TD3 Nombres premiers, nombres premiers entre eux et

Cours d’Arithmétique de L1
TD 3
1
Nombres premiers
Exercice 1 : Montrer que si p est un nombre premier, alors p + 7 n’est pas premier.
Exercice 2 : Pour quelles valeurs de n, les nombres suivants sont ils premiers ?
1. n! + 4,
2. n! + n − 1.
Exercice 3 : Montrer que si p et p + 2 sont premiers et plus grands que 3, alors p + 1 est divisible
par 6.
Exercice 4 : Pour quelles valeurs de n, le nombre n2 + n + 15 est il premier ?
Exercice 5 : Soient a et n deux entiers naturels. Soit p un nombre premier.
Supposons que p | an . Montrez que p | a.
Exercice 6 : Considérons p un nombre premier. Montrer que
√
p est irrationnel.
Exercice 7 : Soit n ≥ 2. Montrer que n est premier si et seulement si, il n’admet pas de diviseurs
√
compris entre 2 et n. Ce résultat est connu sous le nom du crible d’Ératosthène. Le nombre 743
est il premier ?
Exercice 8 : Montrer que n4 + 64 n’est pas premier pour tout n entier naturel.
Exercice 9 : Le petit théorème de Fermat.
Soit p un nombre premier.
1. Montrer que pour tout 0 < i < p, l’entier p divise Cpi .
2. Montrer par récurrence que pour tout p premier et pour tout a ∈ N∗ ,
ap − a est divisible par p.
Exercice 10 : Soit c un nombre premier. Supposons que 11c + 1 soit un carré d’un entier. Déterminer c.
Exercice 11 : Le nombre 191 peut s’écrire comme différence des carrés a et b. Quelle est la valeur
maximale de a ?
Marjane A.
Année 2013-2014
page
1/3
Cours d’Arithmétique de L1
2
Nombres premiers entre eux
Exercice 12 : Montrer que si a et b sont premiers entre eux, alors a + b et ab sont premiers entre
eux.
Exercice 13 : Soient deux entiers p et n tels que p < n.
Montrer que si p et n sont premiers entre eux, alors n divise Cnp .
Exercice 14 : Montrer que les fractions suivantes sont irréductibles :
12n + 1
1.
30n + 3
21n + 4
2.
.
14n + 3
3
Décomposition en nombres premiers
Exercice 15 : Soit p un nombre premier. Résoudre dans N2 l’équation x2 − y 2 = p.
Exercice 16 : Quels sont les entiers qui admettent un seul diviseur autre que plus ou moins 1 et
plus ou moins lui-même ?
Exercice 17 : Déterminer le nombre de diviseurs d’un entier.
Exercice 18 : Trouver le plus grand entier naturel tel que les restes de la division euclidienne de
81849, 106392 et 124374 par n soient égaux.
Marjane A.
Année 2013-2014
page
2/3
Cours d’Arithmétique de L1
4
Suites de nombres
Exercice 19 : Un cas particulier du théorème de Dirichlet.
Soit E l’ensemble des nombres premiers de la forme 4k + 3.
1. Montrer que E est non vide.
2. Montrer que le produit de deux nombres de la forme 4k + 1 est encore de cette forme.
3. Supposons que E est un ensemble fini. Posons E = {p1 , p2 , . . . , pn }.
Soit a = 4p1 p2 . . . pn − 1. Montrer par l’absurde que a admet un diviseur premier de la forme
4k + 3.
4. En déduire que E est infini.
n
Exercice 20 : On appelle Nombre de Fermat les nombres de la forme Fn = 22 + 1 avec n ∈ N∗ .
1. Soient a, n ∈ N. Montrer que si an + 1 est premier alors n est une puissance de 2.
2. Montrer que la réciproque est fausse en utilisant n = 5.
3. Montrer que les nombres de Fermat sont premier entre eux deux à deux.
4. En déduire que les nombres premiers sont infinis.
Exercice 21 : On appelle Nombre de Mersenne les nombres de la forme 2n − 1.
1. Montrer que (2n − 1) divise (2nm − 1).
2. Montrer que (2n − 1) ∧ (2m − 1) = 2n∧m − 1.
3. Soient a, n ≥ 2. Montrer que si an − 1 est premier alors a = 2 et n est premier.
4. Montrer que la réciproque est fausse en utilisant n = 11.
Marjane A.
Année 2013-2014
page
3/3