INDICE DE CLIFFORD DES INTERSECTIONS COMPL`ETES DE L

Bull. Soc. math. France,
124, 1996, p. 61–95.
INDICE DE CLIFFORD DES INTERSECTIONS
COMPL` ETES DE L’ESPACE
PAR
B´ en´ edicte BASILI (*)
R´
ESUM´ E.—SoientC⊂P3une courbe gauche, lisse et intersection compl`ete et le
degr´e maximum d’un diviseur positif align´edeC. On montre que la gonalit´edeCest
(deg C−) et qu’un diviseur positif Γ ⊂Ccalcule cette gonalit´esietseulementsiΓ
est le r´esiduel d’un diviseur align´ededegr´edans une section plane de C.Onmontre
de plus que pour deg C= 9, l’indice de Clifford de Cest (deg C−−2).
ABSTRACT.—LetC⊂P3be a twisted smooth complete intersection curve and 
the maximum degree of a linear positive divisor of C. We show that the gonality of C
is (deg C−) and that an effective divisor Γ ⊂Ccomputes this gonality if and only
if Γ is the residual of a linear divisor of degree in a plane section of C.Weshow
furthermore that if deg C= 9, the Clifford index of Cis (deg C−−2).
Introduction
L’objet principal de ce travail est l’´etude de l’indice de sp´ecialit´ed’un
groupe de points Γ de P3.
D´
EFINITION. — Soit Γ un groupe de points de Pr. On appelle indice de
sp´ecialit´ede Γ (i.e. du plongement de Γ dans Pr) l’entier
e(Γ) = maxn;h1(IΓ(n)) =0
.
C’est le plus grand entier ntel que Γ n’impose pas des conditions
ind´ependantes sur les hypersurfaces de degr´en.
Sous certaines hypoth`eses, on donne la valeur maximum de eet on
caract´erise les groupes de points pour lesquels l’indice est maximum ou
sous-maximum :
(*) Texte re¸cu le 3 juin 1994.
B. BASILI, Institut de Math´ematiques, Analyse Alg´ebrique, Universit´e Pierre-et-Marie-
Curie, case 247 ; 4, place Jussieu, 75252 Paris CEDEX 05, France.
Classification AMS : 14.
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ET´ EMATH
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EMATIQUE DE FRANCE 0037–9484/1996/61/$ 5.00
c
Soci´et´emath´ematique de France

62 B. BASILI
Soient get ddeux entiers strictement positifs avec d≤g2et il’unique
entier tel que (i−1)g<d≤ig.SoitΓun groupe de points analytiquement
plan de P3de degr´edv´erifiant l’une des hypoth`eses suivantes :
1) Γ ⊂C,o`uCest une courbe r´eduite irr´eductible, intersection de
surfaces de degr´eg,avecdeg C≥i.
2) H0(IΓ(g)) n’a pas de courbe fixe.
TH´
EOR` EME 3.1. — On a e(Γ) ≤i+g−3, avec ´egalit´esietseulement
si Γest une intersection compl`ete de degr´es (1,i,g).
TH´
EOR` EME 3.2. — Si e(Γ) = i+g−4, alors il existe un plan Htel que
e(Γ ∩H)=e(Γ) = i+g−4, avec un certain nombre d’exceptions.
Notons que C. Ciliberto et R. Lazarsfeld d´emontrent un cas particulier
de ce r´esultat dans [CL, §2.6].
Pour les groupes de points Γ tels que
deg Γ ≤3e(Γ) + 3,
le Th´eor`eme 3.2 est vrai sans les hypoth`eses 1) ou 2). C’est ce qui est
d´emontr´e au paragraphe 2.
Le paragraphe 3 est consacr´e`alapreuvedesTh´eor`emes 3.1 et 3.2.
Soulignons qu’une difficult´e majeure dans ces d´emonstrations vient du
fait que l’on ne suppose pas les points distincts, ce qui ne permet pas les
raisonnements combinatoires.
