque manière qu'ils soient pris, sont moindres que
deux droits) sans utiliser le cinquième postulat. Or, pour
Proclus :
".. Comment ce dont la réciproque est consignée parmi
les
théorèmes
comme
démontrable
serait-il
indémontrable ?"
Pour cela, il commence par montrer une première
proposition qui veut que :
« Lorsqu'une droite coupe l'une des parallèles, elle
coupe l'autre aussi ».
Figure 2. 5ème postulats d’Euclide.
On peut énoncer ce 5ème postulat d’une autre façon :
« Par un point extérieur à une droite, on peut mener
une parallèle et une seule à cette droite. »3
Ce 5ème postulat, dit postulat des parallèles, le plus
célèbre d'entre eux, stipule que par un point extérieur à
une droite donnée D, on ne peut mener qu'une droite E et
une seule qui ne rencontre jamais la droite D; cette droite
E est alors la parallèle de la droite D (D // E).
Proclus est le premier mathématicien à donner la forme
équivalente de l'énoncé du cinquième postulat.
2
3
4
Les preuves des Tentatives de démonstration du Cinquième Postulat
d’Euclide sont illustrées dans l’annexe 1.
5
On trouvera en annexe 2 la présentation des énoncés équivalents au
5ème postulat.
Forme originale dans le livre I des Eléments (traduite du grec ancien).
Forme actuelle du 5ème postulat.
4
Cette forme équivalente s'énonce ainsi:
« Dans un plan, par un point extérieur, passe une seule
droite parallèle à une droite donnée ».
Dans cet œuvre Il a écrit au sujet du postulat des
parallèles: «Une perpendiculaire et une oblique à une
sécante commune se coupent ».
Aganis (VI°siècle) modifie la définition des parallèles
qui sont alors des droites coplanaires et équidistantes, et
commence par vérifier que cette distance est obtenue par
la perpendiculaire commune. Le problème de l'existence
de telles droites équidistantes est traité par le fait que
deux droites perpendiculaires à une même troisième sont
bien équidistantes, mais montrer pour cela, Aganis
utilise, s'en rendre compte - en tout cas sans mettre en
doute - le fait que :
« Par un point extérieur à une droite, il passe toujours
une droite équidistante à cette droite ».
5.3.
Au 17ème siècle, le mathématicien anglais Wallis
(1616-1703) a abandonné l’idée d’équidistance des
parallèles pour la remplacer par l’axiome suivant:
« Pour une figure donnée, il en existe une autre de
grandeur quelconque qui lui soit semblable »6.
5.4.
5.2.
Les commentateurs européen
Les Précurseurs
Les commentateurs Arabes
Saccheri (1667 - 1733) est un jésuite et un
mathématicien italien. C’est le premier à prouver la
validité des axiomes d'Euclide par l'absurde. Il chercha à
obtenir une contradiction en supposant la fausseté du
postulat des parallèles. La figure fondamentale de sa
construction est le quadrilatère isocèle ayant deux angles
droits, plus précisément, un quadrilatère dont deux côtés
opposés sont égaux et perpendiculaires à la base.
Les mathématiciens arabes qui ont commenté la théorie
des parallèles d'Euclide ont, en général, adopté
l'équidistance comme définition du parallélisme. Montrer
la proposition 29 des éléments d'Euclide sans recourir au
cinquième postulat revient alors à élaborer une théorie
du quadrilatère ayant deux angles droits.
Ibn al-Haytham (Bassorah 965 - Le Caire 1039) est un
mathématicien et un physicien arabo-islamique, a écrit un
ouvrage "Sur la résolution de ce qui est douteux dans les
Eléments d'Euclide" dans lequel il propose de remplacer
le postulat par un autre "qui joue le même rôle et qui est
plus clair" :
Il a établie les trois hypothèses suivantes:
- l’hypothèse de l’angle droit
- l’hypothèse de l’angle obtus
- l’hypothèse de l’angle aigu
« Deux droites qui se coupent ne peuvent être parallèles
à une même droite ».
Cet énoncé est par ailleurs équivalent à l'assertion de
Proclus, déjà abordée :
« Lorsqu'une droite coupe l'une des parallèles, elle
coupe l'autre aussi ».
Omar al-Khayyam (1048 - vers 1123), célèbre
philosophe, poète, astronome est connu dans le monde
mathématique pour son œuvre "Commentaire sur les
postulats problématiques du Livre d'Euclide". Il
s'intéressa surtout aux difficultés contenues dans les
Éléments d'Euclide, notamment à la théorie des
proportions et à la théorie des parallèles.
Son œuvre mathématique
discipline.
Figure 4. hypothèses de Saccheri.
Hors le cinquième axiome d’Euclide permet de dire que
ces angles sont droits (et que le quadrilatère est un
parallélogramme).
Que ce passe-t-il si on réfute cet axiome ?
Saccheri montre que la question qui se pose est la
suivante : La somme des angles est elle supérieure ou
inférieure à l’angle plat ? (L’égalité à l’angle plat
équivalent au cinquième axiome d’Euclide). Il démontre
que l’hypothèse de la supériorité à l’angle plat conduit à
une contradiction.
Reste l’hypothèse d’une somme inférieure à l’angle plat.
marque l'histoire de la
Il a établit dans l’équidistance des parallèles:
« Deux perpendiculaires à une même
équidistantes »
droite sont
« La distance entre deux parallèles est bornée ».
Saccheri développe ses raisonnements à partir de cette
hypothèse, sans rencontrer de contradiction, ce qui lui
pose problème car son objectif était de prouver la
nécessité du cinquième axiome d’Euclide. Il pense donc
que son raisonnement comporte une contradiction, en
At-Tùsì, Nasìr ad-Dìn (1201 - 1274) est un
mathématicien, astronome et philosophe, théologien et
médecin. Son œuvre la plus importante, synthèse de ses
travaux est le « Livre sur le théorème de la sécante »,
aujourd'hui appelé « traité sur le quadrilatère complet ».
6
axiome équivalent au 5ème postulat qui permet de transporter un
angle restant égal à lui-même.
5
déclarant que certaines droites devaient se couper « à
l’infini »
Gauss discute de ce problème des parallèles avec son ami
Farkas Bolyai, dont le fils, Janos Bolyai (1802-1860),
mathématicien hongrois, a tenté de démontrer le 5ème
postulat en rédigeant une mémoire sur ce sujet.
Donc Il a démontré que:
« Dans un triangle la somme des angles ne peut pas être
supérieure à l’angle plat »
Il commença à chercher une preuve de ce postulat à
partir de 1820. Comme il n'y arrivait toujours pas en
1823, il se mit à étudier les conséquences de l'axiome
contraire : « Par un point il passe une infinité de
parallèles à une droite donnée ». Il va créer en 1832 une
nouvelle géométrie, qui va impressionner très
favorablement Gauss à qui il a soumis ses idées. En fait
J. Bolyai est le premier à accepter les conséquences du
rejet de l’axiome des parallèles, là où les mathématiciens
qui l’avaient précédé avaient renoncé.
