TD3 Nombres premiers, nombres premiers entre eux et

Cours d’Arithmétique de L1
TD 3
1 Nombres premiers
Exercice 1 : Montrer que si pest un nombre premier, alors p+ 7 n’est pas premier.
Exercice 2 : Pour quelles valeurs de n, les nombres suivants sont ils premiers ?
1. n!+4,
2. n! + n−1.
Exercice 3 : Montrer que si pet p+ 2 sont premiers et plus grands que 3, alors p+ 1 est divisible
par 6.
Exercice 4 : Pour quelles valeurs de n, le nombre n2+n+ 15 est il premier ?
Exercice 5 : Soient aet ndeux entiers naturels. Soit pun nombre premier.
Supposons que p|an. Montrez que p|a.
Exercice 6 : Considérons pun nombre premier. Montrer que √pest irrationnel.
Exercice 7 : Soit n≥2. Montrer que nest premier si et seulement si, il n’admet pas de diviseurs
compris entre 2et √n. Ce résultat est connu sous le nom du crible d’Ératosthène. Le nombre 743
est il premier ?
Exercice 8 : Montrer que n4+ 64 n’est pas premier pour tout nentier naturel.
Exercice 9 : Le petit théorème de Fermat.
Soit pun nombre premier.
1. Montrer que pour tout 0< i < p, l’entier pdivise Ci
p.
2. Montrer par récurrence que pour tout ppremier et pour tout a∈N∗,
ap−aest divisible par p.
Exercice 10 : Soit cun nombre premier. Supposons que 11c+ 1 soit un carré d’un entier. Déter-
miner c.
Exercice 11 : Le nombre 191 peut s’écrire comme différence des carrés aet b. Quelle est la valeur
maximale de a?
Marjane A.
Année 2013-2014 page 1/3

Cours d’Arithmétique de L1
2 Nombres premiers entre eux
Exercice 12 : Montrer que si aet bsont premiers entre eux, alors a+bet ab sont premiers entre
eux.
Exercice 13 : Soient deux entiers pet ntels que p<n.
Montrer que si pet nsont premiers entre eux, alors ndivise Cp
n.
Exercice 14 : Montrer que les fractions suivantes sont irréductibles :
1. 12n+ 1
30n+ 3
2. 21n+ 4
14n+ 3.
3 Décomposition en nombres premiers
Exercice 15 : Soit pun nombre premier. Résoudre dans N2l’équation x2−y2=p.
Exercice 16 : Quels sont les entiers qui admettent un seul diviseur autre que plus ou moins 1et
plus ou moins lui-même ?
Exercice 17 : Déterminer le nombre de diviseurs d’un entier.
Exercice 18 : Trouver le plus grand entier naturel tel que les restes de la division euclidienne de
81849,106392 et 124374 par nsoient égaux.
Marjane A.
Année 2013-2014 page 2/3

Cours d’Arithmétique de L1
4 Suites de nombres
Exercice 19 : Un cas particulier du théorème de Dirichlet.
Soit El’ensemble des nombres premiers de la forme 4k+ 3.
1. Montrer que Eest non vide.
2. Montrer que le produit de deux nombres de la forme 4k+ 1 est encore de cette forme.
3. Supposons que Eest un ensemble fini. Posons E={p1, p2, . . . , pn}.
Soit a= 4p1p2. . . pn−1. Montrer par l’absurde que aadmet un diviseur premier de la forme
4k+ 3.
4. En déduire que Eest infini.
Exercice 20 : On appelle Nombre de Fermat les nombres de la forme Fn= 22n+ 1 avec n∈N∗.
1. Soient a, n ∈N. Montrer que si an+ 1 est premier alors nest une puissance de 2.
2. Montrer que la réciproque est fausse en utilisant n= 5.
3. Montrer que les nombres de Fermat sont premier entre eux deux à deux.
4. En déduire que les nombres premiers sont infinis.
Exercice 21 : On appelle Nombre de Mersenne les nombres de la forme 2n−1.
1. Montrer que (2n−1) divise (2nm −1).
2. Montrer que (2n−1) ∧(2m−1) = 2n∧m−1.
3. Soient a, n ≥2. Montrer que si an−1est premier alors a= 2 et nest premier.
4. Montrer que la réciproque est fausse en utilisant n= 11.
Marjane A.
Année 2013-2014 page 3/3