Dans un dernier paragraphe, on applique ces r´esultats :
Soit Cune courbe gauche lisse, intersection compl`ete dans P3.
TH´
EOR` EME 4.2. — La gonalit´edeCest gon(C)=degC−,o`uest
le degr´e maximum d’un groupe de points align´e dans C.
De plus, en utilisant un r´esultat de M. Coppens et G. Martens, on
calcule l’indice de Clifford de C.
TH´
EOR` EME 4.3. — On a Cliff(C) = gon(C)−2sauf si deg C=9.
REMERCIEMENTS.—Jetiens`a remercier Christian PESKINE qui m’a
dirig´ee et aid´ee dans ce travail.
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INDICE DE CLIFFORD DES INTERSECTIONS COMPL ` ETES 63
1. D´efinitions et r´esultats pr´eliminaires
Certaines d´emonstrations font appel au caract`ere d’un groupe de points
plan dont nous rappelons la d´efinition (Gruson–Peskine) :
Soient Xun groupe de points de P2de cˆone projetant Aet Lune droite
g´en´erale de cˆone projetant R.SiOest un point g´en´eral de P2, la projection
de centre Ode Xsur Linduit une application R→A. Elle donne `aAune
structure de module gradu´e de type fini sur R.Uner´esolution minimale
de Acomme R-module gradu´eseradelaforme:
0→
s−1
i=0
R[−ni]−→
s−1
i=0
R[−i]−→ A→0,
o`usest le degr´e minimal d’une courbe plane contenant X.Onremarque
que les nombres s,n0,...,ns−1,ned´ependent pas de la projection.
La suite d’entiers (n0,n
1,...,n s−1), avec n0≥n1≥ ··· ≥ ns−1≥s,
est appel´ee caract`ere num´erique de X.
On aura besoin des deux lemmes suivants qui se d´emontrent de fa¸con
purement num´erique en utilisant le caract`ere.
LEMME 1.1. — Soit k≥3un entier et soit Xun groupe de points de P2
d’indice de sp´ecialit´ee(X)≤k.
•Si 2k+3≤deg X≤2k+4, alors h1(IX(k−1)) ≤4.
•Si deg X=2k+2, alors h1(IX(k−1)) ≤3.
•Si deg X≤2k+1, alors h1(IX(k−1)) ≤2.
LEMME 1.2. — Soit Xun groupe de points de P2d’indice de sp´ecialit´ee,
avec e≥3.
•Si deg X=e+3, alors h1(IX(e−2)) = 3.
•Si deg X=e+4, alors h1(IX(e−2)) ≤4.
•Si e+5≤deg X≤2e+2, alors h1(IX(e−2)) ≤5.
•Si deg X=2e+3, alors h1(IX(e−2)) ≤6.
Dans toute la suite Γd´esigne un groupe de points de P3de degr´edet
d’indice de sp´ecialit´ee.
On utilisera souvent, pour une surface Sde degr´es,ler´esiduel Γ1
de Γ ∩Sdans Γ d´efini par la suite exacte :
0→IΓ1(−s)S
−−→ IΓ−→ IΓ∩S/S →0.
Elle montre que deg Γ = deg Γ1+deg(Γ∩S). De plus :
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REMARQUE 1.1. — Si e(Γ ∩S)<e,alorse(Γ1)≥e−s.
En utilisant que (h1(IΓ(n)))0≤n≤ed´ecroˆıt strictement, on montre le
r´esultat suivant :
LEMME 1.3.
•On a e≤d−2, avec ´egalit´esietseulementsiΓest align´e. Dans ce
cas h1(IΓ(e)) = 1.
•Si e=d−3, alors Γest plan et on a :
h1IΓ(e)=1pour d=3,
2pour d=3.
De plus pour d≥5, il existe une droite Ltelle que deg(Γ ∩L)=d−1.
LEMME 1.4. — Soit Sune surface de degr´estelle que
deg(S∩Γ) ≥d−e+s−1.
Alors e(S∩Γ) = e(Γ).