On trouve chez le mathématicien Omar Khayyam des
considérations analogues à celles de Saccheri. Il n'est pas
facile de savoir si ce dernier a eu accès aux travaux de
son prédécesseur, ou si ses découvertes furent
indépendantes.
Lambert (1728-1777) reprend l’étude de Saccheri, en
admettant que cette hypothèse de « somme des angles
dans la configuration de Saccheri inférieure à l’angle
plat » conduisait à une géométrie où l’aire d’un triangle
est liée à la somme des angles du triangle.
Indépendamment de Gauss et de Bolyai, Nicolaï
Lobatchevsky (1792-1856) travaille en Russie sur les
mêmes idées. Ses travaux ne sont connus qu’en 1837 par
leur publication dans le « Journal de Crelle »
Lobachevsky remplace alors le cinquième postulat
d’Euclide par le postulat suivant : « Etant donnés dans le
plan, une droite et un point extérieur à cette droite, il
existe deux droites passant par le point et parallèle à la
droite ».
Adrien-Marie Legendre (1752-1833) est un
mathématicien français. Il a passé quarante ans de sa vie
à travailler sur le postulat des parallèles. Il démontre
l’équivalence du cinquième axiome d’Euclide avec le
résultat : « La somme des angles d’un triangle est égale
à deux droits ».
Il démontre aussi, comme Saccheri, que dans un triangle
la somme des angles ne peut pas être supérieure à l’angle
plat (ceci repose sur le fait qu’une droite n’est pas
bornée).
Involontairement, Legendre démontre aussi que le
cinquième postulat d’Euclide équivaut à la proposition:
« A partir d’un point intérieur à un angle, il est toujours
possible de tracer un droite qui coupe les deux côtés de
l’angle ».
Les géométries de Lobatchevsky et Bolyai correspondent
à des structures hyperboliques. Cette géométrie utilise un
plan possédant presque toutes les propriétés du plan
euclidien. La seule différence est qu'en géométrie
hyperbolique, le 5ème postulat d'Euclide est remplacé
par celui-ci:
« On peut tracer une infinité de parallèles à une droite
donnée et passant par un même point ».
6. 5EME POSTULAT ET GEOMETRIE
NON-EUCLIDIENNE
.
Durant plusieurs siècles, la géométrie euclidienne a été
utilisée sans que l'on mette en doute sa validité. Elle a
même été longtemps considérée comme l'archétype du
raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet
l'avantage de définir les propriétés intuitives des objets
géométriques dans une construction mathématique
rigoureuse.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), mathématicien,
astronome et physicien allemand s'interroge sur le 5ème
postulat d’Euclide. En 1813 il écrit : « Pour la théorie
des parallèles, nous ne sommes pas plus avancés
qu'Euclide, c'est une honte pour les mathématiques ».
Figure 5. Exemple de Géométrie Hyperbolique.
En 1817, il semble que Gauss ait acquis la conviction de
l'existence de géométries non euclidiennes, et que le
cinquième postulat est indépendant des quatre premiers.
Il travaille alors sur les conséquences qu’il peut tirer
d’une géométrie où « d’un point donné il est possible de
faire passer plusieurs droites parallèles à une droite
donnée». Mais Gauss ne publie pas ses résultats,
influencé comme la plus part des esprits de cette époque
par la pensée de Kant qui parle dans « Traité de la raison
critique » de la géométrie d’Euclide comme l’inévitable
nécessité de la pensée.
Le mathématicien allemand Bernard Riemann (18261866) est un élève de Gauss. Il a établit l'existence d'une
autre famille de géométries non euclidiennes pour son
travail de thèse. Les travaux de Riemann sur la géométrie
ne seront publiés qu’après sa mort, mais auront une
influence capitale. Il développe ainsi la « géométrie de la
sphère » (qui portera le nom de géométrie
Riemannienne), dans la quelle la notion de droites
parallèles disparaît (les droites sur la sphère sont les
«grands cercles ». On remarque que dans cette
Il existe une infinité de droites qui comme d1, d2 et d3
passent par le point M et sont parallèles à la droite D.
6
géométrie, la somme des angles d’un triangle sont
supérieure à l’angle plat, que les droites sur la sphère
sont bornées et que la sphère est munie d’une distance «
intrinsèque», c’est-à-dire indépendante de la distance
usuelle dans l’espace ambiant où la sphère est immergée.
que cela implique une contradiction avec le système des
démonstrations.
Finalement, La gloire d'Euclide est indiscutablement
attachée au succès de ses Éléments. L'abondance des
traductions et commentaires, le nombre des manuscrits
conservés, le fait que le traité euclidien ait été le livre qui
a connu le plus d'éditions jusqu'au début de ce siècle
témoignent de l'énorme impact qu'il eut sur l'histoire des
mathématiques et de leur enseignement depuis
l'Antiquité.
Riemann a donc donné un modèle d’une géométrie noneuclidienne: Le cas riemannien correspond au cas
elliptique où par un point extérieur à une droite on ne
peut mener aucune parallèle. Le modèle est très simple:
8. CITATIONS
«En géométrie, il n’y a pas de chemin réservé aux rois.»
«Si vous touchez aux maths, vous ne devez être ni
pressés, ni cupides, fussiez-vous roi ou reine.»
«Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans
preuve.»
Il n'existe aucune droite passant par le point M et
parallèle à la droite D.
9. REFERENCES
Figure 6. Exemple de Géométrie Elliptique.
1. F. Peyrard "Les éléments d'Euclide" 1809, réédition
Blanchard.
• les points sont les paires de points antipodes d'une
sphère.
2. « HISTOIRES DE PROBLEMES HISTOIRE DE
MATHEMATIQUE » Editions ellipses, Commission InteI.R.E.M. 1993.
• les droites sont les grands cercles (c'est-à-dire dire les
cercles ayant le même centre que la sphère).
3. Lobachewsky "Géométrie imaginaire" Journal de
Crelle Bd XVII 1837.
7. CONCLUSION
4. Marcel Berger "Géométrie, tome 5: la sphère pour
elle même, géométrie hyperbolique, l'espace des
sphères" CEDIC/Fernand Nathan 1977.
Les mathématiques représentaient ainsi jusqu'au 19ème
siècle le domaine de la vérité absolue, définitive et
éternelle où la géométrie euclidienne a été utilisée sans
que l'on mette en doute sa validité. Elle a même été
longtemps
considérée
comme
l'archétype
du
raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet
l'avantage de définir les propriétés intuitives des objets
géométriques dans une construction mathématique
rigoureuse. Pourtant avec son 5ème postulat, Euclide
avait laissé le premier grain de sable qui allait déboucher
des siècles plus tard sur l'irruption des géométries noneuclidiennes et la fin de cette belle certitude des
mathématiques.
5. Marvin J. Greenberg ; Euclidean & Non-Euclidean
geometries - Development & History, W.H. Freeman &
Co., New-York (3e édition-1996).
6. R. Goblot Thèmes de géométrie: Géométrie affine et
euclidienne - agrégation de mathématiques Masson.
7. R. MANKIEWICZ « L'histoire des mathématiques »Editions Seuil 2001
8. R. RASHED « Histoire des sciences arabes » (Tome
2) - Editions Seuil 1997
9. - G. BARTHELEMY « 2500 ans de Mathématiques
L'évolution des idées » Editions Ellipses 1999
Les mathématiciens se sont donné du mal pour résoudre
ce 5ème Postulat. Mais tous leurs efforts se sont soldés
par un échec. Puisque l'on n'arrivait pas à démontrer que
« Par un point donné, on ne peut mener qu'une seule
parallèle à une droite donnée ». Mais, contre toute
attente, Lobatchevski et Riemann découvrirent tour à
tour que la chose est logiquement possible dans un
espace courbe.
10. « Mathématiques - Ce que les grecs ont vraiment
inventé - » n°55 - Les cahiers de Science&Vie Février
2000
11. BOLYAI J. La science absolument vraie de l'espace
(1825) Traduction française de J. HOUEL. Mémoire de
la société des Sciences Phys. et Nat. de Bordeaux. Tome
5 - 1867 p 189-246
Bref, ils ont découvert que le 5ème Postulat n'est vrai
que pour un espace de type euclidien (à 3 dimensions).
Or, admettre un tel espace relève d'un choix. Et l'on peut
tout à fait envisager des espaces à " n " dimensions sans
12. RIEMANN B. Sur les hypothèses qui servent de
fondement à la géométrie (1854). Traduction française
de J. HOUEL, in Oeuvres de Riemmann - Blanchard –
1968.
7
Annexe 1:
Tentatives de démonstration
1- PROCLUS (410-485)
Proclus admet, comme évident, l'axiome suivant: La distance entre deux points pris sur deux droites qui se coupent,
peut être aussi grande qu'on veut en prolongeant suffisamment les deux droites. De cette hypothèse il déduit le
lemme suivant:
1- « Une droite qui coupe l'une des deux droits parallèles, coupe l'autre droite parallèle. »
Proclus démontre ce lemme de la façon suivante:
Soient [AB], [MN] deux segments de droite parallèles, et [EF] une sécante qui coupe [AB] en G.
Prolongeons [AB] à l'infini de part et d'autre en [AA') et [AB'), de même prolongeons [MN] à l'infini de part et
d'autre en [MM') et [MN'), et prolongeons [EF] à l'infini du côté de F en [EF').
Proclus va démontrer que [EF') coupe [MN').
Comme [GB'] et [GF'] sont deux demi-droites issues de G, la distance entre deux points pris respectivement sur ces
demi-droites peut croître indéfiniment et dépasser par conséquent toute longueur donnée. Ainsi cette distance peut
dépasser la distance entre les deux parallèles [GB') et [M'N'), alors (EF') coupe (M'N').
2- Du résultat 1, Proclus va déduire le résultat de la démonstration du cinquième postulat d'Euclide.
Soient deux segments de droites [AB] et [MN], coupés par une sécante [EF] tels que la somme des angles. BEF +
NF'E soit inférieure à 2 droits.
Il faut démontrer que les segments de droites [EB] et [MN] respectivement prolongés à l'infini en [EB'] et [F'N'] se
rencontrent du côté de B, N, où la somme des angles est inférieure à deux droits.
1
Les deux angles BEF et NF'E étant inférieurs à deux angles droits, supposons traçons la droite (EH) tel que l'angle
BEH soit le supplément de (BEF + NF'E).
Prolongeons [EH) du côté de E en [EG). La sécante [EF] faisant avec les droites (GH) et (M'N') les angles intérieurs
égaux à deux droits, ces droites sont parallèles (proposition 28 du I livre d'Euclide) et (A'B') coupe (GH) en E.
D'après ce qui est démontré dans 1, la droite (A'B') doit couper (M'N').
Ainsi les segments de [AB] et [MN] prolongées en [AB') et [MN') se rencontrent du côté B, N où la sécante [EF] fait
avec ces deux demi-droites des angles intérieurs inférieurs à 180º.
Le théorème des parallèles est ainsi démontré.
Nous voyons que la démonstration de Proclus repose sur une proposition admise comme évidente, et en réalité elle
ne l'est pas, car elle exige une démonstration:
Cette proposition n'est pas plus évidente que l'énoncé du cinquième postulat d'Euclide.
La tentative de Proclus, ce grand génie du néo-platonisme, ne fournit rien de valable qui puisse servir pour les
mathématiciens des générations postérieures.
D'ailleurs Proclus, avant de commencer sa démonstration, s'évertue avec un argument fallacieux qui rappelle mille
ans après, les arguments de Zénon d'Elée.
Commentaire :
PROCLUS est le premier mathématicien à donner la forme équivalente de l'énoncé du cinquième postulat, et qui fut
attribuée, à faux titre, à PLAYFAIR. Cette forme équivalente s'énonce ainsi:
Dans un plan, par un point extérieur, passe une seule droite parallèle à une droite donnée.
Il faut reconnaître, que PLAYFAIR lui-même attira l'attention sur l'appartenance de l'énoncé à PROCLUS, mais les
successeurs continuent d'attacher le nom de PLAYFAIR à cet énoncé célèbre par sa simplicité et facilité. Il est connu
de tous les étudiants sous cette forme.
2- AGANIS.
Cette tentative reproduite dans le commentaire des «ÉLÉMENT d'EUCLIDE» écrit par AL NARIZI du 9ème siècle
de notre ère, est attribuée à AGANIS, identifié par CURTZE et HEIBERG avec GEMINUS. TANNERY rejette
cette identification. SIMPLICIUS un célèbre commentateur d'ARISTOTE, a écrit une introduction au premier livre
des «ÉLÉMENTS d'EUCLIDE» qui contient la tentative de son ami AGANIS.
Si GEMINUS est l'auteur de cette tentative, elle serait la première tentative dans l'histoire de la géométrie pour
démontrer le cinquième postulat.
La démonstration repose sur l'hypothèse qu'il existe des droites équidistantes. Ces droites sont appelées parallèles.
Le plus court chemin entre les droites est la perpendiculaire commune, deux perpendiculaires à une même droite sont
parallèles, les deux parallèles coupées par une droite forment des angles intérieurs d'un côté de la sécante égaux à
deux droits et réciproquement.
2
Dans ce qui suit, nous montrons comment AGANIS construit le point d'intersection de deux droites non
équidistantes.
Soient deux droites (AB) et (FC) formant avec la sécante (EF) perpendiculaire à (AB), deux angles AEF et EFC
dont la plus sommes est inférieure à deux droits.