D´emonstration.—SoitΓ
1le r´esiduel de Γ ∩Sdans Γ. On a une suite
exacte :
0→IΓ1(e−s)−→ IΓ(e)−→ IΓ∩S/S(e)→0.
Comme deg Γ1≤e−s+1,on d´eduit du Lemme 1.3 que h1(IΓ1(e−s)) = 0.
Ceci entraˆıne e(Γ ∩S)=e.
LEMME 1.5. — Soient et ndeux entiers positifs tels que h1(IΓ()) =0.
Soit :
k=h1IΓ()−h1IΓ(−n)+n+3
3−2.
Si k≥0, il existe une famille de surfaces de degr´en,de dimension ≥k,
telle que pour toute surface Sde cette famille e(Γ) ≥e(Γ ∩S)≥.
D´emonstration.—Soit:
V=Hom
CH1(IΓ(−n)),H1(IΓ()).
Les classes d’homomorphismes non surjectifs, ´el´ements de V, forment une
sous-vari´et´edeP(V)decodimension
r=h1IΓ(−n)−h1IΓ()+1.
Les surfaces de degr´end´efinissant une application non surjective de
H1(IΓ(−n)) dans H1(IΓ())) forment une sous-vari´et´eYde codimen-
sion ≤rde P(H0(OP3(n))). Donc si k≥0, alors Yest non vide de
dimension ≥k.SoitS∈Y,alorsh1(IΓ∩S/S()) =0ete(Γ) ≥e(Γ∩S)≥.
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INDICE DE CLIFFORD DES INTERSECTIONS COMPL ` ETES 65
COROLLAIRE 1.6. — On suppose que pour tout sous-groupe de points Γ
distinct de Γon a e(Γ)<e.Alors,pour tout entier n,on a :
h0IΓ(n)≥n+3
3−h1IΓ(e−n).
LEMME 1.7. — On suppose que,pour tout sous-groupe de points Γ
distinct de Γ, on a e(Γ)<e.SiΓn’est pas plan,alors Γest intersection
de surfaces de degr´ee+1.
D´emonstration. — Il est clair que h1(IΓ(e)) = 1. Soit ∆ un groupe de
points de degr´ed+ 1 contenant Γ. Si h0(I∆(e+1))=h0(IΓ(e+ 1)), alors
pour tout n≤e+1,ona
h1I∆(n)=h1IΓ(n)+1.
En particulier, on a h1(I∆(e+1))=1eth1(I∆(e)) = 2.
D’apr`es le Lemme 1.5 avec =eet n=1,ilexisteunplanHtel
que h1(I∆∩H(e+1))=0,ce qui entraˆıne h1(I∆∩H(e)) ≥2.Onend´eduit
h1(IΓ∩H(e)) ≥1,ce qui implique Γ ∩H= Γ ; c’est une contradiction.
On a donc
h0I∆(e+1)
=h0IΓ(e+1) −1
pour tout groupe de points ∆ de degr´ed+ 1 contenant Γ, d’o`uler´esultat.
PROPOSITION 1.8. — Soient R=C[X0,X
1,X 2,X 3]et Mun R-module
gradu´e. On suppose qu’il existe un entier etel que :
•Mn=0pour n>e,
•rang(Me)=1,
•HomR(R/(X0,X
1,X 2,X 3),M)=Me.
Si Nest un sous-module de Mtel que Ne=0,alors N=0.
COROLLAIRE 1.9. — Soit Mv´erifiant les hypoth`eses de la proposition 1.8
et Mun quotient de M.SiM
e=0,alors MM.
COROLLAIRE 1.10. — Soit Γun groupe de points de P3d’indice de
sp´ecialit´eetel que pour tout sous-groupe strict Γde Γon ait e(Γ)<e.
Soient Hun plan et Γ1le r´esiduel de Γ∩Hdans Γ.Onnote:
M=
n≥0
H1IΓ1(n).
Si Mv´erifie les hypoth`eses de la proposition 1.8, alors pour tout n≥0,
on a une surjection
H0IΓ(n)−→ H0IΓ∩H/H (n)→0.
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