AGANIS prend un point quelque R sur (FC).
De R, il abaisse la perpendiculaire (RP) à (EF).
Il prend le milieu G de (EF), puis le milieu N de (GF) et ainsi de suite jusqu'à ce qu'un point milieu soit à l'inférieure
de (PF).
Soit N ce point (à l'intérieure de GF).
De N il mène la perpendiculaire à (EF) qui coupe (FC) en O.
Sur (FC), il prend un point K tel que le rapport
FK ÷ FR) = (FE ÷ FP)
Le point K est donc le point d'intersection de deux segments [AB] et [CF].
Il suffit de multiplier la longueur du segment [FR] par le rapport précèdent et de la porter sur [FC] pour déterminer le
point K, qui sera le point d'intersection recherché des deux droits (AB) et (FC).
3- Ibn AL-HAITHAM
Soit BCGO un quadrilatère ayant 3 angles droits. Il s'agit de montrer que le quatrième angle C est droit.
L'auteur montre d'abord que [BC] = [OG].
En effet soient A et D les symétriques de B et C par rapport à [OG]. Lorsque le segment [AD] se meut en restant
perpendiculaire à [AB], le point A restant sur [AB], le segment [AD] vient sur [BC] lorsque A est en B et sur [OK]
lorsque A est en O. Or dans ce mouvement, le point D décrit une droite, donc C, K, D sont alignés. Comme C, G, D
le sont aussi, G et K sont confondus. Ceci entraîne [CG] = [DG].
De même, on montrerait que [CG] = [OB]. Les triangles BCG et BOG sont alors égaux puisqu'ils ont leurs trois
côtés égaux. D'où les angles égaux, en particulier l'angle en C est égal à celui en O, c'est donc un angle droit.
La faille réside dans le fait Qu'Ibn AL HAITHAM suppose que les points équidistants situés d'un même côté d'une
droite donnée, sont sur une droite. Or, cette proposition est à démontrer. Il ne fait que remplacer le cinquième
postulat par une proposition équivalente.
4- Omar AL-KHAYYAM (1048-1123)
Les grandeurs se divisent à l'infini et ne sont pas composées d'indivisibles.
Deux droites qui se coupent s'écartent l'une de l'autre à partir de leur point d'intersection.
Omar AL-KHAYYAM étudie le quadrilatère ABCD ayant ses côtés [BC] et [AD] égaux et perpendiculaires à [AB].
Pour démontrer la proposition 29, il faut commencer par démontrer que, sous ces hypothèses, les angles C et D sont
droits. Voici sa démarche :
3
Proposition 1 : Soient [AB] un segment, [AD] et [BC] perpendiculaires à [AB], tels que AD = BC. Alors les angles
en C et D sont égaux.
Proposition 2 : Soient ABCD comme dans la proposition 1, O le milieu de [AB], et [OG] la perpendiculaire à [AB]
en O. Alors CG = GD et [OG] est perpendiculaire à [CD].
Proposition 3 : Sous les hypothèses de la proposition 2, les angles C et D sont droits.
Les propositions 1 et 2 se démontrent simplement, dans le style d'Euclide, sans le postulat. On notera que la situation
est différente de la projection du milieu rencontrée chez Aganis.
(OG) est la médiatrice de [AB], et que la symétrie orthogonale par rapport à (OG) transforme [BC] en [AD], et donc
C en D.
Nous allons donc observer la démarche de Omar al-Khayyam dans la troisième proposition.
Il commence par prolonger le segment [OG] d'une longueur égale : GK = OG, et trace la perpendiculaire à (OK) en
K. Cette droite coupe (BC) et (AD) en F et E. Il montre alors que CF = DE et donc, d'après ce qui précède, on a
aussi KE = KF.
Omar AL-KHAYYAM fait alors successivement l'hypothèse que les angles égaux BCD et ADC sont aigus, puis
qu'ils sont obtus. Il obtient deux contradictions, il en déduit alors que ces angles sont droits. Etudions le cas aigus :
Par "rotation autour de (CD)" - c'est-à-dire par symétrie orthogonale - [GK] vient sur [GO], (EF) sur (AB) et le
segment [EF] sur un segment [MN]. L'angle FCG étant supérieur à l'angle aigu BCG, la longueur EF, égale à PN, est
plus grande que AB. Ainsi, remarque, AL-KHAYYAM les droites (BC) et (AD), perpendiculaires à (AB)
s'écarteraient d'un côté de (AB) ; mais pour des raisons de symétrie, elles s'écarteraient aussi de l'autre côté.
De la même manière, si les angles égaux BCD et ADC étaient obtus, on monterait que la longueur ST est plus grande
que AB, et donc les droites (BC) et (AB) se rapprocheraient l'une de l'autre des deux côtés de (AB).
Ainsi, conclut Omar AL-KHAYYAM, les angles en C et D sont droits car les deux cas, aigu et obtus contredisent
l'idée que l'on a des droites, à savoir: Deux droites ne peuvent pas s'écartent l'une de l'autre des deux côtés à la fois,
ni se rapprocher des deux côtés à la fois.
4
La faille
Le segment [CN] symétrique de [CF] par rapport à [CD] n'est pas sur la même droite que [CF] dans le cas de
l'hypothèse de l'angle aigu ou obtus en C. Les déductions d'Omar AL-KHAY-YAM sont donc fausses. Le
mathématicien Jean Luc CHA-BERT n'a pas remarqué cette grave erreur chez Omar AL-KHAYYAM.
Les segments [CN] et [CF] ne peuvent être alignés que dans l'hypothèse de l'angle droit en C. Dommage que les
mathématiciens, y compris Jean Luc CHA-BERT n'ont pas remarqué cette grave erreur chez Omar ALKHAYYAM.
5- John WALLIS (1616 – 1703)
John Wallis abandonne l'idée de droites équidistantes en théorie des parallèles et introduit l'hypothèse de la
similitude.
Etant donné un triangle, il est possible de construire un autre triangle semblable et de n'importe quelle dimension.
Les triangles semblables ont les angles respectivement égaux, et les côtés correspondants proportionnels.
Wallis démontre le postulat des parallèles de la façon suivante.
Soient une droite (m) et un point A extérieur à cette droite.
Pour construire une parallèle à (m) passant par A, il faut abaisser la perpendiculaire (AA') de A à (m) et élever une
perpendiculaire (n) en A à (AA').
Soit (s) une autre droite passant par A.
Nous allons démontrer que (s) rencontre (m). Prenons un point quelque D sur (s) entre (n) et (m) et abaissons de D la
perpendiculaire (DD') à (AA').
Nous appliquons l'hypothèse de Wallis relative au triangle ADD' et au segment [AA'].
D'après cette hypothèse il existe un point R sur (s) tel que le triangle ADD' est semblable au triangle AA'R.
Supposons R du même côté que D, sur (m) à gauche de (AA').
D'après la définition des triangles semblables l'hypothèse de Wallis repose sur l'existence des triangles semblables et
en générale l'existence des figures semblables, sur [AB], le côté homologues à [AB2], ce qui nous permet de
construire un triangle ABC semblable à AB2C2 or cela équivaudrait à dire que les droites (L) et (M) doivent se
rencontrer en un point C qui sera le 3ème sommet du triangle ABC.
5
Wallis conscient que son hypothèse n'est pas plus évidente que le 5ème postulat essaie de justifier sa démonstration
prétendant qu'Euclide en formulant son troisième postulat admet l'existence de cercles semblables, même dans ce cas
nous n'avons pas le droit de généraliser aux autres figures.
6- Geralomo SACCHERI ( 1663-1732 )
Gerolamo SACCHERI procède en logicien et applique le raisonnement, par l'absurde, d'une façon systématique.
Il prend, comme figure de base, le quadrilatère, indiqué par AL-TOUSSI six siècles auparavant.
Soit ABCD un quadrilatère ayant :
[AD] = [BC] et BAC = ABC = 1 droit.
En traçant la perpendiculaire (MN), au milieu O de [AB], elle sera un axe de symétrie pour la figure, les angles
ADC et BCD sont égaux.
Malgré sa bonne intention de démontrer l'unicité de la parallèle, SACCHERI aboutit à trois cas possibles également
probables :
Premier cas :
BCD =
ADC Angles aigus.
Deuxième cas :
BCD =
ADC Angles obtus.
Troisième cas :
BCD =
ADC Angles droits.
SACCHERI s'appuie sur le lemme suivant :
Si un quadrilatère ABCD a les angles ABC et BAD droits et les côtés [AD] et [BC] égaux, alors les angles
BCD et ADC sont égaux; mais si les côtés [AD] et [BC] sont inégaux, le plus grand angle est celui que est adjacent
au plus petit côté, et réciproquement.
Dans le premier cas nous avons :
[ AB ] < [ CD ]
Dans le second cas nous avons :
[ AB ] > [ CD ]
Dans le troisième cas nous avons : [ AB ] = [ CD ]
Prenons le quadrilatère OBCO', d'après le lemme précédent nous aurons:
[ OB ] > [ O'C ], et leurs doubles vérifient la même inégalité
Même raisonnement pour les autres cas. Si dans chacun des trois cas l'hypothèse est vérifiée une fois, elle serait
toujours vérifiée.
Prenons le troisième cas où les angles sont droits, Nous allons démontrer que les angles restent droits
6
Par hypothèse :
BCD = ADC angles droits.
Conclusion : F
AEF = BFE angles droits
Prenons [DE]=[CF]
D'après l'hypothèse:
[AB] = [CD]
Si [EF] est perpendiculaire à [AD] le quadrilatère ABFE est rectangle, l'hypothèse de l'angle droit est vérifiée. Sinon
supposons l'angle AEF aigu, alors l'angle adjacent DEF est obtus. Le quadrilatère ABFE donne:
[EF] > [AB]
Le quadrilatère CDEF donne:
[EF] < [CD] Or
[AB] = [CD] . Comme [EF] ne peut à la fois être supérieur et inférieur à [AB], l'hypothèse de l'angle aigu est à
rejeter.
Par le même raisonnement nous démontrons que l'angle DEF ne peut être obtus; il ne reste que l'hypothèse de
l'angle droit pour l'angle AEF. Le quadrilatère AEFB est un rectangle.
Il est facile de démontrer que le résultat sera valable si [EF] est extérieur à [CD], ainsi quelle que soit la base AD
l'hypothèse de l'angle droit est vérifié.
Considérons le deuxième cas où les angles sont obtus.
Il suffit que l'hypothèse de l'angle obtus soit vérifiée une fois pour être vérifiée pour tous les cas.
Nous supposons les angles BCD et ADC obtus. Nous avons :[CD] < [AB] .
[EF] ne peut être perpendiculaire à [AD] et [BC] car dans ce cas l'hypothèse de l'angle droit serait vérifiée.
Supposons l'angle AEF aigu, l'hypothèse de l'angle aigu dans le quadrilatère ABFE donne :
[EF] > [AB]
Nous aurons donc:
[EF] > [AB] > [CD]
Quand [EF] tend vers [CD], d'après le principe de continuité, il prend la valeur de [AB] pour cette position limite
[E'F'] et le quadrilatère ABF'E' sera un rectangle. Comme l'hypothèse de l'angle droit est ainsi vérifiée, elle le sera
pour tous les cas et l'angle AEF ne peut être aigu, il est donc obtus.
Nous avons bien démontré qu'il suffit d'un seul cas où l'hypothèse de l'angle DEF obtus soit vérifiée pour demeurer
vérifiée dans tous les cas.
Même raisonnement pour le cas où l'angle AEF est aigu.
Mais SACCHERI, et tous ses successeurs n'ont pu trouver un seul cas où l'hypothèse de l'angle aigu ou obtus, soit
vérifiée, alors qu'il existe, dans le cas de l'hypothèse de l'angle droit, un cas limite, où cette hypothèse est vérifiée.
C'est le cas où [CD] tend vers [AB] et coïncide avec lui, dans ce cas l'hypothétique rectangle sera vérifié quand sa
surface devient nulle et ses deux côtés se superposant l'un sur l'autre, les deux autres côtés s'annulant.
Remarquons que dans le cas de l'angle aigu, et de l'angle obtus, les hypothèses correspondantes ne sont pas vérifiées
lorsque [CD] tend vers [AB] et coïncide avec lui, dans ce cas seule l'hypothèse de l'angle droit est vérifiée.
7
7- Adrien Marie LEGENDRE (1752- 1833).
Vers la fin du dix-huitième siècle les mathématiciens français versants dans la géométrie, apportèrent une grande
contribution à l'étude de la théorie des parallèles, à l'instar de leurs collègues italiens et allemands.
Dans un article, sur la géométrie, Jean-Le-Rond D'ALEMBERT met presque le doigt sur la plaie en affirmant : «La
définition et les propriétés de la ligne droite, ainsi que des lignes parallèles sont l'écueil et pour ainsi dire le scandale
des éléments de Géométrie.»
Il soutenait qu'une rigoureuse définition de la droite mettrait fin à toutes les difficultés. C'est pour cette raison qu'il
propose de définir une droite parallèle à une droite donnée comme une droite située dans le plan passant par deux
points équidistants de la droite donnée. Cette définition permet de construire facilement les droites parallèles. Il reste
alors à démontrer que ces droites parallèles sont équidistantes. Malgré sa lucidité, D'ALEMBERT n'a pas saisi la
fécondité de la notion d'égalité qui lui aurait permis de saisir intuitivement l'équidistance des droites parallèles ainsi
définies; il ne lui reste qu'à proposer aux successeurs ce théorème dans l'espoir d'une preuve qui n'est pas venue
jusqu'à ce jour.
Des noms célèbres se sont intéressés à la théorie des parallèles comme LAGRANGE (1736-1813), CARNOT (17531823), LAPLACE (1749-1827) ces deux derniers ont considéré la notion de similitude comme fondamentale et l'ont
érigée en principe.
FOURIER a donné la primauté à la distance entre deux points.
Mais tous ces mathématiciens n'ont fait que donner leurs opinions sur la question épineuse; seul LEGENDRE
émerge et tente de démontrer le postulat des parallèles. Dans le sillage de Nasr-El-Din AL TOUSSI, SACCHERI et
LAMBERT il centre tous ses efforts sur la somme des angles intérieurs du triangle et durant trente ans il traite le
problème, conjuguant tous ses efforts au service de l'hypothèse euclidienne, en vue d'obtenir l'égalité de cette somme
avec deux droits.
Ses tentatives de prouver le cinquième postulat parurent dans ses «Eléments de Géométrie» entre 1794 et 1823 dans
douzaine de livres. En 1733 il publie ses travaux dans une collection portant le titre «Réflexions sur différentes
manières de démontrer la théorie des parallèles».
Legendre réussit à rejeter l'hypothèse de l'angle obtus formulée par SACCHERI, au début de ses travaux, en
prouvant le théorème suivant:
Etant donnés n segments égaux N1N2, N2N3,… NnNn+1 successivement sur une droite et du même côté n triangles
égaux ayant leurs troisièmes sommets successivement en M1,M2,…Mn et Mn+1, alors les segments
M1M2,M2M3,…MnMn+1 sont égaux.
LEGENDRE démontre que b ≤ a
Comparons les deux triangles A1B1A2 et B1A1B2 qui ont deux côtés égaux, au grand des deux autres côtés
correspond le plus grand angle.
Si b > a ceci entraîne: [N1N2] > [M1M2]
Comme la ligne brisée N1M1M2…Mn+1Nn+1 > [N1Nn+1],
Nous aurons: [N1M1+nM1M2 + Nn+1Mn+1] > n[N1N2]
[N1M1] +[ Nn+1Mn+1] > n[ N1N2 – M1M2]
2[N1N2] > n[N1N2 –M1M2]
Le premier membre est constant tandis que le second membre croît et peut dépasser toute grandeur fixée d'avance, ce
qui est impossible, par conséquent l'hypothèse de l'angle obtus est à rejeter. Nous devons toujours avoir: b ≤ a et
nous pourrons déduire: La somme des angles intérieurs d'un triangle quelconque est égale ou inférieure à deux angles
droits.
8
Ce théorème est connu sous le nom de: premier théorème de LEGENDRE. En fait SACCHERI l'a établi un siècle
auparavant.
De même le second théorème de LEGENDRE a été établi par SACCHERI d'une manière plus générale sous la forme
suivante:
Si un triangle vérifie la propriété de la somme de ses angles intérieurs d'être plus petite ou égale à deux droits, cette
propriété serait vérifiée pour tous les triangles.
Pour démontrer que la somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à deux droits LEGENDRE procède
comme suit:
Supposons que nous avons dans le triangle ABC l'inégalité suivante :
A + B + C < 2 droits
Prenons un point D sur le côté [AB] et construisons le segment
[DE] tel que l'angle ADE = ABC
Dans le quadrilatère DBCE supposons que la somme des angles intérieurs est plus petite que 4 droits, ceci entraîne :
AED > ACB
L'angle AED serait une fonction décroissante du segment [AD] dont la longueur serait déterminée par cet angle et
les angles A et B.
LEGENDRE considérait ce résultat absurde parce que la longueur d'un segment n'aurait de sens que si l'on connaît
l'unité de longueur qui seule permettrait de mesurer la longueur. De ce point de vue l'hypothèse de l'angle aigu est
rejetée et il ne reste qu'à adopter l'hypothèse de l'angle droit qui conduit à la somme des angles intérieurs du triangle
égale à deux droits.
De ce résultat la démonstration du postulat des parallèles est facile.
La démonstration de LEGENDRE repose sur le postulat formulé par LAMBERT qui refuse d'admettre l'existence
d'unité absolue de mesure pour les segments.
De toute façon la démonstration de LEGENDRE souffre de clarté et manque de rigueur; elle n'est pas satisfaisante.
8- Wolfang BOLYAI (1775-1856)
Wolfang BOLYAI est le père de Jãnos BOLYAI fondateur avec LOBATSCHEWSKY de la géométrie hyperbolique
non-euclidienne.
Etudiant à l'université de Göttingen (1796-1799) avec son confrère Gauss, il fut intéressé par la théorie des
parallèles.
9
En 1804, il envoya sa tentative de prouver le fameux postulat d'Euclide en établissant l'existence de droites
équidistantes. Hélas! Le raisonnement s'est révélé fallacieux après avoir été examiné par GAUSS. BOLYAI ne
désespéra pas et remplaça son hypothèse par d'autres sans réussir, ce qui l'amène à abandonner ses investigations,
convaincu de l'impossibilité d'une preuve pour le cinquième postulat d'Euclide.
W. BOLYAI remplace le postulat euclidien par le suivant:
« Par quatre points non coplanaires passe une sphère»
ou ce qui revient au même :
«Par trois points non alignés passe une circonférence de cercle»
Admettant le postulat de W. BOLYAI, celui d'Euclide sera prouvé de la manière suivante: Soient deux demi-droites
[AB) et [CD) et une sécante [AC] telle qu'elle soit perpendiculaire à la demi-droite [CD) et l'autre demi-droite [AB)
inclinée.
Si nous prenons un point M sur la sécante entre A et C et nous construisons le point M', M'' respectivement
symétriques de M par rapport à [AB) et [CD), M'' est sur le prolongement de [AC] du côté de C. Les trois points M,
M', et M'' ne sont pas alignés, donc ils se trouvent sur la circonférence d'un cercle dont le centre est le point
d'intersection des deux demi-droites [AB) et [CD). Du fait qu'une demi-droite perpendiculaire à une autre demidroite et une demi-droite fait avec elle un angle aigu intersectant, il s'en suit qu'il y a une seule droite parallèle à une
autre droite menée par un point extérieur à cette droite.
9- Carl Friedriech GAUSS (1777 – 1855)
GAUSS, surnommé prince des mathématiciens, a dominé le monde des mathématiques de la première moitié du dixneuvième siècle. A l'instar de SACCHERI et de LAMBERT, il essaie de démontrer le cinquième postulat d'Euclide,
en le niant, espérant trouver une contradiction.
GAUSS a toujours cherché à établir l'existence d'un triangle dont la surface ne dépasse pas une valeur donnée, quand
l'un de ses sommets va vers l'infini. Ceci lui aurait permis de prouver tous les théorèmes de la géométrie
Jusqu'à 1813 les géométries non-euclidiennes ne lui paraissent pas logiques, mais après cette date il s'est mis à
développer les théorèmes d'une nouvelle géométrie dans le secret total. Il commença par définir les parallèles comme
suit:
«Deux demi- droites situées dans un même plan [AD) et [BC) ne se rencontrent pas si toute droite passant par A
entre ces demi- droites coupe [BC), alors nous disons que la demi-droite [AD) est parallèle à [BC).
Il prend une droite confondue avec la sécante (AB) pour sa position initiale et qui tourne autour de A d'une manière
continue jusqu'à atteindre la position [AO).
GAUSS admet que cette droite commence par couper la droite
[BC) et il arrive un moment où elle ne la coupe plus, ainsi la position séparant les deux cas est unique et cette
position doit être la première droite qui ne coupe pas [BC), ceci résulte de la définition des parallèles faite par
GAUSS.
D'autre part, il n'existe pas une dernière droite qui coupe [BC) car l'existence d'une telle droite détruirait la nouvelle
géométrie en y créant des contradictions. Ainsi pour qualifier le nouveau système de consistant GAUSS introduit une
définition nouvelle pour les parallèles et admet des situations qui ne sont pas évidentes.
10
Toutes les déductions qu'on peut faire dans cette optique ne peuvent pas présenter de contradictions, puisque la
raison n'a aucune prise sur ce qui se passe. Pour attirer l'attention on brande de temps en temps des illustrations de la
géométrie euclidienne, sans quoi, le rêve ne s'arrête pas.
10- Nicolai Ivanovitsch LOBATSCHEWSKY
Il avait une formation polyvalente. Avant 1823, il a fait plusieurs tentatives pour démontrer le cinquième postulat,
sans aboutir. Alors il essaie de découvrir la géométrie imaginaire, sans perdre l'espoir dans la découverte éventuelle
d'une démonstration pour le postulat euclidien.
Il conçoit une géométrie indépendante du postulat euclidien, où l'on peut tracer deux parallèles à une droite donnée à
partir d'un point extérieur à cette droite et il définit un angle de parallélisme formé par l'une de ces deux parallèles
avec la perpendiculaire donnée issue de ce point suivant les pas de TAURINUS dans le domaine imaginaire. Il
appelle sa nouvelle géométrie la «Géométrie imaginaire.»
Les mathématiciens avalèrent la nouvelle recette, LOBAT-SCHEWSKY n'a qu'à poursuivre son avancée. Une
théorie complète des parallèles apparut de 1835 à 1838.
En 1855, il publie ses travaux sous le titre «Pangéométrie ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale et
rigoureuse des parallèles.»
Il substitue à la dénomination «géométrie imaginaire» la pan-géométrie donnant l'impression d'une cohabitation avec
la géométrie classique. Un très grand mathématicien comme Poincaré se contente d'affirmer seulement que la
géométrie euclidienne est plus commode que les autres, alors la vérité n'a qu'à pleurer.
Il introduit le postulat de la géométrie hyperbolique comme suit:«A travers un point extérieur à une droite (D'D) sans
la couper, passent deux droites parallèles».
Ce postulat s'oppose au cinquième postulat d'EUCLIDE qui stipule que par le point A passe une seule droite appelée
parallèle et qui ne coupe pas (D'D).
Il prend un point A extérieur à une droite (D'D), avec [AB] perpendiculaire à cette droite. En faisant tourner le
support de [AB] autour de B, dans le sens positif, Lobatschewsky affirme qu'elle continue de couper (D'D) M, M, P
etc…,et il arrive un moment où elle cesse de couper (D'D), correspondant à l'angle aigu ABC = α et à {BC).
De même en faisant tourner la même droite dans le sens négatif, il obtient [BL').En prolongeant(L'B] en [BL) et (CB]
en [BC'), LOBATSCHEVSKY appelle parallèles à (D'D) les deux droites qui comprennent un faisceau de droites ne
pouvant couper (D'D) selon la prétention de LOBATSCHEVSKY.
a - Comme vous le constatez, deux droites l'une (BC) formant un angle aigu ABC = α et l'autre (BL) formant un
angle obtus HAF =180°- α, ne coupent pas (D'D) ainsi que la totalité des droites comprises entre eux et entourant
l'unique parallèle euclidienne (BG) chose jamais vue en géométrie.
11- Jänos BOLYAI ( 1802-1860 )
Il montra une aptitude particulière pour les mathématiques enseignées par son père Wolfgang qui attire son
attention sur le postulat XI. Malgré les conseils du père, le fils essaya de prouver ce postulat. Ainsi la théorie des
parallèles fut l'occupation favorite de Jänos entre 1817 et 1822.
11
Jänos était pleinement convaincu d'avoir trouvé une preuve pour le postulat XI, mais lorsqu'il a reconnu l'erreur
commise dans sa démonstration, il se retourna vers une géométrie où le cinquième postulat ne sera pas respecté.
Il consacre ses efforts à la construction d'une théorie absolue de l'espace suivant la méthode déductive
indépendamment du cinquième postulat d'Euclide.
Il retrouve indépendamment de LOBATSCHEWSKY la formule de l'angle de parallélisme, formule fondamentale
pour les géométries non-euclidiennes.
En 1825, il envoya un résumé de ses travaux à son père qui n'était pas d'accord avec les résultats de son fils
Ses travaux furent envoyés à GAUSS en 1832.
Jänos et son père ne voulaient pas croire que d'autres ont déjà construit des géométries non-euclidiennes.
Les résultats trouvés par J. BOLYAI furent:
1- La définition des parallèles et leurs propriétés indépendamment du cinquième postulat.
2- Le cercle et la sphère de rayons infinis
3- La trigonométrie sphérique est indépendante du postulat d'Euclide.
4- La trigonométrie plane dans la géométrie hyperbolique.
La quadrature du cercle.
12
Annexe 2 :
Énoncés équivalents au 5ème postulat d’Euclide7
1 - 5ème demande ou postulat d’Euclide (env. 330 - 275 av. JC.) :
Si une droite, tombant sur deux
droites, fait les angles intérieurs
et du même côté plus petits
que deux droits, les deux
droites,
indéfiniment
prolongées, se rencontrent du
côté où sont les angles plus
petits que deux droits.
A
E
B
O
D
C
F
At-Tùsì, Nasìr ad-Dìn (1201 - 1274); Saccheri,
Girolamo (1667 - 1733) :
Une perpendiculaire et une oblique à une
sécante commune se coupent.
2 - Angles déterminés par deux parallèles et une sécante :
Proposition I-29 d’Euclide :
1a - Si deux droites parallèles sont coupées par une
sécante, la somme des angles intérieurs d’un même
côté est égale à deux droits.
E
A
B
1b - Si deux droites parallèles sont coupées par une
sécante, les angles alternes internes sont égaux.
1c - Si deux droites parallèles sont coupées par une
sécante, les angles correspondants d’un même côté
sont égaux.
C
D
F
3 - Parallèles et perpendiculaires
Proposition I-30 d’Euclide :
Les droites parallèles à une même droite sont parallèles
entre elles.
d
d'
d"
7
Énoncés équivalents au 5ème postulat signifie : dans l’axiomatique euclidienne (définitions, demandes et notions communes), le 5ème postulat
étant exclu, il est possible de démontrer l’équivalence logico-géométrique de chaque énoncé avec le la 5ème demande, selon les méthodes de
démonstration euclidiennes, présupposés et implicites couramment utilisés y compris.
1
Legendre, André-Marie (1752 - 1833) :
Si
2
droites
sont
parallèles,
toute
perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à
l’autre.
Ž
si d // d'
et d ¹ Ž,
alors d' ¹ Ž
d
d'
Bolyai, Janos (1802 - 1860) :
Par trois points non alignés il passe un cercle.
B
A
O
C
4 - Droite passant par un point donné et parallèle à une droite donnée
Axiome de Playfair, John (début du XIXè), déjà énoncé par
Proclus de Lycie (412 - 485 ap. J.C.) :
Par un point extérieur à une droite passe au plus une
parallèle à cette droite.
Al-Haytam, ibn (965 - 1041) :
Deux droites qui se coupent ne peuvent être toutes deux
parallèles à une même droite.
M
d
Proclus (Vè siècle ap. J.C.) :
Lorsqu’une droite coupe l’une des parallèles
elle coupe l’autre aussi.
5 - Somme des angles d’un triangle
Proposition 32 d’Euclide, Al-Haytham (Xè-XIè siècles), Nasìr
ad-Dìn at-Tùsi (XIIIè siècle), Saccheri (XVIIIè ) :
A
A+B+C =
2 droits
C
Les trois angles d’un triangle sont égaux à deux droits.
B
Proposition 32 d’Euclide :
Un angle extérieur d’un triangle est égal aux deux angles
intérieurs et opposés.
A
C = A+B
C
B
Legendre (XIXè siècle) :
Il existe un triangle dont la somme des trois angles est égale à deux droits.
axiome de Worpitzki :
Il n’existe pas de triangle dans lequel chaque angle peut être choisi aussi petit que l’on veut.
Saccheri (XVIIIè) :
La somme des angles d’un quadrilatère est égale à quatre
angles droits.
A
D
B
C
Clairaut, Alexis Claude (1713 - 1765) :
Si dans un quadrilatère, 3 angles sont des angles
droits, le quatrième est un angle droit.
A
B
2
A+B+C+D =
4 droits
D si A, B et C
sont droits,
alors D est
C droit
6- Symétrie centrale
Veronese, Giuseppe (1854 - 1917) :
Si deux droites sont parallèles, elles sont
symétriques l’une de l’autre par rapport au
milieu M de tout segment joignant un point de
l’une à un point de l’autre.
P
Q
d si d//d' et M
millieu de PP'
d' alors d et d' sont
sym p.r. à M
M
Q'
P'
Pour toute autre sécante QQ’ passant par M, M est
aussi le millieu de [QQ’].
7 - Équidistance des parallèles
Posidonius d’Apamée (135 - 50 av. J.C.),
An-Nayrìzi (900) :
Les droites parallèles sont équidistantes.
d
AA' = MM'
pour tout M
d'
de d ou de d'
A'
si d et d' sont perpendiculaires à (AB), alors d
et d' sont équidistantes
M'
Posidonius, Geminus (Ier siècle av. J.C.) :
Il existe des droites qui sont équidistantes l’une
de l’autre.
Al-Khayyam, Omar (1040 - 1131) :
Deux perpendiculaires à une même droite sont
équidistantes
A
M
A
d
d'
B
Proclus (Vè siècle), Al-Khayyâm (XIè siècle) :
La distance entre deux parallèles est bornée.
Proclus (Vè siècle) :
Si deux droites sont sécantes, la distance
d’un point de l’une à l’autre n’est pas bornée.
d
M'
o
MM' non bornée
quand M s'éloigne
indéfiniment de o
d'
M
Aganis (VIè siècle ?) :
Par un point extérieur à une droite il passe toujours une droite équidistante de la première.
Posidonius (Ier siècle av. JC.); Al - Haytam (Xè-XIè) :
Le lieu des points équidistants d’une droite et situés d’un même côté de cette droite est une
droite.
P
Vitale, Giardano (1633 - 1711) :
Il existe trois points alignés équidistants d’une
droite.
d
P'
Q
Q'
R
R'
il existe P, Q, R,
alignés, tels que
PP' = QQ' = RR'
8 - Propriétés du rectangle
A
Omar Khayyam (XIè-XIIè), Saccheri (XVIIIè):
Un quadrilatère isocèle ayant deux angles droits
a tous ses angles droits.
3
D
B Si A et B sont droits
et si AD = BC, alors
C C et D sont droits
Thalès (VIè siècle av. J.C.)
Un angle droit est inscrit dans un demi-cercle.
Saccheri (XVIIIè ) :
Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit.
Thalès : si AMB est droit,
(AB) est un diamètre du
B cercle passant par A, M, B.
M
A
Saccheri : si (AB) est un
diamètre, alors pour tout M
du cercle, AMB est droit
Al - Gauharì (VIIIè - IXè) :
La médiane d’un triangle rectangle est égale à la
moitié de l’hypoténuse.
B
AM = BM = MC
M
C
A
9 - Existence de figures semblables
Wallis, John (1616 - 1703) :
Pour une figure quelconque, il y en a toujours une autre, de grandeur quelconque, qui lui soit
semblable.
Wallis (XVIIè) :
Pour tout triangle, il en existe un autre ayant un côté de longueur donnée et des angles
égaux à ceux du triangle initial.
Saccheri (XVIIIè) :
Il existe deux triangles non égaux ayant leurs angles égaux deux à deux.
Gauss, Carl Friedrich (1774 - 1855) :
Il existe des triangles d’aire aussi grande que l’on veut .
“Si je pouvais montrer qu’on peut construire un triangle contenant une aire donnée,
je serais capable de prouver rigoureusement toute la géométrie.”
10- Position relative d’une droite et d’un angle
Al - Gauhari (VIIIè
Samarkandi (XIIIè) :
-
IXè),As
-
P
d
O
M
Par chaque point à l’intérieur d’un angle
passe une droite qui coupe les deux
côtés de l’angle.
Q
Legendre (XIXè) :
D’un point quelconque intérieur d’un
angle plus petit que deux tiers d’un
angle droit, on peut mener une droite
qui rencontre les deux côtés de l’angle.
4
d'
Si dOd' n'est pas plat,
si M est à l'intérieur,
alors il existe P sur d
tel que (PM) coupe d'.